第二节 行列式的基本性质与计算.ppt

1 2行列式的基本性质与计算 一 行列式的基本性质 二 行列式按任一行 列 展开 2 定义3设 一 行列式的基本性质 3 因为 性质2 互换两行 列 行列式改变符号 註 由性质1可知 行列式中行与列具有同等地位 行列式的性质凡是对行成立的 对列也成立 反之亦然 所以 性质1 行列式与它的转置行列式相等 即 4 註 换行 换列 即 例如 5 又如 推论1 若行列式中某一行 列 的所有元素均为零 则 6 推论2 若行列式D中有两行 列 完全相同 则D 0 证明 将相同的两行互换 有 性质3 若行列式中某行 列 的所有元素是两个数的和 则D可表示成两个新行列式之和 即 7 8 证明 当 i 1时 由行列式的定义知 9 当i 1时 把第i行与第一行互换 再按上面的方法把行列式拆成两个行列式之和 然后再把这两个行列式的第i行与第一行互换即可 10 推论3 若行列式D中有某两行 列 对应元素成比例 则D 0 性质4 行列式中某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 即 11 第j行 推论2 0 第i行 也就是 12 性质5把行列式中某一行 列 的各元素乘以常数k后加到另一行 列 对应的元素上去 行列式保持不变 即 13 又 注意 註 利用上述性质和推论可以简化行列式的运算 即可把行列式化成上三角 或下三角 行列式来计算 14 性质1 行列式与它的转置行列式相等 即 性质2 互换两行 列 行列式改变符号 性质3 若行列式中某行 列 的所有元素是两个数的和 则D可表示成两个新行列式之和 即 性质4 行列式中某一行 列 所有元素的公因子可以提到行列式符号的外面 性质5把行列式中某一行 列 的各元素乘以常数k后加到另一行 列 对应的元素上去 行列式保持不变 15 例1 计算 解 D 16 17 例2 计算 解 从第四行开始 后行减去前行 得 18 19 例3 计算n阶行列式 解 此行列式的特点是各行n个数之和均为a n 1 b 故把第二列至第n列都加到第一列上去 20 21 型 22 例5 计算 解 镶边法 23 24 二 行列式按任一行 列 展开 25 定理一 行列式等于它的任一行 列 的各元素与它们对应的代数余子式乘积之和 即 或 证明 把行列式D的第i行的每个元素按下面的方式拆成n个数的和 再根据性质3 可将D表示成n个行列式之和 引理 一个n阶行列式 如果其中第i行 或第j列 所有元素除外都为零 则这个行列式等于与它的代数余子式的乘积 即 26 27 推论 行列式任一行 列 的元素与另一行 列 的对应元素的代数余子式乘积之和等于零 即 证明 不妨设i j 考虑辅助行列式 28 第i行 第j行 其中第i行与第j行对应元素相同 于是得 29 上述证法按列进行 同理可得 证毕 小结 关于代数余子式的性质有 1 2 或简写成 30 31 例1 利用定理一计算前面的例1 解 32 33 例2 计算 解 按第一行展开 有 34 35 递推公式 36 例3 证明范德蒙 Vandermonde 行列式 说明 37 下面我们来证明范德蒙 Vandermonde 行列式 证明 用数学归纳法 因为 38 39 按归纳法假设 有 故 40 常见的行列式计算法 1 用定义2 化为三