第四章 特征值与特征向量 矩阵的相似对角化.ppt

1 第四章特征值与特征向量矩阵的相似对角化 第四章 2 本章介绍矩阵的特征值 特征向量以及矩阵的对角化问题 3 第一节矩阵的特征值与特征向量 定义 一 基本概念 例如 4 说明 1 特征值问题是针对方阵而言的 2 特征向量必须是非零向量 3 特征向量既依赖于矩阵A 又依赖于特征值 证 可见 特征向量并不唯一 5 一个特征向量只能属于一个特征值 证明如下 证 可见 属于同一特征值的特征向量的非零线性组合仍是属于该特征值的特征向量 6 二 特征值与特征向量的计算方法 相应非零解即为特征向量 记 称为矩阵A的特征多项式 7 称为矩阵A的特征多项式 为矩阵A的特征方程 特征方程的根 即为矩阵A的特征值 记 8 计算矩阵特征值和特征向量的一般步骤如下 9 例1 解 所以A的特征值为 相应齐次线性方程组的基础解系为 10 相应齐次线性方程组的基础解系为 11 例2 解 所以A的特征值为 12 相应齐次线性方程组的基础解系为 13 相应齐次线性方程组的基础解系为 14 相应齐次线性方程组的基础解系为 15 例3 解 所以A的特征值为 16 相应齐次线性方程组的基础解系为 17 相应齐次线性方程组的基础解系为 18 对角阵 上三角阵 下三角阵 它们的特征值即为主对角元 19 三 特征值与特征向量的性质 性质1 证 2 可推广到多个特征向量 20 性质2 证 1 21 性质2 证 2 重复这个过程 可得 22 性质2 证 3 设A可逆 矛盾 23 性质3 证 从而有相同的特征值 注意 24 属于各个特征值的线性无关的向量合在一起仍线性无关 性质4 属于不同特征值的特征向量线性无关 只证两个特征向量的情况 证 1 2 推广 25 例4 多项式 证略 例如 矩阵A的有一个特征值为2 则 有一个特征值 7 例5 证 幂等矩阵 26 练习 例4 多项式 证略 例如 矩阵A的有一个特征值为2 则 有一个特征值 7 例5 幂等矩阵 27 例6 解 由性质2 注 因为方阵A可逆 所以其所有特征值不等于零 28 矩阵的特征多项式的性质 中出现 故有 而常数项等于 所以 29 比较系数得 性质5 推论方阵A可逆的充分必要条件是A的特征值全不为零 30 例7 解 31 例8 解 计算下列行列式的值 所以 32 矩阵的迹的性质 证略 33 练习 P213习题4 11 34 相似矩阵与矩阵的相似对角化 第二节 35 一 相似矩阵 定义 对于n阶方阵A和B 若存在n阶可逆方阵P 使得 则称A与B相似 记为 因为对任意 例1与单位阵E相似的矩阵只有它自己 可逆阵P 类似地 与数量阵kE相似的矩阵只有它自己 例2 36 矩阵的 相似 关系具有以下特性 1 反身性 2 对称性 证 3 传递性 证 37 相似矩阵的性质 定理 相似矩阵有相同的特征多项式 从而特征值相同 证 推论1相似矩阵的行列式相等 推论2相似矩阵的迹相等 对角阵的特征值即为主对角元 38 注意 特征值相同的矩阵不一定相似 但它们不相似 因为与E相似的矩阵只有它自己 相似矩阵的其他性质 相似矩阵的秩相等 39 A B同为可逆或不可逆 可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似 只证 3 其余证明留作练习 1 2 3 4 5 6 40 例3 解 41 n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量 二 矩阵可相似对角化的条件 定理 如果一个矩阵能与一个对角阵相似 称该矩阵可以 相似 对角化 证 必要性 设A与一个对角阵相似 即存在一个可逆 阵P 使 42 即 即得 必要性得证 上述步骤倒过来写 即得充分性证明 43 推论1如果矩阵A的特征值互不相同 则A必可对角化 因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的 注意 这个条件是充分的而不是必要的 如果A的特征方程有重根 此时不一定有n个线性无关的特征向量 从而矩阵A不一定能对角化 但如果能找到n个线性无关的特征向量 A还是能对角化 44 解 例4 45 特征向量 特征向量 46 特征向量 特征向量 特征向量 47 令 则 48 例3 解 特征向量 可对角化 49 特征向量 50 例4 解 只有一个线性无关的特征向量 所以不能对角化 51 例5 解 得A的特征值为 52 53 例6 解 54 从而A可相似对角化 秩为1 55 从而A不可相似对角化 秩为2 56 一般来说 求矩阵的高次幂比较困难 但若矩阵A能对角化 即存在可逆阵P 使得 则 于是 转化为对角阵求幂 而对角阵求幂是容易的 57 例7 解 设 58 59 练习 P213习题4 21 60 第三节内积与正交化 一 向量的内积 定义给定Rn中向量 实数 例1 61 向量的内积具有如下基本特性 证明是显然的 62 二 向量的长度 定义 例2 63 向量的长度具有如下性质 证略 64 长度为1的向量称为单位向量 例3 证 65 三 正交向量组与施密特正交化方法 定义 显然零向量与任何向量都正交 即 66 例4 解 将其单位化 得 67 定义 68 定理 证 与上式两端作内积 得 69 上述定理说明 一个向量组线性无关是该向量组为正交向量组的必要条件 但定理显然不是可逆的 70 施密特正交化方法 71 例5 解 将向量组 标准正交化 72 再单位化 注意 及时伸缩向量可简化计算 73 四 正交矩阵 定义若n阶实矩阵Q满足 则称Q为正交矩阵 例6单位矩阵E是正交矩阵 例7 所以Q是一个正交矩阵 74 例8在平面解析几何中 两个直角坐标系间的坐标变换公式为 写成矩阵形式为 75 正交矩阵的基本性质 3 若P与Q都是n阶正交矩阵 则PQ也是n阶正交矩阵 逆命题也对 证 所以PQ是正交矩阵 76 例9 证 77 例10 证 是对称正交阵 故A为对称阵 即A为正交阵 78 定理n阶矩阵Q为正交矩阵的充分必要条件是Q的列 行 向量组是标准正交组 证 所以 即Q的列向量组是标准正交组 79 Q为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立 4 Q的列向量是两两正交的单位向量 5 Q的行向量是两两正交的单位向量 80 例11验证矩阵 是正交矩阵 P的每个列向量都是单位向量 且两两正交 所以P是正交矩阵 解 81 练习 P160习题4 31 82 实对称矩阵的对角化 第四节 83 实对称矩阵的特征值都是实数 定理 并非所有方阵都可对角化 但是实对称矩阵必可对角化 证 证略 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量彼此正交 定理 只证两个特征向量的情况 84 定理 证略 具体计算步骤如下 1 求出实对称矩阵A的全部特征值 2 若特征值是单根 则求出一个线性无关的特征向量 并加以单位化 若特征值是重根 则求出重数个线性无关的特征向量 然后用施密特正交化方法化为正交组 再单位化 3 将这些两两正交的单位特征向量按列拼起来 就得到了正交矩阵Q 85 例1 解 再单位化 86 于是所求正交阵为 使 87 例2 解 特征向量 88 特征向量 89 再单位化 拼起来得 使 90 解 例3设三阶实对称矩阵A的