山东建筑大学高数下学期作业第章12作业和练习题答案.doc

第十二章 微分方程1、指出下列各题中的函数是否为所给微分方程的解： （1）； 不是 （2）； 不是 （3）是2、给定一阶微分方程， （1）求出它的通解； 解：方程两端积分得通解为 （2）求通过点（1，4）的特解；解：将带入通解解得 ,故所求特解为 （3）求出与直线相切的解；解：设切点为，则有，解得，带入通解解得 , 故所求特解为 （4）求出满足条件的解。 解：由 得, 故所求特解为 3、 写出下列条件确定的曲线所满足的微分方程：（1） 曲线在点处的切线斜率等于该点横坐标的平方； 解：由已知得方程为（2） 曲线上点处的法线与轴的交点为，且线段被轴平分。解：由已知点的坐标为, 所以 ，整理得方程为 4、 求下列微分方程的解： （1）；解：分离变量得 ，两端积分得 ，整理得，（2）；解：分离变量得 ，两端积分得 整理得，（3）；解：分离变量得，两端积分得 ，整理得，即 （4）；解：方程变形为 , 分离变量得 ，两端积分得 ，化简得 （5）。解：分离变量得 ，两端积分得通解为 ，将带入通解得，故所求特解为 5、 一曲线通过点（2，3），它在两坐标轴的任一切线段均被切点所平分，求这曲线方程。解：由已知的微分方程为，方程的通解为，将 带入通解得 ,故所求曲线方程为 。6、 求下列齐次微分方程的解： （1）； 解：方程可变形为 ，令 ，则 代入方程得 ，分离变量得，两端积分化简得，将代入得通解为即（或） （2）； 解：方程可变形为 ，令 ，则 代入方程得 ，分离变量得， 两端积分化简得，将代入得通解为 （3）； 解：令，则，代入方程得 ， 分离变量得 ，两端积分整理得， 即，将代入得 ， 故所求特解为 （4）。 解：方程可变形为，令 ，则 代入方程得 ，分离变量得 ， 两端积分整理得 ，将代入得通解为， 将代入得 ，故所求特解为 7、 设有连接点和的一段向上凸的曲线弧，对于上任一点，曲线弧与直线段所围成的面积为。求曲线弧的方程。解：当时，设方程为，则，两端求导得 且有初始条件 解方程得 ，当时，且所以的方程为 8、 求下列微分方程的解：（1）； 解：方程变形为 ， ， 故方程的通解为 （2）；解：方程变形为 ， ， 故方程的通解为 （3）； 解：方程变形为 （以为未知函数的一阶线性微分方程） ， 故方程的通解为 （4）； 解：，故通解为：。把代入，得.所以特解为。（5）；解：，故通解为：。把代入，得，所以特解为（6）；解：令，则，原方程可化为， 所以通解为 （另有一特解）（7）;解：令，则方程可化为 ，分离变量得， 两端积分得 ，故方程的通解为（8）。解：令，则，代入方程分离变量得,两端积分化简得，将代入得方程的通解为 。9、求一曲线的方程，这曲线通过原点，并且它在点处的切线斜率等于。 解：由题意得微分方程 , , 故通解为，把 代入得 ， 所以曲线方程为 10、设曲线积分在左半平面内与路径无关，其中可导且，求。解：令，由已知， 即 ，将代入，得， 所以，。11、求下列微分方程的通解 （1）； 解：这是一个全微分方程 左边 所以通解为。 （2）； 解：这是一个全微分方程 左边 所以通解为。 （3）； 解：这是一个全微分方程 左边 所以通解为。 （4）； 解：方程两边同乘以得 左边 所以通解为。 ；解：方程两边同乘得，即，所以原方程的通解为，即. .解：方程变形为，方程两边同乘得，即，所以原方程的通解为，即.12、 求下列微分方程的解: ；解：，. ；解：令，原方程化为，分离变量得，故，即，亦即，所以 ，即原方程的通解为. ；解：令，原方程化为，分离变量得，故，即，亦即，所以原方程的通解为. ；解：令，原方程化为，即，分离变量得，故，即，亦即，分离变量得，所以，即原方程的通解为（其中）. ；解：令，原方程化为，分离变量得，故，即，所以，因而得，分离变量得，所以，于是，即原方程的通解为（舍去，因为）. ；解：方程两边积分得， 由得，所以，于是，由得，所以， 再积分得，由得，所以.13、 设有一质量为m的物体，在空中由静止开始下落，如果空气阻力为（其中c为常数，v为物体运动的速度），试求物体下落的距离s与时间t的函数关系。解：以t = 0对应的物体位置为原点，垂直向下得直向为s轴， omgR建立直角坐标系如图所示.