二轮复习 概率统计.doc

概率统计一、考纲解读概率这一章的考查，文科减少了独立事件的概率，但理科对相互独立事件的概率求法依然是重点；文科主要是用列举法求随机时间所含的基本事件数及事件发生的概率，同时，重点掌握互斥事件概率的求法；几何概型主要以体积、面积、长度，特别是面积为主要考查对象，理科注意用积分求面积；二项式定理为理科必考；理科中注重离散型随机变量，均值，方差的考查.统计一章用样本估计总体中，会识图，会从频率分布直方图中分析样本的数字特征（众数、中位数、平均数）；重视茎叶图；线性回归方程要引起足够的重视（在现实生活中有广泛的应用）是考查的重点，不仅会求线性回归方程，还要会分析其特点（正相关、负相关、线性回归方程过样本点中心即样本平均数）概率二、复习预习概率计算是该部分的核心内容，概率统计的试题特别是综合解答题，一般离不开概率计算，概率计算主要问题是在分析事件的互斥性、对立性、相互独立性的基础上，选用合适的计算方法几何概型、统计案例是值得关注的考点该部分在高考中一般是1到2个小题和一个解答题，分值在17-22分。小题重在考查概率统计的基础知识和方法，解答题重在综合性地考查概率统计知识的综合运用。三、知识讲解考点1 概率（1）事件与概率了解频率与概率的区别. 了解两个互斥事件的概率加法公式.（2）古典概型 理解古典概型及其概率计算公式. 会计算一些随机事件所含的基本事件数及事件发生的概率.（3）随机数与几何概型了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率.了解几何概型的意义.（4）离散型随机变量及分布列分布列及期望方差二项分布超几何分布 （5）正态分布考点2 统计（1）随机抽样: 理解随机抽样的必要性和重要性. 会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本；了解分层抽样和系统抽样方法.（2）用样本估计总体 了解分布的意义和作用，会列频率分布表，会画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，理解它们各自的特点. 理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差（不要求记忆公式）. 能从样本数据中提取基本的数字特征（如平均数、标准差），并给出合理的解释. 会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的数字特征估计总体的基本数字特征，理解用样本估计总体的思想. 会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题.（3）变量的相关性: 会作两个有关联变量的数据的散点图，会利用散点图认识变量间的相关关系. 了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程（线性回归方程系数公式不要求记忆）. 四、例题精析例1 2014全国2卷某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ）A0.8 B0.75 C0.6 D0.45【规范解答】已知某天的空气质量为优良，设随后一天的空气质量也优良的概率是p，根据题意有0.60.75p，解得p0.8， 故选A【总结与反思】考查相互独立事件同时发生的概率的乘法公式例2 2014湖北卷由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为（ ）A. B. C. D.【规范解答】依题意，不等式组表示的平面区域如图：由几何概型公式知，该点落在内的概率为，故选D。【总结与反思】本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，将线性规划与几何概型结合，是一道创新题，为中档题。例3 2014全国1卷 4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率 ( ). . . .【规范解答】解法1.选D（直接法）4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动共有种，周六、周日都有同学参加公益活动有两种情况：一天一人一天三人有种；每天2人有种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为；解法2.选D（间接法）4位同学都在周六或周日参加公益活动有2种，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为；选D. 【总结与反思】（1）本题考查古典概型，是一个古典概型与排列组合结合的问题，解题时先要判断该概率模型是不是古典概型，再要找出随机事件A包含的基本事件的个数和试验中基本事件的总数是一道基础题。