二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数教学案.doc

二次函数与一元二次方程、实际问题与二次函数教学案一. 教学内容：1. 二次函数与一元二次方程2. 实际问题与二次函数二、重点、难点：二次函数解析式的确定和二次函数的应用【典型例题】抛物线的解析式有三种形式： 一般式：（a0）；顶点式：，（h，k）是顶点坐标；交点式：（a0），其中x1，x2是方程的两个实根。在实际应用中，需要根据题目的条件选择相应的形式以简化计算。利用待定系数法确定二次函数的解析式的步骤可以总结为五个字：设、列、求、定。例1、已知二次函数图像顶点坐标为（2，3），且过点（1，0），求此二次函数的解析式。（试用两种不同的方法）分析：根据所给条件中有顶点坐标的特点，可以选用顶点式。解法一：设二次函数的解析式为：因为二次函数图像过点（1，0）所以所以所以函数解析式为。分析：根据所给条件中顶点坐标可知，抛物线的对称轴为x2，利用抛物线的对称性，可求得点（1，0）关于对称轴x2的对称点（5，0），可选用交点式。解法二：设二次函数的解析式为：，因为二次函数图像过点（2，3）所以所以函数解析式为。点评：当题目条件中有顶点坐标时，选用顶点式；当条件中有两个与x轴的交点时，一般选用交点式。但我们注意到，解法二是在知道抛物线与x轴的一个交点后，利用对称轴可从顶点坐标中得到，再利用抛物线的对称性获得另外一个与x轴的交点坐标，再利用交点式获得结果。两种方法各有千秋，仔细体会必定会有所收获。当然此题也可使用一般式，但不如这两种方法简单。例2、已知二次函数，当x1时有最小值4，且图像在x轴上截得线段长为4，求函数解析式。分析：当题目条件中点的条件不足三个时，要充分利用二次函数的对称性转化条件。在本题中由于所给条件能得到一个顶点坐标（1，4），另外一个条件是图像在x轴上截得的线段长，条件似乎不是特别充分。仔细分析，有“当x1时有最小值4”就知道对称轴，再有“图像在x轴上截得线段长为4”，利用对称性可得图像与x轴的交点坐标为（3，0），（1，0），从而可利用交点式解决问题。 解：当x1时有最小值4，且图像在x轴上截得线段长为4函数图像与x轴交于（3，0），（1，0）两点。设二次函数的解析式为二次函数过（1，4）a1 点评：本题当然还可直接使用顶点坐标公式转化为关于a，b，c的两个等式，再利用“图像在x轴上截得线段长为4”转化为，组合成一个关于a，b，c的方程组来解。不过这种方法计算量大一些。 例3、如图，已知直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A、B、C。（1）用尺规画出该圆弧所在圆的圆心M的位置；（2）若A点的坐标为（0，4），D点的坐标为（7，0），试验证点D是否在经过点A、B、C的抛物线上； （3）在（2）的条件下，求证直线CD是M的切线。解：（1）如图，点M即为所求。 （2）由A（0，4），可得小正方形的边长为1，从而B（4，4）、C（6，2）。 设经过点A、B、C的抛物线的解析式为， 依题意，解得， 所以经过点A、B、C的抛物线的解析式为， 把点D（7，0）的横坐标代入上述解析式，得： ，所以点D不在经过A、B、C的抛物线上。 （3）如下图，设过C点与x轴垂直的直线与x轴的交点为E，连结MC，作直线CD。 所以CE2，ME4，ED1，MD5， 在RtCEM中，CEM90， 所以， 在RtCED中，CED90，所以，所以， 所以MCD90， 因为MC为半径， 所以直线CD是M的切线。点评：本题第（1）问是一个尺规作图题，需要确定圆心的位置；第（2）问中所给三个点的坐标不具有使用顶点式和交点式的特点，所以只能踏踏实实地利用一般式求解；第（3）问和圆的知识结合起来，求证直线与圆相切。要求熟练使用线段与坐标的相互转化，在证明线与线的垂直关系时还需要使用勾股定理的逆定理。例4、已知抛物线与轴交于点，与轴分别交于，两点（1）求此抛物线的解析式；（2）若点为线段的一个三等分点，求直线的解析式；（3）若一个动点自的中点出发，先到达轴上的某点（设为点），再到达抛物线的对称轴上某点（设为点），最后运动到点求使点运动的总路径最短的点，点的坐标，并求出这个最短总路径的长解：（1）根据题意，所以解得所以抛物线解析式为（2）依题意可得的三等分点分别为，设直线的解析式为当点的坐标为时，直线的解析式为；当点的坐标为时，直线的解析式为 （3）如图，由题意，可得点关于轴的对称点为，点关于抛物线对称轴的对称点为连结根据轴对称性及两点间线段最短可知，的长就是所求点运动的最短总路径的长 5分所以与轴的交点为所求点，与直线的交点为所求点可求得直线的解析式为可得点坐标为，点坐标为由勾股定理可求出所以点运动的最短总路径的长为 点评：第（1）问是一个常规的求解析式的问题，比较简单；第（2）问如果注意到线段OA的三等分点有两个，从而判断直线DC有两条，利用待定系数法求出直线解析式，也不难；本题的难点是第（3）问，要求“最短总路径”需要具有扎实的基本功和分析、理解、转化问题的能力。例5、已知二次函数的图象如图1所示，抛物线与x轴、y轴分别交于点A（1，0）、B（2，0）、C（0，2）（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）若点N为线段BM上的一点，过点N作x轴的垂线，垂足为点Q，当点N在线段MB上运动时（点N不与点B、点M重合），设OQ的长为t，四边形NQAC的面积为s，求s与t之间的函数关系式及自变量t的取值范围（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P，使PAC为直角三角形？