由题设得 ，t = 0 时s = 0，v = 0， 从而，积分得，由t = 0 时v = 0得，从而，即，因为，故，即，亦即，整理得，因而，再由t = 0 时s = 0得，因此即为所求关系.14、 验证及是方程的两个线性无关的特解，并写出该方程的通解。解：，故，即是的解.同理可证也是的解.又常数，所以与线性无关，因而方程的同解为.15、 验证是方程的通解。解：令，因为， ，常数，所以与是齐次方程的两个线性无关解，从而是齐次方程的通解.又由于所以是非齐次方程的一个特解，因此是方程的通解.16、 验证是方程的通解。解：设，则， ，代入方程易验证、均为方程的解，因为常数，故是的通解.又因为，所以，即是非齐次方程的一个特解，因此是方程的通解.17、 求解下列微分方程:（1） ；解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为.（2） 解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为.（3）解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为.（4）；解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为.（5） ；解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为.（6） ；解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为.（7） ；解：特征方程为，解之得特征根，故方程通解为.代入初始条件得，解得.因而所求特解为.18、 求解下列微分方程: （1） ；解：特征方程为，解之得特征根，故对应的齐次方程的通解为.又因为，不是特征方程的根，故设非齐次方程的一个特解为 ，代入原方程得A = 1,因而，从而原方程的通解为.（2） ；解：特征方程为，解之得特征根，故对应的齐次方程的通解为.又因为，是特征方程的单根，故设非齐次方程的一个特解为 ，代入原方程得,因而，从而原方程的通解为.（3） ；解：特征方程为，解之得特征根，故对应的齐次方程的通解为.又因为，不是特征方程的根，故设非齐次方程的一个特解为 ，代入原方程得,因而，从而原方程的通解为.（4） ；解：特征方程为，解之得特征根. 故对应的齐次方程的通解为.设非齐次方程的一个特解为 ，代入原方程得,因而，从而原方程的通解为.（5） ；解：特征方程为，解之得特征根. 故对应的齐次方程的通解为.又因为，不是特征方程的根，故设非齐次方程的一个特解为 ，代入原方程得,因而，从而原方程的通解为.+由，所以原方程的特解为（6） .解：特征方程为，解之得特征根. 故对应的齐次方程的通解为.又因为，是特征方程的单根，故设非齐次方程的一个特解为 ，有，代入原方程得,因而，从而原方程的通解为.由，所以原方程的特解为第十二章 微分方程 练习题1、求下列微分方程的解 ；解：原方程可表示成 , 这是齐次方程. 令 , 则 , . 原方程可转化为 , 两边积分得, 进而得 , 或者 这就是原方程的通解. ；解：该方程是贝努利Bernoulli方程, 令, 则. 原方程化为即.将代入上式,得原方程的通解为. ；解：原方程可表示成 ,即. 因而原方程的通解为. ；解：该方程不显含自变量 , 设,则, 原方程可转化为 分离变量得 两边积分得 , 即, 所以, 即.对于,分离变量得, 两边积分得, 即 （1）由（1）式得 （2）,得,所以.对于, 类似也可得.故原方程的通解为 . ；解：该方程对应的齐次方程的特征方程为 , 解得于是该方程对应的齐次方程的通解为 对于方程 , （1）由于 为特征根, 所以设方程（1）有特解,代入方程（1）得 比较系数得 .对于方程 , (2)由于 为特征根, 所以设方程（2）有特解,代入方程（2）得 比较系数得 , 所以 .根据线性微分方程的解的叠加原理可知,原方程有一特解.故原方程的通解为 . ；解：作变换 , 则 .原方程化为 , 即 , (1)这是齐次方程.令 , 则 . 于是方程（1）化为, 即 分离变量并两边积分得 由于 所以上式为 , 即 将代入上式得 再代入 得 这就是原方程的通解. ；解：该方程可表示成,把看作未知函数,看作自变量,这是一个贝努利Bernoulli方程. 令 ,则, 原方程化为,即 将代入上式得 , 即 这就是原方程的通解.将初始条件代入通解,得 . 