毕业论文：Matlab在大学数学中的可视化研究.doc

SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesTSelectionParbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbagraphFoLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointse11111111111111111111111111111111lectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraphFormatLineSpaci2222222222222222222222ngLinesToPoints2SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraphFccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraSelec湖南人文科技学院本科生毕业论文题目名称 Matlab在大学数学中的可视化研究 Matlabs Visualization At The University Mathematics 学生姓名： 方 芸 学号： 06404160 系 部： 数学与应用数学系 专业年级： 2006级应用数学专业 指导教师： 杨涤尘 职 称： 副教授 湖南人文科技学院教务处制SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesTSelectionParbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbbagraphFoLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointse11111111111111111111111111111111lectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraphFormatLineSpaci2222222222222222222222ngLinesToPoints2SelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPointselectionParagraphFccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccccormatLineSpacingLinesToPointsSelectionParagraphFormatLineSpacingLinesToPoctionParagraSelec目录摘 要1关键词1Abstract1Key words11、可视化的概念及意义12、软件简介和可视化的功能12.1的产生背景和主要组成12.2 语言的特点22.3 软件的可视化功能33. 探究软件可视化功能在大学数学中的应用33.1 在数学分析中的应用33.1.1一元符号函数的直接可视化43.1.2导数和极限教学中的可视化43.1.3求函数极小值的应用53.1.4连续函数的可视化63.1.5在级数分解中的应用73.1.6重积分和积分区域的可视化93.2 在高等数学中的应用123.2.1线性方程求解可视化123.2.2 Givens变换对矩阵的旋转作用123.3 在常微分方程中的应用133.3.1 微分方程奇解和通解的关系133.3.2 微分方程解的可视化143.4 在概率统计中的应用153.4.1二项分布概率特性曲线的可视化153.4.2随机数的产生153.5 软件的可视化功能的其他重要体现163.5.1 衰减振荡曲线163.5.2 三叶线的可视化174. 软件可视化的必要性17参考文献：18致 谢19湖南人文科技学院本科毕业生论文摘 要：可视化研究是当前国内国际的热点问题，而软件可视化技术已应用于自然科学、工程技术、金融、通信和商业等各种领域，对于我们大学生来说可视化更是一种必不可少的学习工具。本文主要探究的是在大学数学中的可视化应用，主要是数学问题的可视化、数学理解的可视化、数学推理过程的可视化。