（2）解题步骤：求得4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动、周六、周日都有同学参加公益活动的情况，利用古典概型概率公式求解即可解法2更好一些，正难则反的思想来解决。（3）近几年往往将排列组合、概率相结合考查, 都是以考查基本概念、基础知识和基本运算为主，能力要求主要是以考查分析问题和解决问题为主。例42014浙江卷 已知甲盒中仅有1个球且为红球，乙盒中有m个红球和n个蓝球，从乙盒中随机抽取个球放入甲盒中.（a）放入个球后，甲盒中含有红球的个数记为；（b）放入个球后，从甲盒中取1个球是红球的概率记为.则A. B. C. D. 【规范解答】解析1 p1，p2，则p1p20；E(1)12，E(2)123，E(1)E(2)p2；E(1)12，E(2)1232，则E(1)E(2)故选A.解析3 从概率的直观意义（本质）来看，乙盒中既有红球也有蓝球，从乙盒中逐步取球放入甲盒后，则甲盒中红球“被稀释”了，故从甲盒中取1个球是红球的概率减小，即；从期望来看，随着乙盒中的球放入甲盒，甲盒中的红球显然不会减少，故.【总结与反思】（1）本题主要考查随机事件的概率、离散型随机变量的分布列、数学期望等概念及相关计算（2）概率解题首先是题意的准确理解，其次要准确找出随机变量的可能取值，区分概率模型，计算出相应的概率解析1是解决这类问题的一般方法，如果此题是一道解答题，如此解决无可厚非，但作为选择题的解决方法显然是不合适的.解析2利用取特殊值的方法简化运算，是众多考生采用的策略，也是一种有效的解决办法.但换个角度来看，如果命题者是希望考生如此解决，那就没有必要将问题设计为“乙盒中有m个红球和n个蓝球”，而直接设计为“乙盒中有3个红球和3个蓝球”，这样对相关知识点和方法的考查目标也能同样达到，而且作为一道试题就更具亲和力了.当我们再从解析3的角度来认识这个问题时，可以发现此题其实是不用计算的，如果给出具体的数值反而有引导学生“死算”的嫌疑.命题者想考什么？考概率和期望本身的含义而不是具体的计算，所以这是一道漂亮的选择题！如果改成解答题，反而失去了它的味道那种直透本质的数学思考，而变成一道普普通通的计算题.（3）涉及化归与转化、分类与整合、或然与必然等基本数学思想，考查运用概率知识解决简单的实际问题的能力考查抽象概括、运算求解能力和应用意识例52014安徽卷 甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立.(1) 求甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率；(2) 记为比赛决出胜负时的总局数，求的分布列和均值（数学期望）【规范解答】（）设事件表示“甲在第局比赛结束时赢得比赛”，根据题意得：；因此，甲在局以内（含局）赢得比赛的概率（）的所有可能取值集合为；（或）的分布列为【总结与反思】此题以古典概型和离散型随机变量分布列知识为背景，考察分析问题和解决问题的能力.例62014全国2卷 某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收入y（单位：千元）的数据如下表：年份2007200820092010201120122013年份代号t1234567人均纯收入y2.93.33.64.44.85.25.9（）求y关于t的线性回归方程；（）利用（）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，规范解答】（） 4，4.3 设回归方程为ybta，代入公式，经计算得b ab4.342.3 y关于t的回归方程为y0.5t2.3（） b0 007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收入y0.592.36.8（千元） 预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元【总结与反思】本题考查了线性回归方程的求法。平时学习过程重要注意基本的知识点不能薄弱或者有短板例72014全国大纲卷 设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6、0.5、0.5、0.4，各人是否需要使用设备相互独立。()求同一工作日至少3人需使用设备的概率；()X表示同一工作日需使用设备的人数，求X得数学期望。【规范解答】记Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用设备，i=0，1，2 .B表示事件：甲需使用设备，C表示事件：丁需使用设备，D表示事件：同一工作日至少3人需使用设备，（II）X的可能值得为0，1，2，3，4,其分布列为 , 数学期望为： 【总结与反思】本题考查相互独立事件、互斥事件、对立事件的概念及相应概率的计算；以考生熟悉生活事件为背景，既全面考查考生对概率知识的理解和应用，又引导考生关心身边的数学问题，形成自觉应用数学知识指导生活实践的能力，增强实践意识。