简单几何作图.doc

简单几何作图碧桃浓华2011年4月16日简单几何作图 9 简 单 几 何 作 图给出一些已知条件，求作合乎要求的已知条件的图形，叫做几何作图。几何作图的基本要求是使用没有刻度的直尺和圆规，现在普遍使用电脑软件作图，其基本要求没变，也只能用软件中的点工具、直线工具、圆工具等，但对于最基本的，如求给定直线的平行线、垂直线等，可直接工具软件功能画出。作图的基本步骤是已知、求作、分析、作法、证明、讨论，对于简单的初级作图题，可以省略一些步骤，不必过于拘泥。笔者近来学习几何画板软件，寻找了一些初级平面几何作图题作为练习，兴趣所至，顺便整理了一下，写出详细的作法，或许供初中生作图爱好者参考。有作图高手，请勿哂笑。【作图 1】过三点作圆。【已知】已知三点A、B、C。【求作】作一圆，圆周经过A、B、C三点。【作法】1）分别作AB、BC的垂直平分线交于一点O。2）以O为圆心、OA为半径作圆即为所求。【原理】与已知两点等距的点的轨迹，为连接该两点的线段的垂直平分线。【作图 2】求一点与三线等远。【已知】已知三线l、m、n。【求作】作一点，与l、m、n等距离。【作法】1）作直线l、m所形成的ABC的角平分线和直线m、n所形成的BCA的角平分线，两线交于O点。O点与三线等距，即为所求。2）过O点以OD为半径作圆，即为ABC的内切圆。【原理】与已知两直线等远的点的轨迹，为两条互相垂直的直线，各平分已知直线所相交所形成的角。【作图 3】以三线段为边长作三角形。【已知】已知三线段M1N1、M2N2、M3N3。【求作】求作以该三线段长度为边长的ABC。【作法】1）在直线m上截取AB使长度等于M1N1长度。2）分别以B、A点为圆心，M2N2、M3N3长度为半径作圆交于C点。3）连接AB、BC、CA所成ABC即为所求。【原理】圆上任一点与圆心等距。【作图 4】作过两定点已知半径的圆。【已知】已知两点A、B，圆半径r。【求作】作一半径为r的圆，圆周经过A、B两点。【作法】1）连接A、B成线段并作AB的垂直平分线。2）以B点为圆心r长为半径作圆交垂直平分线于O点。3）以O点为圆心OB长为半径作圆必经过A、B点。【原理】AO = BO = r【作图 5】作过一定点及与一直线相切的已知半径的圆。【已知】已知点A，定直线k，圆半径r。【求作】作一半径为r的圆，圆周经过A点且与直线k相切。【作法】1）作直线k的平行线l与k相距r长。2）以点A为圆心r长作圆交直线l于点O。3）以O点为圆心r长为半径作圆即为所求。【原理】AO = BO = r【作图 6】作过与两直线相切的已知半径的圆。【已知】已知定直线j、k，圆半径r。【求作】作一半径为r的圆，与直线j、k相切。【作法】1）以r长为距离分别作直线j、k的平行线n、m相交于点O。2）以O点为圆心r长为半径作圆即为所求。【作图 7】作过与两圆相切的已知半径的圆。【已知】已知两圆A、B，半径r。【求作】作一半径为r的圆，与A、B相切。【作法】1）分别以A为圆心（A半径+r）长为半径、以B为圆心（B半径+r）长为半径作圆，两圆相交于O点。2）以O点为圆心r长为半径作圆即为所求。【原理】半径一定的与已知圆相切的众圆，圆心轨迹为与已知圆的同心圆。【作图 8】过圆外一点作圆的切线。【已知】已知圆A和圆外一点P。【求作】作一条与A相切的直线。【作法】1）连接圆心A点和圆外一点P。2）以AP的中点作圆交A于点B。3）连接P、B点所成直线PB必与A相切。【原理】因CA = CB，CP = CB，所以CAB = CBA，CPB = CBP；所以ABP = CAB + CPB；而ABP + CAB + CPB = 180，所以ABP = 90，即ABPB。【作图 9】作两圆的公切线。【已知】已知A和B。【求作】作一条A、B相切的直线。【作法】1）以两圆半径之差为半径作B的同心圆C。