南京航空航天大学《高等数学》87方向导数与梯度.pdf

问题的提出问题的提出 方向导数的定义方向导数的定义 梯度的概念梯度的概念 实例实例 一块长方形的金属板 四个顶点的坐 标是 一块长方形的金属板 四个顶点的坐 标是 1 1 5 1 1 3 5 3 在坐标原点 处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比 在 在坐标原点 处有一个火焰 它使金属板受热 假定板上 任意一点处的温度与该点到原点的距离成反 比 在 3 2 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 处有一个蚂蚁 问这只蚂蚁应沿 什么方向爬行才能最快到达较凉快的地点 问题的问题的实质实质 应沿由热变冷变化最骤烈的方 向 即负梯度方向 爬行 应沿由热变冷变化最骤烈的方 向 即负梯度方向 爬行 一 问题的提出一 问题的提出 讨论函数在一点讨论函数在一点P沿某一方向 的变化率问题 沿某一方向 的变化率问题 yxfz o y x l P x y P 引射线内有定义 自点 的某一邻域 在点设函数 引射线内有定义 自点 的某一邻域 在点设函数 lP PUyxP yxfz pUPl yyxxP lx 上的另一点且为 并设为 的转角轴正向到射线设 上的另一点且为 并设为 的转角轴正向到射线设 如图 如图 二 方向导数的定义二 方向导数的定义 1 定义1 定义 PP 22 yx yxfyyxxfz 且且 当沿着趋于 时 当沿着趋于 时 P Pl 存在若存在若 lim 0 yxfyyxxf z 考虑 考虑 定义定义 这极限为函数在点这极限为函数在点P 沿方向沿方向l 的方向导数的方向导数 lim 0 yxfyyxxf l f 记为记为 lim 0 yxfyyxxf l f 0 0 ff xx yyf x y l 若则 若则 增加的函数值沿着方向则增加的函数值沿着方向则lyxf 0 yxfyyxxf即即 注1 注2 0 0 0 0 00 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 xy Mx My Mx My fMfM f fMli l f fMlj l f fMli l f fMlj l 由定义知 当 存在时 当时 当时 当时 当时 由定义知 当 存在时 当时 当时 当时 当时 0 90 180 270 且有导数都存在 的方向方向那么函数在该点沿任意 处可微在点设 且有导数都存在 的方向方向那么函数在该点沿任意 处可微在点设 l yxMyxfz sin cos l lx 故 的转角轴到方向 故 的转角轴到方向 2 方向导数的存在性与计算2 方向导数的存在性与计算 定理定理 1 sincos y f x f l f 证明证明由于函数可微 则增量可表示为由于函数可微 则增量可表示为 oy y f x x f yxfyyxxf 两边同除以两边同除以 得到得到 cos sin o y y fx x fyxfyyxxf 故有方向导数故有方向导数 lim 0 yxfyyxxf sincos y f x f l f 1 1 2 6 l z lyxz 求的极角为设 求的极角为设 0 1 1 l z 由于由于 例例1 解解1 22 1 1 2 1 1 1 1 1 1 xzxyz yx 得由公式 得由公式 1 232 2 2 1 2 3 2 6 sin 6 cos 1 1 1 1 1 1 yx zz l z 1 1 l z 为是增加的 其增长率即 为是增加的 其增长率即 方向沿在点方向沿在点lyxz 1 1 2 例 2例 2 求函数求函数 22 yxyxyxf 在点 在点 1 1 沿与 沿与x轴方向夹角为轴方向夹角为 的方向射线的方向射线l 的方向导数的方向导数 并 问在怎样的方向上此方向导 并 问在怎样的方向上此方向导 数有数有 1 最大值 最大值 2 最小值 最小值 3 等于零 等于零 解解 sin 1 1 cos 1 1 1 1 yx ff l f 由方向导数的计算公式知由方向导数的计算公式知 sin 2 cos 2 1 1 1 1 xyyx sincos 4 sin 2 故故 1 当 当 4 时 时 方向导数达到最大值方向导数达到最大值2 2 当 当 4 5 时 时 方向导数达到最小值方向导数达到最小值2 3 当 当 4 3 和和 4 7 时 时 方向导数等于方向导数等于 0 的方向导数 方向 沿在点设 的方向导数 方向 沿在点设 2 1 0 0 2sin l yxxyz 例例3 解解 2 2cos 2 1 2cos 0 0 0 0 0 0 0 0 yxxz yxyz y x 得由公式 得由公式 1 5 5 2 2 5 1 1 5 2 5 1 0 0 0 0 0 0 yx zz l z 对于三元函数对于三元函数 zyxfu 它在空间一点 它在空间一点 zyxP沿着方向沿着方向 l 的方向导数的方向导数 可定义 为 可定义 为 lim 0 zyxfzzyyxxf l f 3 推广可得三元函数方向导数的定义推广可得三元函数方向导数的定义 其中其中 222 zyx 同理 当函数在此点可微时 那末函数在该点 沿任意方向 同理 当函数在此点可微时 那末函数在该点 沿任意方向 l 的方向导数都存在 且有的方向导数都存在 且有 coscoscos z f y f x f l f 设方向设方向 l 的方向角为的方向角为 cos x cos y cos z 例 4例 4设设n 是曲面是曲面632 222 zyx 在点在点 1 1 P处的指向外侧的法向量 求函数处的指向外侧的法向量 求函数 2 1 22 86 1 yx z u 在此处沿方向在此处沿方向n 的方向 导数 的方向 导数 解解令令 632 222 zyxzyxF 4 4 PP x xF 66 P P y yF 