布莱克斯科尔斯期权定价模型PPT课件.ppt

第七章布莱克 斯科尔斯期权定价模型 一 期权 一 期权概念期权 Option 一种提供未来选择权的交易合约 购买期权的人可以获得一种在指定时间内按协议价格买进或卖出一定数量的某种金融资产的权力 期权合约的要素 UnderlyingassetanditspriceSExerciseprice strikeprice XExpirationdate maturitydate T todayis0 EuropeanorAmerican 一 期权 二 期权合约的特点 期权合约交易的是一种买卖证券的权力 而不是交易证券本身 期权的买方有权力买进或卖出 但没有义务买进或者卖出 期权的卖方有义务履行合约 却没有权利要求执行合约 期权买方要向期权卖方支付一定的费用 这就是期权费 Premiun 或期权价格 OptionPrice 期权交易具有风险与收益形式上不对称的性质 交易所中交易的大部分期权合约是标准化合约 一 期权 三 期权的主要分类 1 CallOption Givesownertherighttopurchaseanasset theunderlyingasset foragivenprice exerciseprice onorbeforeagivendate expirationdate 2 PutOption Givesownertherighttosellanassetforagivenpriceonorbeforetheexpirationdate 3 EuropeanOption Givesownertherighttoexercisetheoptiononlyontheexpirationdate 4 AmericanOption Givesownertherighttoexercisetheoptiononorbeforetheexpirationdate 一 期权 思考 期权与期货的主要区别 一 期权 四 期权的价格和价值1 期权合约涉及三个价格 期权合约标的证券当前的市场价格S 期权合约到期执行时标的证券的执行价格X 期权合约的价格 即期权费P 一 期权 2 期权价值期权价值由内涵价值和时间价值两部分组成 V IV TV内涵价值IV 是指期权本身具有的价值 是合约购买者行使期权所能获得的金额 反映了期权敲定价格 X 与证券市价 S 之间的差异 看涨期权的IV max S X 0 看跌期权的IV max X S 0 时间价值TV 是指期权买方在有效期内可选择有利时机执行期权而产生的价值 有效期越长 时间价值越大 一 期权 五 期权价格的合理界限1 假设 没有交易费用 所有交易利润 减去交易损失后 具有相同的税率可以按无风险利率借入和贷出资金一旦有套利机会出现 市场参与者随时准备利用这些套利机会 一 期权 2 符号S 股票现价 X 期权执行价 T 期权的到期时间 ST 在T时刻股票价格 r T时期到期的投资的无风险利率 连续复利 一 期权 C 购买一股股票的美式看涨期权的价格 P 出售一股股票的美式看跌期权的价格 c 购买一股股票的欧式看涨期权的价格 p 出售一股股票的欧式看跌期权的价格 一 期权 3 期权价格的基本性质 1 任何情况下 期权的价值都是非负的 2 在到期日 美式期权与欧式期权的价值相等 且看涨期权的价值等于到期日标的资产价格减去行权价 看跌期权的价值等于行权价减去标的资产价格 3 美式期权的价值不小于其行权时的内在价值 4 在其他条件不变的情况下 后延到期日将提高美式期权的价值 5 美式期权的价值高于具有同一标的资产和到期日的欧式期权的价值 随着有效期的增加 欧式看涨期权和欧式看跌期权的价值并不一定增加 一 期权 6 其他条件相同时 行权价越高 买权价值越低 卖权价值越高 7 任何一份买权的价值不可能高于标的资产的当前价格 8 到期日无限 行权价为0的期权价格为标的资产的当前价格 9 标的资产的价格为0时 看涨期权的价格为0 一 期权 4 期权价格的上限 1 股票价格是期权价格的上限 S C S c 如果不存在这一关系 则套利者购买股票并卖出看涨期权 可以轻易获得无风险利润 2 美式看跌期权或欧式看跌期权的持有者有权以X的价格出售一股股票 3 欧式看跌期权 在T时刻 期权的价值不会超过X 所以有 如果不存在这一关系 则套利者出售期权并将所得收入以无风险利率进行投资 可以轻易获得无风险收益 一 期权 4 期权的价格下限 1 不付红利股票的欧式期权欧式看涨期权的下限 欧式看跌期权的下限 2 红利的影响欧式看涨期权的下限 欧式看跌期权的下限 其中 D表示期权有效期内红利的现值 一 期权 注 1 提前执行不付红利美式看涨期权是不明智的 2 不付红利的美式看跌期权可能提前执行 3 在红利的影响下 美式看涨期权可能提前执行 