利用方便的数据可视化功能，通过一系列绘图函数，实现在数学分析、高等数学、常微分方程等大学数学课程中二维和三维图形的可视化，成为数学创新思维的触发点, 提高数学学习的有效性, 帮助学生学会欣赏数学。关键词： 可视化 大学数学 Abstract: The research of visualization is a focus in china and abroad. The application of visualization technology is very extensive. It can be applied almost in the natural science, Engineering Technology, finance, communication and such areas as commerce. For college kids, it is an essential learning tool. This paper mainly explored the application of visualization technology in university mathematics.For example, the visualization of mathematic problem, understanding and reasoning process. The paper makes use of powerful function of data visualization, It realized the visualization of 2D and 3D in mathematical analysis, Advanced Mathematics and ordinary differential equation by a series of plot function, The visualization is to be a creative point. It can improve the studying efficiency and help students appreciate the mathematic.Key words: visualization college mathematics11、可视化的概念及意义数学理解需要视觉的感知。特别是几何图形的性质, 复杂的计算过程、函数的动态变化过程、几何证明的直观背景等, 若能运用信息技术来直观呈现, 使其可视化, 将会有助于学生理解, 促进对形与数的联系的认识。利用信息技术将现实中的复杂数据以动态影像图形的方式表现出来, 这种可视化技术促进我们开展数学探究教学。可视化的英文单词是visualization, 它来自英文的Visual,原意是视觉的、形象的。可视化是将不可见或抽象的信息用有意义的图像、视觉效果或图片来表示, 使这些信息在人们的感觉和想象中可视，将任何抽象的事物、过程变成图形图像的表示都可以称为可视化。概括地讲, 可视化是研究如何把科学数据转换成可视的、能帮助科学家理解信息的方法。其目的主要是为了高效地处理科学数据和解释科学数据。因为科学数据越来越多, 人们来不及处理; 其次是因为目前信息交流手段贫乏,可通过视觉化信息来弥补语言符号信息交流之不足。可视化是一种计算和处理的方法, 它将抽象的符号(数据)表示成具体的几何关系, 使研究者能亲眼看见他们所模拟和计算的结果, 使用户看见原本不能看见的东西。可视化是学生借助信息技术在头脑中形成图像的一个过程, 并且以获得更好的数学理解和激励数学发现过程为目的来使用这些图像。可视化技术尚待人类进一步研究与开发, 它在多媒体技术发展的基础上, 必将获得更开阔的前景。12、软件简介和可视化的功能是由矩阵（MATrix）和实验室（LABoratory）的头三个字母组成，它是美国MathWorks公司于1967年推出的一套高性能的数值计算和可视化数学软件，被誉为“巨人肩上的工具”。2.1的产生背景和主要组成诞生在20世纪70年代初,它的编者是美国墨西哥大学Cleve Moler博士和他的同事,当时用FORTRAN语言编写了两个程序库和解线性方程组,经过几十年的完善和扩充, MathWorks公司先后推出了的多个版本,每一次版本的推出都使有了长足的进步,界面越来越友好,内容越来越丰富,功能越来越强大,帮助信息越来越完善方便。