22 PP z zF 故故 zyx FFFn 2 6 4 142264 222 n 方向余弦为方向余弦为 1 14 2 cos 14 3 cos 14 1 cos P P yxz x x u 22 86 6 14 6 P P yxz y y u 22 86 8 14 8 P P z yx z u 2 22 86 14 P P z u y u x u n u coscoscos 7 11 故故 定义定义 设函数设函数 yxfz 在平面区域在平面区域D内具有一 阶连续偏导数 则对于每一点 内具有一 阶连续偏导数 则对于每一点DyxP 都 都可可 定出一个向量定出一个向量j y f i x f 这向量称为函 这向量称为函数数 yxfz 在点在点 yxP的梯度 记为的梯度 记为 yxgradfj y f i x f 最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题最快沿哪一方向增加的速度函数在点问题P 三 梯度的概念三 梯度的概念 cos sin cos sincos lgradflgradflgradf y f x f y f x f l f M gradf l f gradf l f M 是最小 时 当 是最大 时 当 是最小 时 当 是最大 时 当 0 lgradf 记记 cosgradfprjgradf l 由方向导数公式知由方向导数公式知 结论结论 22 方向一致与取得最大方向导数的方向 即方向导数的最大值大小 的梯度是一个向量在点 方向一致与取得最大方向导数的方向 即方向导数的最大值大小 的梯度是一个向量在点 yx ffgradf Myxf 当当 x f 不为零时 不为零时 x轴到梯度的转角的正切为 轴到梯度的转角的正切为 x f y f tan 结论结论 22 yx ffgradf Myxf 最大 最大值为 数处沿梯度方向的方向导在点 最大 最大值为 数处沿梯度方向的方向导在点 22 yx ffgradf Myxf 最小 最小值为 导数处沿负梯度方向的方向在点 最小 最小值为 导数处沿负梯度方向的方向在点 方向导数为 向的处沿与梯度方向垂直方在点 方向导数为 向的处沿与梯度方向垂直方在点 0 Myxf 三元函数三元函数 zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数 则对于每一点 内具有 一阶连续偏导数 则对于每一点GzyxP 都可定义一个向量 都可定义一个向量 梯度梯度 k z f j y f i x f zyxgradf 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模 为方向导数的最大值 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模 为方向导数的最大值 2 梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 例 5例 5 求函数求函数 yxzyxu2332 222 在点在点 2 1 1 处的梯度 并问在处的梯度 并问在 哪些点处梯度为零 哪些点处梯度为零 解解 由梯度计算公式得由梯度计算公式得 k z u j y u i x u zyxgradu 6 24 32 kzjyix 故故 1225 2 1 1 kjigradu 在在 0 2 1 2 3 0 P处梯度为处梯度为0 yxfz 在几何上表示一个曲面在几何上表示一个曲面 曲面被平面所截得曲面被平面所截得cz cz yxfz 所得曲线在所得曲线在xoy面上投影如图面上投影如图 o y x 2 cyxf 1 cyxf cyxf 等高线等高线 yxgradf 梯度为等高线上的法向量梯度为等高线上的法向量 P 3 梯度与等高线的关系 梯度与等高线的关系 等高线的画法等高线的画法 播放播放 播放播放 图形及其等高线图形 函数图形及其等高线图形 函数xyzsin 例如例如 梯度与等高线的关系 梯度与等高线的关系 向导数 的方于函数在这个法线方向 模等高的等高线 而梯度的 值较值较低的等高线指向数 从数线的一个方向相同 且 在这点的法高线 的等的梯度的方向与点 在点函数 向导数 的方于函数在这个法线方向 模等高的等高线 而梯度的 值较值较低的等高线指向数 从数线的一个方向相同 且 在这点的法高线 的等的梯度的方向与点 在点函数 cyxf P yxPyxfz 三元函数三元函数 zyxfu 在空间区域在空间区域 G 内具有 一阶连续偏导数 则对于每一点 内具有 一阶连续偏导数 则对于每一点GzyxP 都可定义一个向量 都可定义一个向量 梯度梯度 k z f j y f i x f zyxgradf 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模 为方向导数的最大值 类似于二元函数 此梯度也是一个向量 其方向与取得最大方向导数的方向一致 其模 为方向导数的最大值 梯度的概念可以推广到三元函数梯度的概念可以推广到三元函数 类似地类似地 设曲面设曲面czyxf 为函数为函数 zyxfu 的等量面 此函数在点的等量面 此函数在点 zyxP的梯度的方向与 过点 的梯度的方向与 过点 P的等量面的等量面czyxf 在这点的法线的一 个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数 在这点的法线的一 个方向相同 且从数值较低的等量面指向数值较 高的等量面 而梯度的模等于函数在这个法线方 向的方向导数 1 方向导数的概念 方向导数的概念 2 梯度的概念 梯度的概念 3 方向导数与梯度的关系 方向导数与梯度的关系 注意方向导数与一般所说偏导数的 注意方向导数与一般所说偏导数的区别区别 注意梯度是一个 注意梯度是一个向量向量