故满足初始条件的特解为 . ；解：设,则原方程化为 分离变量得 两边积分得 , 即 由得 . 将初始条件：时代入上式得.因而 , 即 . 两边积分得 .将初始条件：时代入上式得,故满足初始条件的特解为 . .解：该方程是一阶线性非齐次微分方程，因而其通解为 ；解：原方程可转化为 . 其通解为.将初始条件：代入上式得. 所以满足初始条件的特解为 . ；解：原方程可转化为 ，因而其通解为 ；解：原方程可转化为 ，两端积分得 ，即将初始条件：代入上式得.所以满足初始条件的特解为 . ；解：该方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为 解得.所以对应的齐次方程的通解为 .因为是特征方程的单根，所以设.代入原方程得 . 所以原方程的一个特解为.故原方程的通解为 . .解：该方程是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为 解得. 所以对应的齐次方程的通解为 .因为不是特征方程的根，所以设.代入原方程得. 所以原方程的一个特解为 .故原方程的通解为.2、已知某曲线经过点（1，1），它的切线在纵轴上的截距等于切点的横坐标，求它的微分方程。解：设曲线的方程为 ，则 ，即. 这就是它的微分方程.3、设可导函数(x)满足，求(x).解：令，因为函数可导，所以上式两边同时对求导，得，即 . 这是一阶线性非齐次微分方程,其通解为所以 .4、设可导函数f(x)满足，求f(x).解：令，因为函数可导，所以等式 （1）两边同时对求导，得， （2）两边再次对求导，得 （3）（3）式可变为 . 这是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次方程的特征方程为 解得. 所以对应的齐次方程的通解为 . 因为右端函数是特征方程的单根，所以设 ，代入原方程得 . 所以原方程的一个特解为.故原方程的通解为.由（1）式得,由（2）式得. 因此 .所以函数.5、设在0，1连续，在（0，1）内，又设由曲线 与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2，求函数，又问a为何值时，此图形绕x轴旋转成的旋转体体积最小。解：方程可转化为，这是一阶非齐次线性微分方程，所以其通解为因为在（0，1）内，所以或者 （1）因为曲线 与直线x=1，y=0围成的平面图形的面积为2，所以，解得 .故函数.将代入不等式组（1），解得 .设该平面图形绕x轴旋转成的旋转体体积为，因为所以 当时，取得最小值.故当时，该平面图形绕x轴旋转成的旋转体体积最小.6、设微分方程的一个特解为，求a, b, c的值及该方程的通解。解：因为该方程的的一个特解为，所以，代入原方程，得，解得.所以原方程为 .这是二阶常系数非齐次线性微分方程，其对应的齐次微分方程的特征方程为 , 解得. 所以齐次微分方程的通解为 . 故原方程的通解为.7、求出以下列函数为特解的常系数线性齐次常微分方程： ，二阶； ，二阶； ，三阶。解：因为不是常数，所以是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，故齐次方程的通解为 . 设齐次方程的特征方程为，则其解为，所以.故所求的常系数线性齐次微分方程为.解：因为不是常数，所以是二阶常系数线性齐次微分方程的两个线性无关的特解，故齐次方程的通解为 .设齐次方程的特征方程为，则其解为,所以. 故所求的常系数线性齐次微分方程为 .解：因为函数线性无关，所以是三阶常系数线性齐次微分方程的三个线性无关的特解，故齐次方程的通解为 . 设齐次方程的特征方程为，则其解为, 所以. 故所求的常系数线性齐次微分方程为 .8、 函数f(x)满足，其图形在点（0，1）处的切线与曲线在该点处的切线重合，求y的解析表达式。解：二阶常系数线性非齐次微分方程 对应的齐次方程的特征方程为 ，解得. 所以对应的齐次方程的通解为.因为是特征方程的单根，所以设，代入原方程得. 所以原方程的一个特解为 .故原方程的通解为 .9、设L是一条平面曲线，其上任一点P（x,y）（x0）到坐标原点的距离恒等于该点处切线在y轴上的截距，且L经过点 试求L的方程； 求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L及两坐标轴所围图形面积为最小。解：