数列求和的若干方法及应用.doc

数列求和的若干方法及应用河南省上蔡一高 王安寓 463800与数列相关的问题高考中年年涉及，其数列和是热点之一。应用数列和可以解决一些数学问题。“当解决问题时，我们总要利用以前解决过的问题，用其结果或用其方法，或利用解决它们时所得到的经验。”（波利亚语）本文试谈数列求和的若干方法（来源于教材）和数列和的一点应用，供同学们参考。一、数列求和的若干方法1倒序相加法求和 在等差数列求和中，用到了倒序相加法，设an为等差数列，其前n项和为sn，则sn= a1 + a2+a3 +an sn= an + an1 +a2+ a1 +有2sn=（a1+an）+（a2+ an1）+（an+a1）=n（a1+an）sn=。这种方法可解决下列问题。例1已知an=，sn是其前n项和，求满足sn=5120的n的值。解：sn=，sn=，上二式相加，并运用有2 sn=，。令=5120=1029，n=10.2错位相减法求和在等比数列求和中，用到了错位相减法，该解法参见课本数学第一册（上）P126。这种求和的方法常用在等差与等比数列的混合积的和上。例2已知an是公差为2首项是1的等差数列，bn是公比为q首项为1的等比数列，求cn=anbn的前n项和sn.解：易知an=2n1，所以。sn=1+3q+5q2+(2n1)qn1 q有q sn=q+3q2+5q3+(2n3)qn1 +(2n1)qn 有（1q）sn=1+2q+2q2+2 qn1 (2n1)qn，当q1时，(1q) sn=sn=;当q=1时，sn=1+3+5+（2n1）=n2。 3拆项求和法拆项求和是较常见到的一种求和方法，其又分为自然拆项（按其形式自然拆开，然后运用已知的公式），分式拆项，根式拆项，三角拆项，反三角拆项，阶乘拆项，组合数拆项等。要根据题目的特征灵活选择相应的拆项方法。例3求证：。证明：当k1时，。注意：分式拆顶有其规律性，分母是等差数列相邻若干项的积。设an是公差d不是0的等差数列，则；，等。二、数列和的应用“远巍巍塔七层，红光占点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”中国古代就已研究数列问题，这恰好是数列和的应用。在历年的高考和竞赛中考查数列和的题也很多，摘录几题以飨读者。例4设an是由正数组成的等比数列，其前n项和为sn,求证：。略证：设an的公比是q.an是等比数列，sn+1=a1+qsn,sn+2=a1+a1q+ q2sn,sn+2 snsn+12= a1(snqsna1)= a1(snsn+1)=a1 an+10.sn+2 snsn+12,两边取常用对数整理即得所证。例5是否存在实数a,b，使得12+23+34+n(n+1)=对任意自然数都成立？如果存在，求出来；如果不存在，请说明理由。分析：待判断的等式的左边是一个数列的前n项和，因此只须把这个和求出，然后比较即可知是否存在a,b满足题设。解：假设存在满足题设的实数a,b,则把等式左边的看作是数列an =n(n+1)的前n项和。n(n+1)=12+23+34+n(n+1)=与比较易知存在实数a=3，b=2满足题设。例5当|x|1,|y|1时，求证：证明：|x|1,|y|1，x21,y21,xy1,于是左边=（）+（）=2+（x2+y2）+(x4+y4)+2+2xy+2x2y2+=右边，原式成立。以上是茫茫题海中的几朵浪花，供同学们玩味鉴赏。以下是几个巩固题目，供同学们练习之用，希望能对同学们的学习有所补益。练习：1.数列an的通项公式是，那么bn的前n项和sn= 。（提示：）2数列an是公比为首项是2的等比数列，sn是其前n项和，是否存在自然数c,k，使得成立？若存在，则求出；若不存在