目前, 已经成为科学和工程计算领域不可缺少的强大工具。作为线性系统的一种分析和仿真工具,是大学生应该掌握的技术工具,作为一种编程语言和可视化工具,可解决工程、科学计算和数学学科中许多问题。一般来说，系统包括下面五个主要部分：(1)编程语言：它是矩阵和数组为基本单位的编程语言；(2)工作环境：包括了一系列的应用工具，提供编程和调试程序的环境；(3)图形处理：包括绘制二维、三维图形和创建图形用户接口；(4)数学库函数：包含了大量的数学函数，也包括复杂的功能；(5)应用程序接口：提供接口程序，可使与其他语言程序进行交互。典型的应用包括以下两个方面：(1)数值计算和符号计算；(2)建模和动态仿真。2.2 语言的特点语言不同于第三代计算机语言（如FORTRAN语言和C语言），它是属于第四代计算机语言，语言使人们从繁琐的程序代码中解放出来，它的丰富的函数使开发者无需重复编程，只需简单的调用和使用，使开发者有更多精力用于创造性工作，专注于创新成果研发，语言主要有以下几个特点：(1)编程效率高是一种面向科学和工程计算的高效语言，允许用数学形式的语言编写程序且比FORTRAN语言和C语言更加接近于我们书写计算公式的思维方式，用语言编写程序犹如在演算纸上排列出公式与求解问题，因此，语言又被称为演算纸式科学算法语言，它编写简单，易学易懂。(2)用户使用方便是一种解释执行语言，它灵活、方便、调试程序的手段丰富，调试速度快。语言把编辑、编译、连接和执行融为一体，它能在同一画面上进行灵活操作，快速排除输入程序中的书写、语言及语意错误，从而加快了编写、修改和调试速度。可以说，在编程和调试过程中，它比Visual Basic还要简单。(3)扩充能力强、交互性好语言有丰富的函数库，用户也可根据需要方便地建立和扩充新的库函数，以便提高的使用效率和扩充功能。为了充分利用FORTRAN语言和C语言的子程序；还可以在FORTRAN语言和C语言中方便地使用的数值计算功能，良好的交互性使用以前的程序，减少重复工荼，也使现在编写的程序具有重复利用价值。(4)可移植性好、开放性好是用C语言编写的，而C语言的可移植性很好，所以可方便地移植到C语言的操作平台上，适合的工作平台有：Window系列、UNIX、Linux、VMS6.1、PowerMAC。除内部函数外，所有的核心文件和工具箱都是公开的，都是可读可写的源文件，用户可以通过对源文件的修改和自己编程来构成新的工具箱。(5)语句简单、内涵丰富语言中最基本、最重要的成分是函数，其一般形式为，即一个函数名、输入变量（如），、输出变量（如）组成。同一函数名，不同数目的输入变量及不同数目的输出变量，代表不同的含义。这不仅使和库函数功能更丰富，而且大大减少了所需要的磁盘空间，使M文件简单而高效。(6)高效方便的矩阵和数组运算语言像RORTRAN语言和C语言一样规定了矩阵的算术运算符、关系运算符、逻辑运算符、条件运算符及赋值运算符，而且这些运算符大部分可毫于改变地搬到数组运算中，它不需要定义数组的维数，并且给出了矩阵函数和特殊矩阵的库函数，使得矩阵运算简捷、高效，这是其他语言无法比拟的。(7)方便地绘图功能的绘图功能十分方便，它有一系列绘图函数，例如有线性坐标、对数坐标、半对数坐标和极坐标下的绘图功能函数，在调用绘图函数时，调整变量可以绘出不同颜色的点、线、多重线。自产生之日起就具有方便的数据可视化功能，将向量和距阵用图形表现出来，并且可以对图形进行标注和打印。高层次的作图包括二维和三维的可视化、图象处理、动画和表达式作图。可用于科学计算和工程绘图。新版本的对整个图形处理功能作了很大的改进和完善，使他不仅在一般数据可视化软件都具有的功能（例如二维曲线和三维曲面的绘制和处理等）方面更加完善，而且对于一些其他软件所没有的功能（例如图形的光照处理、色度处理以及四维数据的表现等），同样表现了出色的处理能力。同时对一些特殊的可视化要求，例如图形对话等，也有相应的功能函数，保证了用户不同层次的要求。总之，语言的设计思想可以说代表了当前计算机语言的发展方向，用户在不断使用中，会发现它的巨大潜力。在我们大学数学的学习过程中，可以结合软件，做一些简单的编程应用，达到一定的可视化效果。