利用定积分定义求数列极限.doc

利用定积分定义求数列极限淮 乃 存(陕西省理工学校 , 陕西 西安 710054)摘要 :讨论了应用定积分定义求数列极限的方法 ,并给出了确定被积函数及积分上 、下限的具体步骤 .关键词 :定积分 ; 数列极限 ; 被积函数中图分类号 : O171文献标识码 : A极限是数学分析的一个重要概念 , 若有数列是某个可积函数特殊的一列积分和 , 那么计算此数列的极限可以转化为计算定积分 , 这是计算这类数列极限的一个简便 、有效方法. 由于数 学分析教材对这一知识点只提及一二例 :sin + sin 2 +1 的值.n -如 :求 limn + sinnnnsin + sin 2 + + sin1n - 1解limn =nnnnsin 0 + sin + sin 2 +n - 1limn + sin=nnnnn - 1n - 1lim1 sin i = limf ()1 .n nn ( 1)inni = 0( 1) 式是函数 f ( x )i = 0= sin x在区间 0 , 1 上的一个积分和 , 它是把 0 , 1 分成 n 等份.ii - 1 ,即 =1 , f ()= sin i - 1 构成的积分和 , 由定积分定义可i -取得的左端点iinnnn - 1sin + sin 2 +1n - 11sin i =n nlim + sin= limn nnnnni = 01110 sinx d x= 0 sinx d (x ) =1- 1 co sx2 .=0许多教师在讲此内容时将例题一带而过 , 导致大部分学生做习题不知从何下手 , 基础较好的学生也只是模仿例题 , 但对该方法理解不深 . 本文对利用定积分定义求数列极限的方法步骤 及如何确定被积函数积分上下限予以探讨.利用定积分求 lim a n 步骤 : n 收稿日期 :2003204214in1n1n专辑淮乃存 :利用定积分定义求数列极限31( )通过恒等变形 , 将 a n 化为特殊形式的积分和 :mi 1a n = fn .ni = k( )寻找被积函数 f 确定积分下限及上限令 ii= x , 被积函数为 ff ( x ) .=nn积分下限 : a = lim k ( k 为 i 的第一个取值) ; 积分上限 : b = lim m ( m 为 i 的最后一个取n nn n值) .( ) 据定积分的定义 , 将 lim a n 写成定积分n mbi 1nnan lim a n = limf= f ( x ) d x .n i = k( ) 计算定积分 , 得所求极限为bn aF ( x ) b , 其中lim a n =f ( x ) d x =F ( x ) =f ( x ) .a利用定积分求 lim a n 关键为n ( 1) 寻找被积函数 ; ( 2) 确定积分的下限 a 及上限 b . 1 1 + +例 1求 lim+的值.n ( n + 1)n ( n + 2)n 解( ) 将 a n 化为特殊形式的积分和 : 1 1 1 +a n =n ( n + 1) 1 n ( n + 2)n ( n + 3) 1 1 + + 1=n + 1n + 2n + 3nn 1 n 1 n 1 + + 1=123n1 +1 +1 +nn3 nn3 n 1 1i 1= f ,nnnii = 1i = 11 +1ni其中f=.ni1 +n( )寻找被积函数关系 f ( x ) 积分的下限及上限 :1令 i= x , 则被积函数 f ( x ) =,n1 + x1积分下限 : a = lim= 0 ( 这里 k = 1) ;n n积分上限 : b = lim 3 n = 3 ( 这里 m = 3 n) .n n( ) 、( ) 将 lim a n 写成定积分 , 并计算得所求极限 :n 11 + 3 n n1n + 3 n n1n ( n + 3 n)1n ( n + 3 n)32陕西师范大学学报 自然科学版第 31 卷 1 1 + +lim+=n ( n + 1)n ( n + 2)n 3 n 13 1 1n 0n lim=d x =i1 + xi = 11 +n= 2 .3021 + x有些数列的极限 , 形式上不是无限和的极限 , 但通过一定的变形可化为无限和的极限 , 然后按上述步骤计算.1n例 2求 lim( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + n) 的值.nn 1n解( )这里 a n( n + 1) ( n + 2) ( n + 3) ( n + n ) 不是无限和 , 作转化=n 1 1ln a n = ln+ n ln ( n + 1) + ln ( n + 2) + ln ( n + 3) + + ln ( n + n) =nln ( n + 1) + ln ( n + 2) + ln ( n + 3) + + ln ( n + n ) + nln=n + 1 + ln n + 2 + ln n + 3 +ln + ln=nnn123nln 1 + ln1 +n+ ln 1 + + ln1 +=nnnnn 1 lni1 .if1 +=nnn ni = 1i = 1ii这里 f= ln 1 +.nn= x , 则被积函数 f ( x ) = ln ( 1 + x ) .令 i( )n1n积分下限 : a = lim= 0 ( 这里 k = 1) ; 积分下限 : b = lim= 1 ( 这里n ) .m =n n据定积分的定义将 lim ln a n 写成定积分并计算.n n( )n nin lim ln a n = limln1 +=nn i = 1111x0ln ( 1 +0 0 1 + x=x ln ( 1 + x ) -d xx ) d x=11 x ln ( 1 + x ) -x + ln ( 1 + x ) =( x + 1) ln ( 1 + x ) - x =004 .2ln 2 - 1 = lne( )求 lim a n .n 4因为lim ln a n = ln,e 1n 4n所以( n + 1) ( n + 2) ( n + n) =.lim a n = limn nei ( b - a)n 一般地 , 若 f ( x ) 在 a , b 上可积 , 令 f i n = f a +按定积分的定义求极限 , 则有.n1nn + nn1n1n1n1n ( n + 3 n )专辑淮乃存 :利用定积分定义求数列极限33blim 1 ( f 1 n + f 2 n + + f n n ) =1aa( )f ( x ) d x ;n nb - b1na( )f 1 n f 2 n f n nnln f ( x ) d x ;limn =b - aeb - a( )lim, f ( x ) 0 ,=bn 1 + 1 + 1 d x a f ( x )+f 1 n f 2 nf n nb b - a ba1 1 b - aaa fln f ( x ) d x且e( x ) d x .b d x b -a f ( x )n 11 n f i n ,证明( ) 这里 a n = n ( f 1 n + f 2 n + + f n n )=n = 1i ( b - a)其中 f i n = fa +.n令 i= x , 则被积函数为 f ( a + x ( b -a) ) .n1积分下限 : c = limn = 0 ( 这里 k= 1) ;nn积分上限 : d = lim= 1 ( 这里n ) .m=n nn( b - a) 11a + in 所以lim( f 1 + f+ + f)= limf=n 2 nn nn nnni = 110 f ( a + x ( b - a) ) d x .t -a , d x1令 t = a + x ( b -a) , 则 xd t . 当 x 由 0 到 1 变化时 , t 由 a 变化到 b.=b -ab -ablim 1 ( f 1 n + f 2 n + + f n n )1a所以=f ( t )d t =n nb - abb11aa faa( )f ( x ) d x .t d t=b - ( ) 和 ( ) 的证明略 .参考文献 :b -责任编辑张惠民1 华东师范大学数学系 . 数学分析 M . 上海 :上海科学技术出版社 ,1982 .Fin ding l imits of sequences by the def in it ion of integralHUA I Nai2cun( Shaanxi School of Science and Technology , Xian 710054 , Shaanxi , China)Abstract : A met ho d of finding limit s of sequences by t he definiti