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文档简介
用向量法求空间角 立体几何中的向量方法 一 复习引入 用空间向量解决立体几何问题的 三步曲 1 建立立体图形与空间向量的联系 用空间向量表示问题中涉及的点 直线 平面 把立体几何问题转化为向量问题 化为向量问题 2 通过向量运算 研究点 直线 平面之间的位置关系以及它们之间距离和夹角等问题 进行向量运算 3 把向量的运算结果 翻译 成相应的几何意义 回到图形 空间中的角 cos a b cos a n cos n1 n2 小问题 大思维 例1 正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1 点E F分别为CD DD1的中点 1 求直线B1C1与平面AB1C所成的角的正弦值 2 求二面角F AE D的余弦值 A A1 C1 B1 D C B D1 E F A D C A1 D1 C1 B1 B F E 例2 2 点E F分别为CD DD1的中点 求二面角F AE D的余弦值 证明 1 证明 由四边形ABCD为菱形 ABC 60 可得 ABC为正三角形 因为E为BC的中点 所以AE BC 又BC AD 因此AE AD 因为PA 平面ABCD AE 平面ABCD 所以PA AE 而PA平面 PAD AD 平面PAD且PA AD A 所以AE 平面PAD 又PD 平面PAD 所以AE PD 练习2 如图 在三棱锥P ABC中 AB AC D为BC的中点 PO 平面ABC 垂足O落在线段AD上 已知BC 8 PO 4 AO 3 OD 2 1 证明 AP BC 2 在线段AP上是否存在点M 使得二面角A MC B为直二面角 若存在 求出AM的长 若不存在 请说明理由 解题指南 建立坐标系 1 利用来证明 2 假设存在满足条件的点 求出两个半平面的法向量 判断两法向量是否能垂直即可 若垂直 则假设成立 若不垂直 则假设不成立 规范解答 1 如图以O为原点 以射线OD OP分别为y轴 z轴的正半轴 建立空间直角坐标系Oxyz 则O 0 0 0 A 0 3 0 B 4 2 0 C 4 2 0 P 0 0 4 即AP BC 2 假设存在M 设其中 0 1 则 0 3 4 0 3 4 4 2 4 0 3 4 4 2 3 4 4 4 5 0 8 0 0 设平面BMC的法向量n1 x1 y1 z1 平面APC的法向量n2 x2 y2 z2 由即可取由 得可取n2 5 4 3 由n1 n2 0 得解得故AM 3 综上所述 存在点M符合题意 AM 3 a b a b
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