2011年行测模块二 第二章 计算问题.doc

模块二 数量关系第二章 数学运算知识结构第一节 计算问题第二节 行程问题一、 相遇问题二、 追及问题 三、 相离问题 四、 封闭线路中的行程问题 五、 流水行船问题 六、 过桥问题第三节 工程问题第四节 浓度问题第五节 几何问题第六节 容斥问题第七节 牛吃草问题第八节 鸡兔同笼问题第九节 排列组合第十节 概率问题第十一节 抽屉原理第十二节 边端问题（植树、方阵、过河）第十三节 初等数学问题第十四节 年龄问题第十五节 统筹问题第十六节 过河问题第十七节 平均数问题第十八节 盈亏问题第十九节 植树问题第二十节 经济利润问题第二一节 比例问题第二二节 还原问题第一节 计算问题一、凑整法 数学运算中的凑整法一般包括以下三种： 加/减法凑整法：通过交换运算次序，把可以通过加/减法得到较整的数先进行运算。 乘/除法凑整法：通过交换运算次序，把可以通过乘/除法得到较整的数先进行运算。 参照凑整法：将一个数看成与之接近的另外一个较整的数来计算，然后进行修正的方法。凑整法不仅仅是一种“运算方法”，更重要的是一种“运算思想”，需要考生灵活应用并学会拓展。52=10 254=100 258=200 2516=400 1254=500 1258=1000 12516=2000 6254=2500 6258=5000 62516=10000二、尾数法 1、尾数计算法：尾数法，顾名思义，就是通过尾数来确定答案，当四个答案全不相同时，我们可以采用尾数计算法。2、尾数确定法：2n的尾数的周期为4，分别为2,4,8,6， 3n的尾数的周期为4，分别为3,9,7,1, 4n的尾数的周期为2，分别为4,6，5n的尾数不变6n的尾数不变7n的尾数的周期为4，分别为7,9,3,1，8n的尾数的周期为4，分别为8,4,2,6，9n的尾数的周期为2，分别为9,1，以上可以简单记成：除尾数为0，1，5，6的数n次方后得到的结果尾数是0，1，5，6外；其它数的n次方后得到的结果尾数即为该数个位数的余数次方后所得到的尾数。（余数指将指数除以4后得到的余数），N除以尾数周期，根据余数判断。如：12342010的尾数即为42得到的尾数；1322009的尾数即为21得到的尾数。3、数与数相乘（相加）时，只需将尾数与尾数相乘（相加）就可算出结果的尾数；数与数相减时，要注意是大数减去小数还是小数减去大数。如2011减去2009尾数为2，若1011减去2009的尾数就不是2了，而应该是8。4、弃九法与尾数法类似的方法还有“弃九法”。把一个数的各位数字相加，直到和是一个一位数(和是9，要减去9得0)，这个数就叫做原数的弃九数，如1+4+6+3+5+7=26，2+6=8，则146357的弃九数是8。当尾数法不能使用的时候，可以考虑采用“弃九法”来得到答案。与尾数法类似，两个数的弃九数之和等于和的弃九数，两个数的弃九数之差等于差的弃九数，两个数的弃九数之积等于积的弃九数。弃九数本质上是原数除以9的余数，弃九法本质上也是同余的性质。特别提示：弃九法同样不适用于除法。【例题】1133825593的值为：A.290133434 B.290173434 C.290163434 D.290153434【思路点拨】此题数据很大，直接计算相当耗时；各项答案尾数相同，无法使用尾数法。此时可以考虑弃九法。【解析】1+1+3+3+8=16，1+6=7，11338的弃九数为72+5+5+9+3=24，2+4=6，25593的弃九数为676=42，4+2=6，则答案的弃九数为6。经计算，只有选项B的弃九数是6。三、因式分解（提取公因式）运用提取公因式法进行简化计算是一个最基本的四则运算方法，在公务员考试中往往可以通过提取公因式法，降低运算量，从而直接得出答案。注意提取公因式时的公因式选择的问题，公因式选择的不同，导致计算的简便程度不同。因式分解法经常用到凑整法和基本的数学运算公式。