Return 二 随机过程 如果某变量的值以某种不确定的方式随时间变化 则称该变量遵循某种随机过程 stochasticprocess 描述布朗运动的随机过程的定义是维纳 wiener 给出的 因此布朗运动又称维纳过程 布朗运动是马尔科夫随机过程的一种特殊形式 二 随机过程 一 马尔科夫过程 MarkovStochasticprocess 1 无记忆性 只有变量的当前值才与未来预测有关 变量过去的历史和变量从过去到现在的演变方式与未来预测无关2 如果股价过程是马尔科夫过程 那么股价在未来某时刻的概率分布不依赖于股价过去的路径 只取决于该证券现在的值 3 股价过程是马尔科夫过程等于股票市场的弱有效性 二 随机过程 二 标准布朗运动或维纳过程 变量z是一个随机变量 设一个小的时间间隔长度为 t 定义 z为在 t时间内z的变化 要使z遵循维纳过程 z必须满足两个基本性质 性质1 z与 t的关系满足方程式 其中 为服从标准正态分布中抽取的一个随机值 性质2 对于任何两个不同时间间隔 t z的值相互独立 二 随机过程 从性质1 得知 z具有正态分布 z的均值 0 z的标准差 z的方差 t性质2则隐含z遵循马尔科夫过程 即变量对过去没有记忆效应 二 随机过程 维纳过程 长时间段内 的增量 在任一长度为T的时间间隔内 遵循维纳过程的随机变量值的增加具有均值为0 标准差为的正态分布 正态分布的可加性 当 t 0时 我们就可以得到极限的标准布朗运动或维纳过程 二 随机过程 例 假设一个遵循维纳过程的变量z 其最初值为25 以年为单位计时 那么 则有 在第一年末 变量值服从均值为25 标准差为1 0的正态分布 在第二年末 Z将服从均值为25 标准差为或1 414的正态分布 分析 之所以第2年末标准差变为 是因为变量值在未来某一确定时刻的不确定性 用标准差来表示 是随着时间长度的平方根而增加的 二 随机过程 二 随机过程 二 随机过程 二 随机过程 三 普通布朗运动或一般维纳过程 漂移率 DriftRate 单位时间内变量z均值的变化值 方差率 VarianceRate 单位时间变量z的方差变动比率 1 标准布朗运动标准布朗运动的漂移率为0 方差率为1 0 漂移率为0意味着在未来任意时刻z的均值都等于它的当前值 方差率为1 0意味着在一段长度为T的时间段后 z的方差为1 0 T 二 随机过程 2 变量x的普通布朗运动 令漂移率为a 方差率为b2 则 dx adt bdz其中a和b为常数 dz遵循标准布朗运动 这个过程指出变量x关于时间和dz动态过程 第一项adt为确定项 它说明了x变量单位时间的漂移率期望值为a 如果缺省bdz项 方程变为 dx adt dx dt a x x0 at其中 x0为x在零时刻的值 经过长度为T的时间段后 x增加的值为aT 第二项bdz是随机项 它表明对x的动态过程添加的噪音或波动率 这些噪声或波动率的值为维纳过程的b倍 二 随机过程 短时间 t后 x值的变化 x为 其中 是取自标准正态分布的随机抽样值 因此 x具有正态分布 且 x的均值 a t x的标准差 b x的方差 b2 t 二 随机过程 例 假设某公司的现金头寸遵循一般维纳过程 每年漂移率为20 每年方差为900 最初的现金头寸为50万 那么 则有 在第6个月末 该头寸将服从正态分布 均值为60 标准差为 30 0 5 21 21的正态分布 在第1年末 该头寸将服从正态分布 均值为70 标准差为30 分析 随机变量值在未来某一确定时刻的不确定性 用标准差来表示 是随着时间长度的平方根增加而增加的 二 随机过程 二 随机过程 四 几何布朗运动 1 假定股票价格遵循普通布朗运动的不合理性 这种假定表明股票价格S运动具有不变的期望漂移率a和方差率b2 S a t b z t时间内股价的变化为 S S的均值为a t 方差为b2 t那么 股票的期望收益率 a t S这表明承担相同风险的情况下 股价高的获得的收益率低 股价低的获得的收益率高 这与投资者要求来自股票的期望收益率与股票价格无关的现实不一致 二 随机过程 2 修正 假定股票价格变化率遵循普通布朗运动假设股价变化率 S S遵循普通布朗运动 参数 为股票在单位时间内以连续复利表示的股票价格的预期收益率 作为期望漂移率 参数 2表示股票收益率单位时间的方差 作为方差率 这两个参数假设为常数则可将式 S a t b z转换为适合描述股票价格运动的布朗运动形式 S S t z 二 随机过程 S S t z其中 为 S S的期望漂移率 t是 t时间后 S S的期望漂移 S t是 t时间后S的期望漂移 因此 S的瞬态期望漂移率 instantaneousvariancerate 为 S 2为 S S变化的方差率 2 t是 t时间后 S S变化的方差 2S2 t是经过 t后S实际变化的方差 因此 