集合函数.doc

第一部分集合和函数复习知识结构：函数一、集合知识：1.集合的基本概念 指定的某些对象的全体称为一个集合集合中的每个对象叫做这个集合的元素，a是集合A的元素表示成aA，a不是集合A的元素表示成aA. （1)集合的性质：对于一个给定的集合，其元素具有确定性、互异性、无序性 （2）集合的表示：集合的表示方法有列举法、描述法以及图示法 （3）常见的数集有：N(自然数集）、N*或N+（正整数集）、Z（整数集）、Q(有理数集）、R（实数集）、C（复数集）2集合的性质任何一个集合是它本身的子集，记为；空集是任何集合的子集，记为；空集是任何非空集合的真子集；如果，同时，那么A = B.如果.注：Z= 整数（） Z =全体整数 （）3. （x，y）|xy =0，xR，yR坐标轴上的点集.（x，y）|xy0，xR，yR二、四象限的点集. （x，y）|xy0，xR，yR 一、三象限的点集.注：对方程组解的集合应是点集.例： 解的集合(2，1).点集与数集的交集是. （例：A =(x，y)| y =x+1 B=y|y =x2+1 则AB =）4. n个元素的子集有2n个. n个元素的真子集有2n 1个. n个元素的非空真子集有2n2个.5.集合与集合的关系 （1) AB定义为：任一aA，都有a B.A=BAB且BA. （2）ABxxA且xB （3）ABxxA或xB (4)U A=xxA且xU（其中U为全集，以下相同）6.集合的交、并、补的性质 （1）A A A A（U A） AUA AUU AU（U A）UU（U A）A（其中为空集） （2）A BBA ABB A. （3）（AB）CA（BC），（AB）CA（BC） （4）若AB，则A BA，ABB. （5）A（BC）（AB）（AC）A（BC）（AB）（AC） （6）U（A B）（U A）（U B），U（AB）（U A）（U B）二、函数的概念：1.函数的概念给定两个非空的数集A和B，如果按照某个对应关系f,对于A中任何一个数x，在B中都有唯一确定的数y与之对应，那么就把对应关系f叫做定义在A上的函数，记作f ; AB或y=f(x), xA.此时的x叫自变量，集合A叫做函数的定义域，集合C=f(）叫做函数的值域且CB.函数有三个要素：定义域、值域和对应关系2.函数的表示 列表法：用表格的形式表示两个变量之间函数关系的方法，称为列表法 图象法：用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法，称为图象法 解析法：一个函数的对应关系可以用自变量的解析式表示出来，这种方法称为解析法3.分段函数 （1)分段函数的定义：在定义域的不同部分，有不同对应法则的函数称为分段函数 （2)分段函数的定义域和值域：分段函数的定义域是各段定义域的并集，其值域是各段值域的并集4.映射的概念 如果两个集合A与B之间存在着对应关系f,而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一确定的元素y与它对应，就称这种对应是从A到B的映射如果A到B的映射满足A中的不同元素的像也不同，B中每一个元素都有原像，则称这样的映射为一一映射三、函数的性质：1.函数的单调性 (1)定义：对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量x1，x2，当x1 x2 时，都有f(x1）f(x2），则称f(x)在这个区间上是增（减）函数，该区间称为f(x）的单调递增（减）区间 (2)特征：增（减）函数的y值，随自变量x值的增大而增大（减小），即从左边往右边看增函数的图象是上升的，减函数图象是下降的2.函数的奇偶性 （1)定义：对于函数f(x)定义域内任一个x，都有f(-x)-f(x) (f(-x) =f(x)），则f(x)叫做奇函数（偶函数） （2）定义域的对称性：函数定义域关于原点对称，是函数为奇（偶）函数的必要条件 （3)图象的对称性：f(x)是奇（偶）函数f (x)的图象关于原点（y轴）对称3.函数的周期性 对于函数f(x)，若存在不为零的常数T，对定义域内任意x都有f(xT) =f(x)，则称f(x)为周期函数，常数T叫做此函数的周期四、幂函数、指数函数、对数函数1.幂函数把函数y=za(常数a是实数)叫做幂函数.一般只考虑a=1, 2, 3, -1时的幂函数的图像和性质及其简单应用.2.指数函数（1)分数指数幂及运算性质 定义:a=, a=,（a 0，a 0，m,n N*，且1）； 运算性质:as at=as+t, (as)t = ast ,(ab)= asbs（其中a 0,b0,s,tQ）.(2)指数函数的定义 把函数y=a（常数a0且al）叫做指数函数3.对数函数（l）对数的定义及其运算性质 定义：若abN，则logaNb（a0，a1，N0）运算性质:loga(MN)=logaM+ logaN,loga =logaM -logaN，logaMn=nlogaM(M0,N0,a0, a1) 恒等式：logal0，log.a a1，alogaNN（a0，a1，N0）等 （2）对数换底公式：logab（b0，a0，c0：a 1 c1） （3)把函数Y=logax（常数a0且a1）叫做对数函数4.反函数 (1)反函数的概念:设函数y =f(x)的定义域是A、值域是C.如果从y=f(x)中用y把x表示出来，得到x=(y),并且对于C中任意一个,在A中有唯一的x与之对应，那么x=(y)就表示x是y的函数，这个函数叫做原函数的反函数习惯上，把y=f(x)的反函数记为y=f1（x）(2)简单的反函数的求法：先从y=f(x)中将x用y表示出来,再按习惯(即用x表示自变量,用y表示函数值)将解出来的表达式中的x与y的位置同时互换,即得原函数的反函数y=f1(x) (3)互为反函数的性质：互为反函数的两个函数的主要性质有:反函数的定义域和值域,分别是原函数的值域和定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称；原函数与其反函数具有相同的单调性 5.