线性代数单元辅导3.doc

685cdf27bb6fe793a853a96008a82957.pdf 第 6 页 共 6 页线性代数单元辅导3一、基本要求1. 深刻理解向量组的线性相关性的概念，会判断向量组的线性相关性2. 理解向量组的极大无关组及向量组秩的概念3. 会用矩阵A的行（列）向量组的秩矩阵A的秩确定向量组的线性相关性二、内容提要（一）向量的基本概念1. n维向量由n个数构成的一个有序数组称为n维向量，记做 ，并称其为n维行向量记，并称其为n维列向量零向量：所有分量均为“0”的向量，记作负向量：由n维向量的各分量的相反数所构成的n维向量，记作，即2. 向量相等：同维数且对应分量相等等向量3. n维向量的线性运算设，（1） 加减运算（2） 数乘运算（3） 向量的和差数乘统称为向量的线性运算，且满足以下运算规律 （交换律） （结合律） 其中均为n维向量，4. 线性组合对于向量，如果存在一组数，使得成立，则称是的线性组合，或称可由线性表出5. 线性相关与线性无关设有n维向量组，如果存在一组不全为0的数，使得 成立，则称向量组线性相关如果仅当时，才使上式成立，则称向量组线性无关注意：（1）含有零向量的向量组一定线性相关 （2）两个向量构成的向量组线性相关 对应分量成比例 即两个向量构成的向量组线性无关 对应分量不成比例6. 极大线性无关组及向量组的秩设有向量组T，如果（1） 在T中有r个向量线性相关（2） T中任意r1个向量（如果T中有r1个的话）均线性相关，则称是向量组T的一个极大无关组，数r称为向量组的秩7. 向量组的等价设有两个n维向量组 ；如果向量组A中的各个向量都能由向量组B中的向量线性表示，则称向量组A能由向量组B线性表示，如果向量组A与向量组B能互相线性表出，则称向量组A与B等价（二）重要结论（1）向量组线性相关 向量组中至少有一个向量可以由其余的m1个向量线性相关 线性无关 向量组中的每一个向量都不能由其余向量线性相关（2）若向量组线性无关，而向量组线性相关 可由向量组线性表出，并且表示法唯一（3）若向量组线性无关，则增加向量组各向量的分量后，所得的向量组仍然线性无关（4）线性无关的向量组的任何部分组也是线性无关的（5）向量组向量的个数大于向量组的维数，则向量组线性相关（6）n个n维向量线性无关 由向量组所构成的矩阵对应的行列式不等于零（7）矩阵的秩矩阵行向量组的秩矩阵的列向量组的秩（8）设为向量组T的极大无关组，则与向量组T等价（9）两个等价的线性无关组所含向量的个数相同（10）两个等价向量组的秩相同（11）如果矩阵A经过有限次初等列变换变成矩阵B，则A的列向量组与B的列向量组等价，而A的任意k个行向量与B中对应的k个行向量有相同的线性相关性（12）对于一个向量组，其所有极大无关组所含向量的个数都相同（13）向量组S中每一个向量由极大无关组线性表出的表达式是唯一确定的三、例题分析1. 向量能否由向量组线性表示的判定 （1）先令 （2）再由向量相等关系将上式写成方程组 （3）可将上述方程组转化为对矩阵作初等变换，即由向量组构成矩阵，然后对A作行初等变换，再作分析最后得出如果方程组无解，则不能由向量组线性表示 如果方程组有解，则可由向量组线性表示例1：设 问能否表示成的线性组合解：令，则有 解得，故例2：试把表示成向量组， 的线性组合解：以作为列向量构成矩阵A，对矩阵A作初等行变换，化为标准阶梯形矩阵 知道B的最后一个列向量与前四个列向量的关系，就是与之间的关系，于是可以得到2. 判定给定向量组的线性相关性（1）利用观察法，直接由定义判定（2）一般把向量组的向量作为矩阵的列（或行），作初等变换，求出矩阵的秩（即为向量组的秩），若矩阵的秩与向量组中向量的个数相等，则该向量组线性无关，否则线性相关例3：向量组线性无关，则结论正确的是（ ）A线性无关B线性无关C线性无关D线性无关解：由观察法可知ABD由排除法则可以判断C是正确的例4 设，求该向量组的秩，并判断该向量组是否线性相关解：以为行向量构成矩阵A，对A作初等行变换求其秩由于A的秩为3，即向量组的秩为3，并且线性相关3. 求向量组的极大无关组一般方法为矩阵的初等行变换：（1）将向量组中的各向量作为矩阵的列（2）对上述矩阵作初等行变换（3）变成阶梯形矩阵后，每一台阶取一列，所对应的向量构成的向量组即为极大线性无关组（进一步可知，每行第一个非零元