2）作过A点的C切线AC。3）分别作过A、C作AC的垂直线交A、B于点D、E。4）连接D、E所成直线DE即为两圆的一条切线。【原理】因AD = CE，ADCE，ADAC，CEAC，所以DEAD，DECE。【作图 10】作一圆与两平行线相切。【已知】已知点A和直线k、m。【求作】作与两线相切的且经过A的圆。【作法】1）以点A为圆心，两线距离一般为半径作圆。2）作与两线距离相等的平行线交圆于点O。3）以点O为圆心，两线距离一半为半径作圆，即为所求。【讨论】当两圆外离、外切、相交时有两解，两圆内切时有一解，圆内含时无解。【作图 11】知顶角、底边、高作三角形。【已知】已知A，A的对边长度a及高ha。【求作】符合条件的三角形。【作法】1）延长A的两边l、m，在l的适当位置寻找一点B。2）以B为圆心a长为半径在m上截取C点。3）过A、B、C三点作圆。4）以ha距离作BC平行线n，交圆于D点。5）连接B、C、D所成BCD即为所求。【原理】A、B、C、D四点共圆，D、A共同一弦，所以D = A。【作图 12】知顶角、底边、中线作三角形。【已知】已知A，A的对边长度a及过顶角中线hm。【求作】符合条件的三角形。【作法】1）延长A的两边，在一边的适当位置确定一点B。2）以B为圆心a长为半径在另一边上截取C点。3）过A、B、C三点作圆。4）以BC中点P为圆心hm长为半径作圆，交前圆于D点。5）连接B、C、D所成BCD即为所求。【原理】A、B、C、D四点共圆，D、A共同一弦，所以D = A。【作图 13】作三角形内接正方形。【已知】已知ABC。【求作】在ABC内作一内接的最大正方形，要求一边与三角形底边重合。【作法】1）过AC边上适当位置E点作AB的平行线，以及垂线交AB于D点。2）以E为圆心ED长为半径在平行线上截取到F点。3）作过A、E点的直线交BC于G点。4）过G点作AB的平行线和垂线分别交AC于J点，交AB于H点。5）过J点作AB垂线交AB于I点，连接G、J、I、H所成正方形即为所求。【作图 14】作36角。【作法】1）作适当长度线段AB。2）过B点作AB的垂直线。3）以AB中点D为圆心AD长为半径作圆，交刚作的垂直线于C点，连接AC。4）以C点为圆心CB长为半径作圆，交AC于A点。5）分别以A、A点为圆心AB长为半径作圆相交于P点。6）连接PA、PA所成APA是为36。【原理】若AB = 2，则BC = 1 ，AC = 5 ，AA= 5 1 。以5 1 为底边、2为两腰所成等腰三角形的顶角必为36。【作图 15】作直线与定角交成等腰三角形【已知】定角A，定角内一点P。【求作】过P点作直线与A相交围成等腰三角形ABC。【作法】1）以A点为圆心适当半径作圆交A两边于E、F点。2）连接EF并经过P点作EF的平行线，交A于B、C点，所成ABC即为所求。【作图 16】作三平行线上等边三角形【已知】三条平行线l、m、n，l上一点A。【求作】m上点B和n上点C，使ABC成等边三角形。【作法】1）过A点作l的垂直线交n于E点。2）以AE长作等边三角形AED。3）过D点作AD的垂直线交m于B点。4）以B点为圆心AB长为半径作圆交n于C点。5）连接A、B、C所成ABC为等边三角形。【原理】ADB AEC 。【作图 17】作半圆内接矩形。【已知】矩形对角线长a和定半圆A。【求作】半圆的内接矩形。【作法】1、以半圆圆心O点为圆心作半径为a的A。2、在原半圆上适当位置取一点P，过P点作OP垂线交A于R点。3、以P点为圆心适当距离PN为半径作圆交OP所在直线于N、Q。4、以N点为圆心NQ为半径作圆交PR所在直线于S，连接SN。5、过R点作SN平行线交OP所在直线于L点。6、以O点为圆心LP为半径作圆交半圆直径于U、T两点。7、分别过U、T点作UT垂线交半圆于K、V两点。8、连接U、K