S的瞬态方差率 instantaneousvariancerate 为 2S2 二 随机过程 股票价格 可以用瞬态期望漂移率 S和瞬态方差率为 2S2的几何布朗运动来表达 表示为 即几何布朗运动是描述股票价格行为最广泛使用的一种模型 只要假设股价变动率遵循布朗运动 则股价本身就遵循几何布朗运动 换言之 只要假定股价变动率服从正态分布 则股价本身服从对数正态分布 二 随机过程 例 设一种不付红利股票遵循几何布朗运动 其波动率为每年20 预期收益率以连续复利计为每年18 其目前的市价为50元 求6个月后该股票价格变化值的概率分布 解 0 18 0 20 其股价过程为 dS S 0 18dt十0 20dz在随后短时间间隔后的股价变化为 S S 0 18 t 0 20 由于6个月等于0 5年 因此 S 50 0 09 0 1414 4 5 7 07 上式表示6个月后股价的增加值是均值为4 5元 标准差为7 07元的正态分布的随机抽样值 二 随机过程 五 伊藤过程若把变量x的漂移率和方差率当作变量x和时间t的函数 得到另一种类型随机过程 即著名的Ito过程 Itoprocess 即伊藤过程 1 Ito引理假设随机变量x的值遵循Ito过程 dx a x t dt b x t dz其中 dz是一个维纳过程 a与b是x和t的函数 变量x的漂移率为a和方差率为b2 即Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化 二 随机过程 若X遵循Ito过程 G是上述随机变量X t的函数 则G X t 遵循下面的运动过程 其中dz是维纳过程 因此G也遵循Ito过程 它的漂移率是 方差率是 伊藤引理 它将证券定价与衍生证券定价结合到一起 二 随机过程 2 股价过程证券价格的变化可用漂移率为 S和方差率为 2S2的伊藤过程来表示 两边同时除以S得到 几何布朗运动 衍生证券的价格G S t 遵循以下过程 2020 2 4 38 二 随机过程 3 股价过程 对数正态分布定义 G lnS 证券价格的对数lnS的变化遵循的随机过程 由于 得出G的过程为 上式说明lnS服从正态分布 S服从对数正态分布 令t时刻的G为lnS T时刻的G为lnST 是正态分布函数 即 二 随机过程 例 设一种不付红利股票遵循几何布朗运动 其波动率为每年20 预期收益率以连续复利计为每年18 其目前的市价为50元 求6个月后该股票价格变化值的概率分布 解 6个月后股价的概率分布为 由于一个正态分布变量取值位于均值左右两个标准差范围内的概率为95 因此 置信度为95 时 3 992 1 96 0 141 3 71 3 992 1 96 0 141 4 2683 71 lnST 4 268即 40 85 ST 71 38因此 6个月后A股票价格落在40 85元到71 38元之间的概率为95 二 随机过程 总结 与描述证券价格变化有关的随机过程 标准布朗运动或维纳过程 遵循该随机过程的随机变量值的增加具有均值为0 方差为T的正态分布 2 普通布朗运动或一般维纳过程 遵循该随机过程的随机变量的均值漂移率的期望值为a 方差率的期望值为b2 两参数均为常数 dx adt bdz 二 随机过程 3 几何布朗运动 适用于描述股票价格运动 是伊藤过程的一种特定形式 遵循该随机过程的随机变量的均值漂移率的期望值为 S 方差率的期望值为 2S2 变量 特定为股票价格波动的标准差 变量 特定为股票价格的预期收益率 这两个参数假设为常数4 伊藤过程 适用于描述衍生证券价格运动 遵循该随机过程的随机变量的均值漂移率为a和方差率为b2 但Ito过程的期望漂移率和方差率都随时间变化而变化 而且函数F X T 也遵循伊藤过程 dx a x t dt b x t dzReturn 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 1973年金融学家F Black和M Scholes发表了 期权定价与公司负债 一文 该论文首次推出了确定欧式期权价值的解析表达式 B S欧式期权定价公式 探讨了期权定价在估计公司证券价值方面的应用 更重要的是它采用的动态复制方法成为期权定价研究的经典方法 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 一 衍生证券 期权 定价思路 由于衍生证券价格和标的证券价格都受同一种不确定性 dz 影响 若匹配适当 这种不确定性就可以相互抵消 布莱克和斯科尔斯建立一个包括一单位衍生证券空头和若干单位标的证券多头的投资组合 若数量适当 标的证券多头盈利 或亏损 总是会与衍生证券空头的亏损 或盈利 相抵消 因此在短时间内该投资组合是无风险的 在无套利机会的情况下 该投资组合在短期内的收益率一定等于无风险利率 