22.3 软件的可视化功能通常的课堂学习由于单纯的文字教材无法让我们学生接触真实的教学情境，教学的及时性、反馈性、全面性一定意义上受到限制。运用可视化手段可以把时间和空间有效地结合起来，使课堂情景化远为近、化静为动、化抽象为形象，激发学生兴趣和思维活动，发展其心理素质的非智力因素。可视化教学能够使学生对抽象与直观、静态到动态、平面与立体等关系有更形象的理解。同时，也可使学生从死记硬背、死读书、读死书的学习方法中解脱出来，更快地掌握学科的主要内容。主要功能如下:(1)利用可视化在数学课程中进行教学，帮助学生理解抽象性的内容，使内容直观、生动、易于理解。可视化可以帮助学生理解抽象的概念，无法直接观察的现象，多维抽象空间中的函数等。(2)可视化教学能展现运动过程、动静搭配，以弥补数学课本中插图和文字说明的局限性。(3)为记忆提供了一个新的方式。一个映像或一个实体可视化以后，由于在头脑中它们几乎成为有形的物体因而对它们的理解与记忆就变得更容易。(4)可视化不仅仅给予更高水平推理以直觉支持，它还含有生动数学的本质。(5)适当的可视化是解决数学问题的有力工具(6)可视化的应用可以给我们学生提供数学探索和创新的机会可视化应用可以为我们创设一个数学实验室，提供了一个理想的“做”数学的环境。学生可以从“想”数学转变到“做”数学，它打破了通常的用尺规教学的方法，把动态的图形展现在学生面前。把可视化的“交互性”体现在数学教学中，能帮助学生组织自己的学习过程，以求发现问题、分析问题、解决问题。33. 探究软件可视化功能在大学数学中的应用软件可视化技术的应用十分广泛,几乎可以应用于自然科学、工程技术、金融、通信和商业等各种领域。正是因为可视化技术能作用于各个领域，对可视化技术的发展和需求也提出了一个更好的要求。从可视化技术的诞生之日起，便受到了各行各业的欢迎。在过去的十年里，可视化的应用范围已从最初的科研领域走到了生产领域，到今天它几乎涉及到了所有能应用计算机的部分。而对于我们大学生来说更是一种必不可少的学习工具，它应用于大学数学中的几乎各项课程里。43.1 在数学分析中的应用在数学分析课程中有相当一部分内容对于我们来说很抽象难以理解，如果把有的内容如能以图形的形式表达出来，或许就好理解多了，现取课本中的一些实例来探究说明。3.1.1一元符号函数的直接可视化7在学习数学分析中我们对一些一元函数很陌生，在理解题目或解题方面造成了很大的困难，但是如果知道这些函数的图形，对我们的解题会有很大的帮助。例1：一元符号函数的直接可视化。的程序如下：syms tezplot(2/3*exp(-t/2)*cos(sqrt(3)/2*t),0,4*pi),ylim(-0.2,0.7) 图1知道了一些复杂一元函数的图形，使我们在做题目过程中一目了然，也增加了学们学习数学分析的信心。3.1.2导数和极限教学中的可视化4数学分析中微积分的导数和极限是很抽象的知识，通过软件能以几何图形很好地表达导数的内涵和性质。例2：证明：函数在连续，但不可导。此题只需考虑函数在点有极限，但在点极限不存在即可。先用语言来求函数在的极限： syms x y=x*sin(1/x) limit(y,x,0) ans =0通过上述结果可知函数在的极限值等于的值，也就是说明函数在连续。下面我们用图形来观察在点是否有极限。在中，利用绘图命令如下： ezplot(x*sin(1/x),-0.6,0.6,-0.4,0.5),grid on hold onlegend(x*sin(1/x) 图2通过观察以上图可知：当时，在-1与1之间是无限次震动的，不存在极限，即函数在点不可导。3.1.3求函数极小值的应用5对于函数极值问题，数学分析教科书给出的求解方法是：先对函数求导函数，然后解方程得到满足方程的，进而通过分析在领域内凹凸性，确定出是否在取得极值。这种极值确定法概念清晰、易于理解和接受。因此，这种极值确定法不但在许多理论演绎中常被采用，而且在相当一些导函数比较简单的实际极值问题中也不少采用。但是这种极值确定法应用于实际时遇到两个大障碍：一是，待求极值函数的导函数未必处处存在；二是，即使导函数存在，但是的求解绝非轻而易举。利用的图形法求极小值使这些问题大大简化。例3：求函数在区间的极小值。 syms x x=-pi/2:pi/200:pi/2; y=(x+pi).