例82014全国1卷 从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下频率分布直方图：()求这500件产品质量指标值的样本平均数和样本方差（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.(i)利用该正态分布，求；（ii）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值为区间（187.8,212.2）的产品件数，利用（i）的结果，求.附：12.2,若，则=0.6826，=0.9544.【规范解答】() 抽取产品质量指标值的样本平均数和样本方差分别为 （）（）由()知，从而 （）由（）知，一件产品中质量指标值为于区间（187.8,212.2）的概率为0.6826依题意知，所以 【总结与反思】本题全面地考查了统计学在生产实践中的应用，根据抽样统计，进行样本数据分析，进而通过样本估计总体，并对总体进行预报，充分的反映了统计的思想，本题设计很巧妙，与正态分布、独立重复试验有机结合，是一道非常好的题。例92014福建卷 为回馈顾客，某商场拟通过摸球兑奖的方式对1000位顾客进行奖励，规定：每位顾客从一个装有4个标有面值的球的袋中一次性随机摸出2个球，球上所标的面值之和为该顾客所获的奖励额. （1）若袋中所装的4个球中有1个所标的面值为50元，其余3个均为10元，求 顾客所获的奖励额为60元的概率 顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; （2）商场对奖励总额的预算是60000元，并规定袋中的4个球只能由标有面值10元和 50元的两种球组成，或标有面值20元和40元的两种球组成.为了使顾客得到的奖励 总额尽可能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡，请对袋中的4个球 的面值给出一个合适的设计，并说明理由.【规范解答】 (1)设顾客所获的奖励额为X.(i)依题意，得P(X60).即顾客所获的奖励额为60元的概率为，(ii)依题意，得X的所有可能取值为20，60.P(X60)，P(X20)，即X的分布列为X2060P0.50.5所以顾客所获的奖励额的期望为E(X)200.5600.540(元)(2)根据商场的预算，每个顾客的平均奖励额为60元所以，先寻找期望为60元的可能方案对于面值由10元和50元组成的情况，如果选择(10，10，10，50)的方案，因为60元是面值之和的最大值，所以期望不可能为60元；如果选择(50，50，50，10)的方案，因为60元是面值之和的最小值，所以期望也不可能为60元，因此可能的方案是(10，10，50，50)，记为方案1.对于面值由20元和40元组成的情况，同理可排除(20，20，20，40)和(40，40，40，20)的方案，所以可能的方案是(20，20，40，40)，记为方案2.以下是对两个方案的分析：对于方案1，即方案(10，10，50，50)，设顾客所获的奖励额为X1，则X1的分布列为X12060100PX1的期望为E(X1)206010060，X1的方差为D(X1)(2060)2(6060)2(10060)2.对于方案2，即方案(20，20，40，40)，设顾客所获的奖励额为X2，则X2的分布列为X2406080PX2的期望为E(X2)40608060，X2的方差为D(X2)(4060)2(6060)2(8060)2.由于两种方案的奖励额的期望都符合要求，但方案2奖励额的方差比方案1的小，所以应该选择方案2.【总结与反思】本题主要考查古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识，考查数据处理能力、运算求解能力、应用意识，考查必然与或然思想、分类讨论与整合思想.例102014江西卷 随机将这2n个连续正整数分成A,B两组，每组n个数，A组最小数为，最大数为；B组最小数为，最大数为，记（1） 当时，求的分布列和数学期望；（2） 令C表示事件与的取值恰好相等，求事件C发生的概率；对（2）中的事件C,表示C的对立事件，判断和的大小关系，并说明理由。【规范解答】（1）随机变量的取值所有可能是：2，3，4，5；的分布列为：2345所以，的数学期望为2）事件与的取值恰好相等的基本事件：共.时，3）因为，所以要比较与的大小，实际上要比较与的大小， 由可知，当时，当时，【总结与反思】将概率题作为压轴题，这一点很多人没有预料到.本题以分布列为情景,综合考查了古典概型,排列组合运算,不等式等知识点.是一道具有创新性的压轴题.课程小结概率这一章