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 二 布莱克 斯科尔斯期权定价模型的假设证券价格遵循几何布朗运动 即 和 为常数 允许卖空标的证券 没有交易费用和税收 所有证券都是完全可分的 在衍生证券有效期内标的证券没有现金收益支付 不存在无风险套利机会 证券交易是连续的 价格变动也是连续的 在衍生证券有效期内 无风险利率r为常数 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 三 布莱克 斯科尔斯微分方程的推导1 基础证券的运动模型 由于假设证券价格S遵循几何布朗运动 因此有 dS Sdt十 Sdz其在一个小的时间间隔 t中 S的变化值 S为 S S t S z 1 确定项 风险项 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 2 衍生工具的运动模型 假设f是依赖于S的衍生证券的价格 则f一定是S和t的函数 由伊藤引理可得 在一个小的时间间隔 t中 f的变化值 f为 2 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 从上面分析看出 1 和 2 中的 z相同 都等于因此只要选择适当的衍生证券和标的证券的组合就可以消除不确定性 为了消除 z 我们可以构建一个包括一单位衍生证券空头和单位标的证券多头的组合 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 令 代表该投资组合的价值 则 组合 的价值为 3 在 t时间之后 该投资组合的价格发生变化 为 4 将式 1 2 代入 4 可得 5 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 4 无套利定价由于式 5 中不含有 z 该组合的价值在一个小时间间隔 t后必定没有风险 因此该组合在 t中的瞬时收益率一定等于 t中的无风险收益率 因此 在没有套利机会的条件下 r t 6 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 5 布菜克 斯科尔斯微分分程把式 3 和 5 代入 6 得 变换可得 7 布菜克 斯科尔斯微分分程 它适用于其价格取决标的证券价格S的所有衍生证券的定价 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 股票衍生工具都满足上述方程 不同工具的差异体现在边界条件上 欧式买权 当t T时 f max S X 欧式卖权 当t T时 f max X S 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 6 注意组合的风险性当S和t变化时 的值也会变化 因此上述投资组合的价值并不是永远无风险的 它只是在一个很短的时间间隔 t中才是无风险的 从式 7 可以看出 衍生证券的价值决定公式中出现的变量为标的证券当前市价 S 时间 t 证券价格的波动率 和无风险利率 它们全都是客观变量 独立于主观变量 风险收益偏好 而受制于主观的风险收益偏好的标的证券预期收益率 并未包括在衍生证券的价值决定公式中 这意味着 无论风险收益偏好状态如何 都不会对f的值产生影响 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 四 布莱克 斯科尔斯期权定价公式1 风险中性定价原理 1 风险中性假设 在一个假想的风险中性世界里 所有的市场参与者都是风险中性的 所有资产不论其风险大小或者是否有风险 预期收益率都相同 等于无风险利率 而且所有资产现在的均衡价格都等于其未来收益的预期值按无风险利率折现后的现值 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 2 风险中性定价原理 任何基于其他交易证券的衍生产品都可以在投资者风险中性的假设下定价 所有证券的预期收益率为无风险利率 无风险利率是任何预期的未来现金流的最合适的折现率 3 风险中性定价步骤 假设标的资产的预期收益率为无风险利率 计算风险中性的概率 计算期权或衍生品在到期的预期收益 以无风险利率将预期收益折现 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 2 欧式看涨期权的精确公式在风险中性的条件下 欧式看涨期权到期时 T时刻 的期望值为 其中 T为期权到期时刻 ST为期权到期时的股票价格 X为期权合约中事先约定买卖股票的执行价格 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 