文科线性代数复习.doc

线性代数复习总结第一章：行列式一、 概念（1）全排列与逆序数.（2）行列式：不同行不同列元素乘积的代数和（共项）二、 性质1、 经转置行列式的值不变2、 某行有公因子，可以把提到行列式外3、 某行所有元素都是两个数的和，则可写成两个行列式之和4、 两行互换行列式变号5、 某行的倍加到另一行，行列式的值不变三、 展开式1、 （按第行展开） （按第列展开）2、 3、其中是中的代数余子式.四、计算1、化成上三角或下三角行列式2、利用行列式的性质3、利用行列式的展开式4、用矩阵的性质,为阶方阵，则有, , ,其中是方阵.5、用特征值第二章：矩阵一、初等变换： 1、初等矩阵：单位阵经过一次初等变换所得的矩阵2、初等矩阵左乘所得就是对作了一次与同样的初等行变换；初等矩阵左乘所得就是对作了一次与同样的初等列变换3、任何矩阵都可以通过一系列初等行变换变成行阶梯型与行最简型矩阵二、逆矩阵1、证法：阶方阵可逆使得（或者）的特征值全不为零2、求法：（1）用定义，找矩阵,使得，则 (2) 初等变换法 (3) 用伴随矩阵法, （4）用分块矩阵法3、矩阵方程 三、矩阵的秩1、计算：用初等变换法，用定义法2、性质（1）为矩阵，则有（2）;如果可逆，则有(3) 为阶方阵，则有;四、矩阵运算的性质 (其中是数) 为阶方阵，则有, 方阵的幂五、特殊矩阵伴随矩阵，正交矩阵，对称矩阵，反对称矩阵，对角矩阵第三章：向量一、线性表示向量可由向量组线性表示存在数使得，方程组有解（即是有解）（即是）二、线性相关与线性无关1、向量组线性相关存在不全为零的数使得，2、向量组线性无关如果则有3、向量组线性相关（无关）方程组有非零解（只有零解）（即是有非零解（只有零解）（即是）其中4、向量组，如果是方阵，则线性相关（无关）三、最大无关组与向量组的秩概念求法：求向量组的秩及其最大无关组，令，然后对矩阵进行行初等变换，化到行阶梯型（或者行最简型），求出的秩，向量组的秩也是。四、 向量组的等价:互相表示五、 向量的正交，与正交第四章：线性方程组（以下为矩阵，方程组为元方程组）一、基本结论1、只有零解 ；有非零解2、如果是阶方阵，则只有零解 ；有非零解3、）有唯一解有无穷解无解4、如果是阶方阵，则有唯一解 且有,其中是系数行列式中把第列改为常数列，其他不变.（克莱姆法则）二、基础解系，解得结构 1、定理，的秩则得基础解系恰有个线性无关的解向量.2、求的解，求导出组的基础解系与的一个特解3、解的性质若是的解，则是的解；若是的解，是的解，则是的解.第五章：特征值与特征向量一、特征值与特征向量（以下是阶方阵）1、定义2、求法：(1)特征值：用定义，特征方程 (2)特征向量：用定义基础解系法，求方程组的基础解系3、性质：（1）不同特征值的特征向量线性无关 （2） （3）是的特征值，是多项式，则是特征值. （4）是可逆矩阵，是的特征值，则是的特征值二、矩阵的相似1、定义与相似2、性质：如果与相似，则有3、可对角化可对角化有个线性无关的特征向量 ，其中为重特征值4、基本结论：（1）如果有个不同的特征值，则可对角化 （2）是实对称矩阵，则则可对角化5、实对称矩阵隐含的信息