是无穷的自然数列.doc

B6-052 假设a1，a2，a3，是无穷的自然数列，a1=1，而且当k1时有不等式ak1+a1+a2+ak-1证明：所有的自然数都可以表示成这个数列的某些项之和的形式（可以只有一项构成）【题说】1960年匈牙利数学奥林匹克题2【证】我们证明稍广一点的断言：如果自然数na1+a2+ak，那么n可以表示成a1，a2，ak中某些数的和k=1时断言显然成立，假设断言对于k-1成立，则自然数na1+a2+ak-1时n可以表示成a1，a2，ak-1中某些数的和若1+a1+a2+ak-1na1+a2+ak，则由已知条件0n-aka1+a2+ak-1于是数n-ak或者等于0，或者根据归纳假设可以表示成a1，a2，ak-1中某些数的和因此n可以表示成a1，a2，ak中某些数的和B6-053 考察数列cn：c1=c1+c2+a8其中a1，a2，a8是不全为0的实数假定该数列中有无限多项cn=0求出所有使cn=0的自然数n【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题5本题由原苏联提供【解】不妨设a1的绝对值为最大，则必有某个ai，满足ai=-a1（i1）否则，当n充分大时，不失一般性可设 a2=-a1所得的和cn仍然有无穷多个为0根据上面的推理，有（适当调整编号）：a3=-a4，a5=-a6，a7=-a8因而n为奇数时，cn=0B6-054 一次竞赛在n（1）轮中共发了m枚奖章第一轮发了轮正好发了n枚而没有余下的奖章这个竞赛共包括几轮？一共发了多少奖章？【题说】第九届（1967年）国际数学奥林匹克题6本题由匈牙利提供即 （m-36）6n-1=7n（n-6）所以 6n-1|（n-6）但 6n-1n-6所以 n=6，m=36B6-055 设an为有下列性质的实数列： 1=a0a1a2an （1）又bn是由下式定义的数列：证明：（a）对所有n=1，2，3，有0bn2；（b）对0c2的任一c，总存在一个具有性质（1）的数列an，使得由（2）导出的数列bn中有无限多个下标n满足bnc【题说】第十二届（1970年）国际数学奥林匹克题3本题由瑞士提供所以=2第k项是现在要求对无穷多个n，d（1+d）（1-dn）c，则事实上，这时有d（1+d）c故（3）右端为一正数因为0d1时，dn0，所以存在一个确切的自然数N（如取N=ln（1-c/（d（1+d）/lnd），使得当nN时（3）成立于是（b）得证B6-056 证明：如果an是两两互异的自然数组成的无穷序列，并且这些自然数的十进制表达式中不含数字0，那么【题说】1970年1971年波兰数学奥林匹克三试题1【证】k位数中，数字不含0的共9k个，其中首位数字为1，2，9的各9k-1个，因此B6-057 证明：数列2n-3，n=2，3，4，中至少有一个无穷子列，其中的项两两互素【题说】第十三届（1971年）国际数学奥林匹克题3本题由波兰提供【证】我们用归纳法来构造一个这样的子列取n1=2若n1，nk已经取定，且2ni-3（1ik）两两互素，将它们分解成素因子的积，设在这些积中出现的素因子为pj（1jn）令 nk+1=（p1-1）（p2-1）（pm-1）+24-3=1（mod pj）（1jn）故2nk+1-3不能被任一pj整除，因而它与2ni（1jk）都互素，这样，子列2nk-3就是满足题目要求的一个子列B6-058 设a1，a2，a3，是正整数无穷数列，且对所有k1有akak+1证明：在上述数列出，有无穷多个am可以表示成am=xap+yaq的形式，其中x，y是适当的正整数，并且pq【题说】第十七届（1975年）国际数学奥林匹克题2本题由英国提供【证】考虑模a1的剩余类因为关于模a1的剩余类只有有限个，所以必存在一个剩余类，其中包含所给数列的无穷多项，设ap是该剩余类中的最小的异于a1的数，则此类中其余的amap，都可表成am=ap+ya1，y为正整数B6-059 在一个实数的有限数列中，任何七个连续项之和都是负数，而任何十一个连续项之和都是正数试问：这样一个数列最多能包含多少个项？【题说】第十九届（1977年）国际数学奥林匹克题2本题由越南提供【解】设所求的有最大项数的数列为a1，a2，an首先，n16否则，矛盾其次，n=16是可能的例如数列（5，5，-13，5，5，5，-13，5，5，-13，5，5，5，-13，5，5），因此所求的最大数为16B6-060 在正整数集上定义一个函数f（n）如下：当n为偶数时，f（n）=n/2；当n为奇数时，f（n）=n+31证明：对任何正整数m，数列a0=m，a1=f（a0），an=f（an-1），中总有一项为1或32在全部正整数中，哪些m使上述数列必然出现3？哪些m使上述数列必然出现1？【题说】1979年全国联赛二试题5【解】1若ak3，则ak为偶数时，ak+1=ak/2ak；ak为奇数时，ak+2=（ak+3）/2ak由于数列取正整数值，任