*exp(abs(sin(x+pi); plot(x,y) xlabel(x),grid on x,y=ginput(1)x =-0.0138y=3.1316图3本例函数的特点：一是导函数不连续；二是在x=-1附近，导数存在，且为0，是一个极大值。对于这样的函数，教科书方法不适用。借助图形窗的交互能力，可以相当准确地求解一元函数的极值问题。3.1.4连续函数的可视化连续函数的可视化包含三个重要环节：一是从连续函数获得一组采样数据，即选定一组自变量采样点（包含采样点的起点、终点和采样的步长），并计算相应的函数值；二是，离散数据的可视化；三是，图形上离散点的连续化。显然，图形上的离散点不能很好地表现函数连续性。进一步表示离散点之间的函数性状，有两种处理方法：(1)对区间进行更细的分割，计算更多的点，以近似表现函数的连续变化。这种方法的优点是：所画的每个点都反映真实的函数关系；缺点是：为了使图形上离散点密集到产生“连续感”，所需离散点的数量很大，从而大大增加计算负担。因此，在实际应用中，这种依靠增加离散点数量去获得“连续感”的方法较少采用。(2)在离散采样点的基础上，采用“线性插值”迅速算出离散点间连线上所经过的每个像素，从而获得“连续曲线”的效果。这种方法的优点是：曲线有良好的连续感，并且计算量小，绘图速度快：缺点是：除离散采样点外，所有的连线都只是真实曲线的近似。此外，采用插值连线画图时，自变量采样点必须按单调增或单调减次序排列。绘制连续曲线时，会根据指定的离散采样点，自动的进行插值计算，进而绘制出连续的曲线，倘若自变量的采样点数不足够多，则无论哪种方法都不能真实地反映出原函数。例4：用图形表示连续调制波形t1=(0:11)/11*pi; t2=(0:400)/400*pi; t3=(0:50)/50*pi; y1=sin(t1).*sin(9*t1); y2=sin(t2).*sin(9*t2); y3=sin(t3).*sin(9*t3); subplot(2,2,1),plot(t1,y1,r.) axis(0,pi,-1,1),title(1)点过少的离散图形) subplot(2,2,2),plot(t1,y1,t1,y1,r.) axis(0,pi,-1,1),title(2)点过少的连续图形) subplot(2,2,3),plot(t2,y2,r.) axis(0,pi,-1,1),title(3)点密集的离散图形) subplot(2,2,4),plot(t3,y3,) subplot(2,2,4),plot(t3,y3) axis(0,pi,-1,1),title(4)点足够的连续图形)图43.1.5在级数分解中的应用例5：在讲解麦克劳林公式中的例子：其中很多学生是不能理解这样的展开式的，如能用图形来说明，大部分学生就能理解。于是在环境下，依次输入如下的命令： figure(1); subplot(2,3,1); x=0:0.01:3; y=exp(x); plot(x,y); xlabel(x); ylabel(exp(x); subplot(2,3,2); plot(x,1+x); xlabel(x); ylabel(1+x); subplot(2,3,3); plot(x,1+x+x.2/2); xlabel(x); ylabel(1+x+x.2/2); subplot(2,3,4); plot(x,1+x+x.2/2+x.3/(3*2); xlabel(x); ylabel(1+x+x.2/2+x.3/(3*2); subplot(2,3,5); plot(x,1+x+x.2/2+x.3/(3*2)+x.4/(4*3*2); xlabel(x); ylabel(1+x+x.2/2+x.3/(3*2)+x.4/(4*3*2); subplot(2,3,6); plot(x,1+x+x.2/2+x.3/(3*2)+x.4/(4*3*2)+x.5/(5*4*3*2); xlabel(x); ylabel(1+x+x.2/2+x.3/(3*2)+x.4/(4*3*2)+x.5/(5*4*3*2);图5上图中，左上角第一个图是函数在的图象，第二个图是的展开式中只取常数项和一次项在的图像，以此类推。由逼近图可以看出，取的项数越多，逼近效果越好，当取到前六项时，已非常接近了，可以作为的一个近似了。