其中 表示风险中性条件下的期望值 根据风险中性定价原理 欧式看涨期权的价格f等于将此期望值按无风险利率进行贴现后的现值 即 8 这是上述布莱克和斯科尔斯微分方程的重要的边界条件 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 在风险中性条件下 我们还需要用r取代下式中的 替换为 考虑到前述的边界条件 求解前面的微分方程可得 9 其中 N d 为累计正态分布函数 即随机变量小于d的概率 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 3 欧式看跌期权的精确公式由于 根据标准正态分布函数的特性 N x 1 N x 根据欧式看涨期权和看跌期权的平价关系 可得看跌期权的价格P为 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 注 欧式看涨期权和看跌期权的平价在时间t 0 构造两个投资组合A和B tT组合A 一份看涨期权多头ff X贷出一笔现金Xe r T r 组合B 一份看跌期权多头PP ST买入一股股票S 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 在T时 当ST X 执行看涨期权 用X去买股票即变成ST不执行看跌期权 剩余ST当ST X 看涨期权自动作废 剩X执行看跌期权 变成X所以 无论什么情况下两个组合当前价格都相等 即 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 例 考虑一种期权 还有6个月有效期 股票现价为 42 期权执行价格为 40 无风险利率为10 连续复利 股票价格波动率为每年20 请计算该股票期权价格 解 已知S 42 X 40 r 0 10 0 2 t T 0 5 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 因此 若该期权为看涨期权 则其价值f为 若该期权为看跌期权 则其价值p为 查表可得 N 0 7693 0 7791 N 0 6278 0 7349N 0 7693 0 2209 N 0 6278 0 2651因此 f 4 76 p 0 81 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 4 对B S公式理解 1 上式右边的第二项 e r T t XN d2 是构建无套利组合时加入的一个单位衍生证券空头的现值 价值贴现 由于该头寸是空头 所以符号为负 可以理解为组合中的负债价值 N d2 是在风险中性世界中ST大于X的概率 即是欧式看涨期权被执行的概率 XN d2 是执行价格乘以行权的概率 是概率折扣后到期行权获得的价值 是T时刻的终值 e r T t XN d2 是上面终值XN d2 贴现到当前的现值 它构成当前期权价格的一部分 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 2 上式右边的第一项SN d1 是构建无套利组合时加入的若干个单位的标的证券的多头的现值 由于该头寸是多头 所以符号为正 可以理解为组合中的资产价值 无套利资产组合中必然同时存在多头和空头 否则风险无法对冲 N d1 可以看作是组合中股票的数量 不超过1 SN d1 就是股票的市值 考虑到在风险中性条件下 ST实际上是S按无风险利率增长在T时的终值 ST Ser T t 或S e r T t ST因此SN d1 可以变换为 SN d1 e r T t STN d1 期权定价公式 9 可以相应表示为 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 3 d1和d2的性质当股票价格S变得很大时 d1和d2变得很大 N d1 和N d2 趋近于1 则 看涨期权价格f S Xe r T t 看跌期权价格p为0 因为N d1 和N d2 趋近于0 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型 当股价波动率 趋近于0时 有两种情况 当S Xe r T t 时 d1和d2趋向于正无穷大 N d1 和N d2 趋近于1 看涨期权价格f为 S Xe r T t 看跌期权价格p为0 当S Xe r T t 时 d1和d2趋向于负无穷大 N d1 和N d2 趋近于0 看涨期权价格f为0 看跌期权价格p为 Xe r T t S总之 只要 趋近于0 一定有 看涨期权价值总为 Max S Xe r T t 0 看跌期权价值总为 Max Xe r T t S 0 Return 三 布莱克 斯科尔斯期权定价模型