常州大学数值分析第一章习题解答.doc

1.1解：m=3;f=(x)digit(digit(x4,m)- digit(x3,m)+ digit(3*x2,m)+ digit(x-2,m),m);g=(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);f(3.33)g(3.33)有ans = 121ans =121实际上，当m=2时，就可以看出这两种算法在计算的精确度上的区别：m=2;f=(x)digit(digit(x4,m)- digit(x3,m)+ digit(3*x2,m)+ digit(x-2,m),m);g=(x)digit(digit(digit( digit(digit(digit( (x-1)*x,m)+3,m)*x,m)+1,m)*x,m)-2,m);f(3.33)g(3.33)有ans = 120ans =130，可以看出，两者在计算精度上的不同区别，数学上恒等，在数值上不一定恒等。1.2解： （1）精确到小数点后第三位，故有4位有效数字 （2）精确到小数点后第三位，故有2位有效数字（3）精确到小数点后第三位，故有0位有效数字1.3 解;记圆的面积为S，由题意有|e(S)|1%。由S=r2知：dS=2rdr所以 dS/S=(2rdr)/(r2)=2(dr/r)|e(r)|12|e(S)|0.51%=0.5%1.4 解： 由题有：|e(x)|1/210-2 ; |e(y)|1/210-2; |e(z)|1/210-2 |e（S）|xe(x)+ye(y)|+ |ze(z)|2x|e(x)|+y|e(y)|+z2|z(z)|24.210.005+1.791.005+2.112.110.0052=0.031/210-1 又S=4.21*1.79+2.112=11.988 S至少具有3位有效数字。在字长为3的计算机上运行，误差为：S1=4.21*1.79+2.11;S2=digit(digit(4.21*1.79,3)+digit(2.112,3),3);err=S1-S2err = -2.35411.6 解：clcdisp(Please input the coefficients of);disp(quadratic equation ax2+bx+c=0, respectively)a=input(a=);b=input(b=);c=input(c=);m=4; % m-digit rounding arithmeticif abs(a)eps & abs(b)eps error(incorrect input)endif abs(a)0 x1=(-b-temp)/(2*a) endif b0 x1=(-b+temp)/(2*a)endif b=0 x1=temp/(2*a)endx2=(c/a)/x1 在输入a=1,b=-112,c=2后有结果x1 =111.9821x2 =0.01791.8方法一：， 方法二：，clc;%Initialize the datax=5; k=10;m=4; %three-digit rounding arithmetic %- % Compute exp(x) by using Method (A) % with the computer precisionresults_1=1;power_x=1;for i=1:k factor_x=x/i; power_x=power_x*factor_x; results_1=results_1+power_x;endresults_1err_1=abs(exp(x)-results_1)%- % Compute exp(x) by using Method (A) % with the 3-digits precisionresults_2=1;power_x=1;for i=1:k factor_x=digit(x/i,m); power_x=digit(power_x*factor_x,m); results_2=digit(results_2+power_x,m);endresults_2err_2=abs(exp(x)-results_2)%- % Compute exp(x) by using Method (B)% with the computer precisiont=-x;results_3=1;power_x=1;for i=1:k factor_x=t/i; power_x=power_x*factor_x; results_3=results_3+power_x;endresults_3=1/results_3err_3=abs(exp(x)-results_3)%- % Compute exp(x) by using Method (B) % with the 3-digits precisiont=-x;results_4=1;power_x=1;for i=1:k factor_x=digit(t/i,m); power_x=digit(power_x*factor_x,m); results_4=digit(results_4+power_x,m);endresults_4=digit(1/results_4,m)err_4=abs(exp(x)-results_4)%-上述程序用公式（1）及（2）分别在Matlab许可精度下及限定在字长为4的算术运算情况下给出 的近似计算结果，其中results_1, results_2为用方法（1）在上述两种情况下的计算结果，err_1, err_2为相应的绝对误差；类似的，results_3, results_4为用方法（2）在上述两种情况下的计算结果，err_3, err_4为相应的绝对误差.本题程序，来自与我们敬爱的徐明华老师的上机练习题，请大家注意！1.9 解：1-cos(x) f(x)= Matlab实现：f=(x)digit(1/2-digit(x2/24,10),10);f(0.012)在字长为10的计算机中有结果为：ans =0.50001.10 解：Matlab实现：f=(x)digit(digit(exp(x)-1,5)/x,5);g=(x)digit(1+digit(x/2,5)+digit(digit(x2,5)/6,5)+digit(digit(x3,5)/24,5),5);f(0.015)g(0.015)exc=1.0077376410479;err1=f(0.015)-excerr2=g(0.015)-exc结果为：ans =1.0075ans = 1.0075err1 =-2.3764e-04err2 =-2.3764e-04误差的主要原因是由于字长为5导致计算中不断的产生舍去误差，从而使得计算值与相对精确值之间产生了差异，如果加大字长，可以进一步的减少误差1.12 解：方法一：直接利用一元二次方程的求根公式方法二：改进上述求根公式，避免相近数相减，得到下述求根公式， ，其中。Matlab实现：disp(Please input the coefficients of);disp(quadratic equation ax2+bx+c=0, respectively)a=input(a=);b=input(b=);c=input(c=);m=3; % m-digit rounding arithmeticif abs(a)eps & abs(b)eps error(incorrect input)end% First,find the root of the quadratic % equation in computer precision.if abs(a)0 x1=(-b-temp)/(2*a) endif b0 x1=(-b+temp)/(2*a)endif b=0 x1=temp/(2*a)endx2=(c/a)/x1 err1=abs(a*x12+b*x1+c)err2=abs(a*x22+b*x2+c)% Second,find the root of the quadratic % equation in m-digit precision.if abs(a)0 x1=digit(digit(-b-temp,m)/digit(2*a,m),m)endif b0 x1=digit(digit(-b+temp,m)/digit(2*a,m),m)endif b=0 x1=digit(temp/digit(2*a,m),m)endx2=digit(digit(c/a,m)/x1,m) err1=abs(a*x12+b*x1+c)err2=abs(a*x22+b*x2+c)以上程序参考了徐明华老师的程序，请大家注意！1.13 解：x=3(-0.5);s=0;y=atan(x);for i=1:1e6 n=2*i-1; s=s+(-(-1)i)*(xn)/n; err=y-s; if abs(err) = 1e-11 break; endendysierrpai=6*s运行后可以得出：y = 0.523598775598299s =0.523598775607971i =19err =-9.672040945929439e-12pai = 3.141592653647825附录：实现在特定字长计算机中模拟的函数digit的实现：大家可新建一个m文件将下面的程序拷入，保存在当前的工作目录下，就可以直接调用digit函数，格式为digit（x,m）,m为字长！function y=digit(x,m)% This function is used to round x towards % a nearest normalized scientific m-digit number.% For example% digit(12.345,3)=0.123*102; digit(12.345,4)=0.1235*102; % digit(0.012345,3)=0.123*10-1. % Input: % - x is a vector in Rk.% - m is the given number of significant decimal digits of computer.k=max