3.1.6重积分和积分区域的可视化4重积分尤其三重积分是微积分教学中的难点，用传统的教学手段是很难讲清的，学生也会因此而对三重积分不感兴趣，导致这部分内容学不好，其主要原因之一就是对题目所给的积分域不能准确地定下来，如能将相关的图形绘制出来就有利于学生理解了。用不仅可以快速求解三重积分，还可以显示图形，将积分区域可视化，使得复杂、抽象的三重积分形象化、直观化、具体化，具体做法是把图形投影到坐标平面上来达到积分区域的可视化。例6：求三重积分，积分区域为椭球体首先把积分区域椭球体的三维图形绘制出来。输入语句clear;clcsyms t sx=sqrt(3)*cos(s).*sin(t);y=sqrt(4)*sin(s).*sin(t);z=sqrt(5)*cos(t).*(1+0*s);ezmesh(x,y,z)图6 得到图6，可见积分区域的三维图形是个很精美的图形，但是要想观察积分区域，还需要把所绘制的三维图像投影到平面和平面上，这就用到了的设置视点位置的功能命令。由语句来实现此目的，首先投影到平面：clear;clcsyms t sx=sqrt(3)*cos(s).*sin(t);y=sqrt(4)*sin(s).*sin(t);z=sqrt(5)*cos(t).*(1+0*s);ezmesh(x,y,z)view(0,90)图7投影到平面的程序与图形：clear;clcsyms t sx=sqrt(3)*cos(s).*sin(t);y=sqrt(4)*sin(s).*sin(t);z=sqrt(5)*cos(t).*(1+0*s);ezmesh(x,y,z)view(90,0)图8由上面的图可知，积分变量的积分区域为，积分变量的积分区域为，积分变量x的积分区域为，由于积分区域是对称的，所以在求解积分值时可以把积分区域分成8等份，只按其中1份积分区域来求积分值，最后把所得积分结果乘以8就可以得到整个积分的结果。这样既方便又快捷。继续输入求积分的语句，执行结果为：可见用软件可以很快求出三重积分结果，其它类型的积分也能通过简单的语句得到准确精美的图形。例7：求积分，其中L为螺旋线 的一段。如能将螺旋线绘制出来对解题是很有帮助的。绘制螺旋线的过程如下： figure(1) t=0:0.001:2*pi; plot3(2.*cos(t),2.*sin(t),3.*t); xlabel(x); ylabel(y); zlabel(z); grid on图9在实际应用中，还有很多二维三维图形可以用绘制出来，供学生参考，如极坐标、球坐标图形的绘制等。而对这些图形的绘制，强大的绘图功能完全可以完成，尤其是三维图形，方法简单，易于操作，结果直观，对空间想象能力不足的学生更有重要的意义。数学分析是大学数学专业的一门重要基础课，学习对象是刚从高中升上来的大一学生，其学习效果对后续课程的学习至关重要。如能充分运用强大的功能，在学习中能将一些抽象的，难以理解的内容，教师尽可能以图形的方式表达出来，有利于学生理解，让学生感觉到“看得见、摸得着”，提高对学习数学分析的兴趣和学好的信心。同时，作为一科学计算软件，简单易学，功能强大，在很多学科都有应用，在学习过程中使用的可视化技术，有利于我们对其有所了解，为以后深入学习及其它计算机课程打下一些基础。3.2 在高等数学中的应用3.2.1线性方程求解可视化6关于方程求解理论，从代入消元法和加减消元法，到数值计算中的牛顿迭代法，高斯消元法，一直到微分方程的求解理论。在解方程过程中，经常容易丢掉一些解，若借助于函数的图形，就很容易看清方程解的个数。例1：求非线性方程在上的解：我们可以在环境下用来求解该方程的解，过程如下： syms x x=solve(sec(x)+sin(x)-1,x) y=sec(x)+sin(x)-1; ezplot(y),grid on图10这样我们通过图形可以很直观地看出非线性方程的实数解的个数，避免在解方程过程中丢掉一些解。3.2.2 Givens变换对矩阵的旋转作用在高等数学中有坐标的平移与极坐标的旋转变换，很多学生没有很好的空间想象力，对于极坐标的旋转变换不明白，导致学习起来很吃力，但是借助于的绘图功能，把图形直观地展现在学生的面前，在很大的程度上减少了学生学习旋转变换的困难。