指数函数与对数函数的关系 指数函数y=ax (a0，a1)与对数函数y=logax（a0，a1)互为反函数，它们的图象关于直线y=x对称，其图象和主要性质如下表指数函数y=ax.( a0，a1)对数函数y=logax（a0，a1)定义域R(0,+)值域(0,+)R图象 y 0a1 a1 O x y a1 O 0a1性质(1) 图象恒过定点(0,1).(2) 当a0时在R上递增;当0a1时在R上递减.(1) 图象恒过定点(1,0).(2) 当a1时在(0,+)上递增;当0a1时在(0,+)上递减.五、函数的图象1.作图作函数的图象，主要有两种方法第一种是“描点法”：取值并列表，描点并连线防止作图的盲目性，可分为三步：先研究函数的定义域、值域而确定图象的范围；再研究函数的奇偶性以确定图象的对称关系；最后研究函数的单调性以确定图象的升降趋势第二种是“变换法”，借助于基本函数图象，利用图象变换作图图象变换有三种形式：平移变换：y=f (x)的图象y=f(x+h)的图象；将y=f(x)的图象y=f(x)+k的图象对称变换：将y=f(x)的图象y=f(x)的图象；将y=f(x)的图象y=f(x)的图象；将y=f(x)的图象y=f(x)的图象；将y=f(x)的图象 y=f1(x)(原函数的反函数）的图象；将y=f(x)的图象y=f(2ax)的图象（若函数y=f(x)满足f(x-a) =f(a-x)，则y=f(x)的图象关于直线y轴对称）；将y=f(x）的图象并作关于，轴的对称，得y=f(|x|）的图象；将y=f(x）的图象 y|f(x) |的图象伸缩变换：将y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短（1)或伸长（01)到原来的，可以得到y=f(x )的图象；将y=f(x)的图象上各点的纵坐标伸长（A1）（0A1时缩短）到原来的A倍，可以得到函数y =Af(x)的图象等一、集合部分：例题：1、设集合A，那么下列关系正确的是（ ）ABCD2、已知集合，那么集合为（）ABCD3.设集合M=x，N=xx+2x-3 3，B=xx2x60，则AB=（ ）（A）（3，2（1，） （B）（3，21，2）（C）3，2）（1，2 （D）（，3（1，23.设A，B，U均为非空集合，且满足ABU，则下列各式中错误的是（ ）（A)（U A）BU （B)（U A) （U B)U（C）A（U B) （D)（U A) （U B)U B4.如图1-2所示，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（ ） （A)（MP）S （B)（MP) S （C）(MP) （U s) （D）（MP）（U s）5.若全集U=R, f(x), g(x)均为x的二次函数P=xf(x) 0，Q=xg(x)0，则不等式组的解集用P，Q表示为 6.设集合A5，log2（a3），集合Ba，b，若AB2，则AB 7.已知集合Aa2，a1，3，Ba3，2a1，a21，若AB3，求实数a的值8.已知Axylg (4x24），Byy2x23，则AB 9、若不等式的解集为，求的值10已知，,求的取值范围。11已知集合，若，求实数的值。二、函数的概念和性质例题1、下列各组函数中表示同一函数的是哪一组？ f（x）1与（x）xo； f（x）1 gx2与g（x）21gx；f(x）x21与g(）x21f(）ax（a ）与g（）at（a ）2、给定映射f:（x，y)（xy，xy)，求在f下（2，3)的像及（2，3)的原像3、求下列函数的定义域（1）y1g（164x）+（x+1）0；（2）y=；（3）y =+lgcosx;4、已知，若，则的值是（ ）A B或 C，或 D5、设则的值为（ ）A B C D6、证明f(x)ex在 (0，）上是增函数7、函数f(x）=log0. 5（x2-6x8)的递增区间是 ；递减区间是 .8、在区间(-,0)上为增函数的是( ).(A)y=-log0.5(1-x) (B)y= (C)y=-(x+1)2 Dy=1+x29、设aR, f(x)-a是奇函数，求a的值10、已知f(x)x2asinxx8，且f(-2)10，则f(2) .11、已知f(x)是定义在（-1，1)上的偶函数，且在区间0，1)上是增函数，若有不等式f(a-2）-f(3-a)0成立，求实数a的取值范围练习：1.下列函数中，与函数y具有相同奇偶性的是（ ）. (A) y= |x+l|x-1 | (B) y=2-x (C) y= (D) y=+2.定义在R上的函数f(x)在(-,2)上是增函数，且y=f(x十2)图象的对称轴是直线x=0，则下列关系式成立的是（ ） （A) f(-1）f(3） （C）f(-1）=f(-3） （D) f(2）0总成立，求实k的取值范围.8、已知是奇函数，而且函数在（0，+）上是减少的。证明在（-，0）上是减少的。三、幂函数、指数函数和对数函数例题：1、计算（1）计算125+(+343的值； （2）求适合不等式x1x2的x的取值范围（3)2、求下列函数的定义域：（1）、； （2）、3、已知，（1）当时，的取值范围是 ；（2）当时，的取值范围是 ；4、已知。求的值。5、研究函数的定义域、单调性和奇偶性。练习1.方程5x-110 3x8 x的解集是（ ）. (A)1，4| (B)1， (C) ，(D)4, 2.如果