若存在，求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由（4）将OAC补成矩形，使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边的对边上，试直接写出矩形的未知的顶点坐标（不需要计算过程）图1解：（1）设抛物线的解析式为ya（x1）（x2），2a1（2），a1，yx2x2；其顶点M的坐标是（）（2）设线段BM所在直线的解析式为ykxb，点N的坐标为N（t， h）， 解得：k，b3，线段BM所在的直线的解析式为yx3ht3，2h0，2t30，即t2SSAOCS梯形OCNQ12（2）ts与t间的函数关系式为s自变量t的取值范围为tAC，所以边AC的对角APC不可能为直角（4）以点O，点A（或点O，点C）为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边OA（或边OC）的对边上，如图2，此时未知顶点坐标是点D（1，2）。以点A，点C为矩形的两个顶点，第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上，如图3，此时未知顶点坐标是E（） ，F（）易证AEOOFC，又AC， 设OEa， 则OFa， AE，由勾股定理得：（）2a21，aOE，再设点E的坐标为（x， y），由射影定理得:x， y，此时未知顶点坐标是E（）；同理可求得点F的坐标为（） 【模拟试题】（答题时间：40分钟）一、填空 1、已知二次函数的图像经过点，则这个二次函数为 。2、若二次函数的图像经过原点，则值必为 。3、如图所示是一学生推铅球时，铅球行进高度与水平距离的函数图像，铅球推出的距离是4、已知二次函数的图像开口向上，且与y轴的正半轴相交，请你写出一个满足条件的二次函数的解析式：_。5、函数y的对称轴是x2，且经过点P（3，0），则abc ；6、抛物线经过点A（1，0），B（4，0）两点，则这条抛物线的解析式为 。7、若2，4是方程的两个根，则对应抛物线y的对称轴是_。8、关于x的一元二次方程没有实数根，则抛物线的顶点在_象限。9、用铝合金型材料做一个形状如图1所示的矩形窗框，设窗框的一边为xm，窗户的透光面积为ym2，y与x的函数图象如图2所示。（1）观察图象，当x m时，窗户透光面积最大。（2）当窗户透光面积最大时，窗框的另一边长是 m。10、若点P（1，a）和Q（1，b）都在抛物线yx21上，则线段PQ的长是_11、若二次函数的图象与x轴没有交点，其中c为整数，则c 。（只要求写出一个）12、函数的图象与x轴有且只有一个交点，则k ；交点坐标为 。二、选择题： 13、在半径为的圆面上，挖去一个半径为的圆，剩下的面积是，则与的函数关系式是（ ）A. B. C. D. 14、二次函数的图像上有两个点A（1，y），B（2，y），则y1、y2的大小关系为（ ） A. y y B. yy C. y y D. y y15、已知：a1，点（a1，y1），（a，y2），（a1，y3）都在函数的图象上，则（ ）A. y1y2y3 B. y1y3y2 C. y3y2y1 D. y2y1y3 16、二次函数yx2pxq中，若pq0，则它的图象必经过点（ ） A. （1，1） B. （1，1） C. （1，1） D. （1，1）17、抛物线yax2bxc顶点是（3，5），且与y轴交于点（0，2），则抛物线解析式为（ ）A. y3x29x14 B. y3x216x22C. yx22x2 D. yx26x4.18、抛物线yax2bxc中，a0，b0，c0，则顶点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限19、不论x为何值，yax2bxc永远是正值的条件是（ ）.（其中b24ac）A. a0，0 B. a0，0 C. a0，0 D. a0，0. 20、二次函数yax2bxc的图象，如图所示（b24ac），那么（ ） A. b0 c0 0 B. b0 c0 0C. b0 c0 0 D. b0 c0 021、小敏在某次投篮中，球的运动路线是抛物线的一部分（如图），若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是（ ）A. 3.5m B. 4m C. 4.5m D. 4.6m22、已知M、N两点关于y轴对称，且点M在双曲线上，点N在直线yx3上，设点M的坐标为（a，b），则二次函数yabx2（ab）x （ ） A. 有最小值，且最小值是 B. 有最大值，且最大值是C. 有最大值，且最大值是 D. 有最小值，且最小值是三、解答题1、已知二次函数经过点A（1，0），且经过直线yx3与坐标轴的两个交点B、C。（1）求此抛物线的解析式；（2）求抛物线的顶点坐标：（3）若点M在第四象限内的抛物线上，且OMBC，垂足为D，求点M的坐标。2、如图，是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，为原点，