例2：Givens变换对矩阵的旋转 syms tA=sym(sqrt(3)/2,1/2;1/2,sqrt(3)/2)G=cos(t),-sin(t);sin(t),cos(t);GA=G*AAB=subs(GA,t,110/180*pi);O=0;0;d=double(A);V1=O,d(:,1);V2=O,d(:,2);U1=O,AB(:,1);U2=O,AB(:,2);plot( V1(:,1),V1(:,2),-k,V2(:,1),V2(:,2),b)axis(-1,1,-1,1),axis squarehold onB=plot( U1(:,1),U1(:,2),-k,U2(:,1),U2(:,2),b);set(B,linewidth,4)图11对矩阵A旋转110度的可视化，这样使我们对旋转的理解有了很大的帮助。3.3 在常微分方程中的应用我们在学习常微分方程时，对微分方程的求解结果有通解与奇解之分，但是通解与奇解之间又有什么关系呢？我们通过的绘图功能，把图形直观地展现出来，那么微分方程的通解和奇解的意义就显而易见了。同时，根据图形我们也可以看出微分方程的解。3.3.1 微分方程奇解和通解的关系例1： 图示微分方程奇解和通解的关系7y=dsolve(Dy)2-x*Dy+y=0,x)hold onezplot(y(1),-6,6,-4,8,1)c=get(gca,children);set(c,color,r,linewidth,5)for k=-2:0.5:2;ezplot(subs(y(2),C1,k),-6,6,-4,8,1);end,图12图中红线表示微分方程的奇解，而蓝线表示方程的通解，该图也可以看出奇解是通解的包络抛物线。3.3.2 微分方程解的可视化例2：可视化微分方程的解y=dsolve(x*D2y-3*Dy=x2,y(1)=0,y(5)=0,x)y =31/468*x4-1/3*x3+125/468 ezplot(y,-1,6) clf ezplot(y,-1,6) hold on plot(1,5,0,0,r,markersize,20) text(1,1,y(1)=0) text(4,1,y(5)=0) 图103.4 在概率统计中的应用概率统计在科学研究和工程应用中的地位日显重要。鉴于概率、统计、随机本身的特点，教材中一些在过去难以表达或体验的概念和算法，在计算机普及的今天就不再是障碍。在概率统计中的可视化，便于我们增加对多种概率分布的感性体验。3.4.1二项分布概率特性曲线的可视化7例1：画出情况下的二项分布概率特性曲线。 N=100;p=0.5; k=0:N; pdf=binopdf(k,N,p); pdf=binopdf(k,N,p); cdf=binocdf(k,N,p); h=plotyy(k,pdf,k,cdf); set(get(h(1),ylabel),string,pdf) set(get(h(2),ylabel),string,cdf) xlabel(k) grid on图11从图中可见，若每次试验中，结果A发生的概率为0.5，那么在所进行的100次独立重复试验中，获得A结果的试验次数最可能是50，因为该二项分布的数学期望。但在100次试验中，A结果恰出现50次的概率不到0.08。3.4.2随机数的产生例2：产生1000个服从的随机数。 mu=2;s=0.5; randn(state,22) x=randn(1000,1); y=s*x+mu; z=s*(x+mu); subplot(3,1,1),histfit(x),axis(-5,5,0,100),ylabel(x) subplot(3,1,2),histfit(y),axis(-5,5,0,100),ylabel(y) subplot(3,1,3),histfit(z),axis(-5,5,0,100),ylabel(z)图123.5 软件的可视化功能的其他重要体现3.5.1 衰减振荡曲线例1: 衰减振荡曲线的可视化，t的取值范围是 t=0:pi/50:4*pi; y=exp(-t/3).*sin(3*t); plot(t,y,-r),grid on图133.5.2 三叶线的可视化例2：三业线的可视化。 t=0:pi/50:pi; plot(sin(3*t).*cos(t),sin(3*t).*sin(t),-r)图144. 软件可视化的必要性随着计算机技术的发展，教育中的教与学关系也随之经历着变革。传统的教学模式是以教师为中心，学