因数分解法常用子数列1) -2，-1，0，1，2，3(如果数列中间有0，或者有正有负的)2) 0，1，2，3，4(如果数列端点是0)3) 2，3，5，7，11(如果数列中有数字明显存在7或11因子)4) 1，2，3，4，5，6(也可以是2或者3开头的自然数列)5) 1，3，5，7，9(也可以是3开头的奇数数列)四、补数计算如果两个数的和正好可以凑成整十、整百、整千，那么这两个数互为补数。如：1910281037104610118910072281003565100 736+264=1000.在加法计算中，如果能观察出两个加数互为补数，那么根据加法交换律、结合律，先把这两个数相加，凑成整十、整百、整千，在与其他加数相加。对于一个较大的数，可以用“凑数”的方法来求补数：从最高位凑起，使各们数字相加得9，到最后个们数字相加得10。 如：876551234546802531988736212638还可以间接利用补数法巧算，如1986=2000-14具体应用：1、互补数先加：在加法算式中有两个数可以凑成整十、整百、整千，这时先把它们计算出来。例：24445624（4456）=1242、加整去补法：两个数相加，如果有一个数是接近整十、整百、整千的数，可以先加上这个整十、整百、整千的大整数，然后再减去多加的补数。例：188873（18812）（87312）20086110613、减整加补法：跟加整去补想法一致，在做减法的过程中，如果减数是接近整十、整百、整千的数，就可以先减去这个整十、整百、整千的大整数，再将多减的补数补回来。例： 315289315300111511264、变减为加法：在减法运算时，如果被减数只有一个非零数字或非零数字较小，而减数非零数字较多可以将减法变成加法来做，具体方法是：在被减数上加上减数的补数，然后在减数的最高位的前一位减。例：5000419=500010005814581五、基准数法有一串数据，他们相互接近，要求出这些数的和或平均数。基准数一般选取这串数据中的一个易于计算的数（大部分为10的倍数），基准数乘以数据的个数，在这个基础上再加上或减去每个数据各自的“补充数”，便可得到和的精确值。六、公式法1、基本的数学运算公式：a2-b2=(a+b)(a-b)a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)(a+b)2=a2+2ab+b2(a-b)2=a2-2ab+b2(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac2、裂项公式：3、等比数列求和公式：4、等差数列求和公式：七、代换法八、估算法九、倍数余数法十、整体消去法指在计算中，将相近的数化为相同，从而作为一个整体进行抵消的方法。十一、定义新运算 定义新运算是指用一个符号和已知运算表达式表示一种新的运算。基本概念：定义一种新的运算符号，这个新的运算符号包含有多种基本（混合）运算。 基本思路：严格按照新定义的运算规则，把已知的数代入，转化为加减乘除的运算，然后按照基本运算过程、规律进行运算。 关键问题：正确理解定义的运算符号的意义。 注意事项：新的运算不一定符合运算规律，特别注意运算顺序。 每个新定义的运算符号只能在本题中使用。十二、比较大小 比较大小的三种基本方法： 1作差法：对任意两数a、b，如果ab0则ab；如果ab0则ab；如果ab0则ab。2作比法：当a、b为任意两正数时，如果a/b1则ab；如果a/b1则ab；如果a/b1则ab。当a、b为任意两负数时，如果a/b1则ab；如果a/b1则ab；如果a/b1则ab。3中间值法：对任意两数a、b，当很难直接用作差法或者作比法比较大小时，我们通常选取中间值c，如果ac而cb，则我们说ab。第二节 行程问题行程问题 在行车、走路等类似运动时，已知其中的两种量，按照速度、路程和时间三者之间的相互关系，求第三种量的问题，叫做“行程问题”。此类问题一般分为四类：一、相遇问题；二、追及问题；三、相离问题；四、过桥问题等。 行程问题中的相遇问题和追及问题主要的变化是在人（或事物）的数量和运动方向上。相遇（相离）问题和追及问题当中参与者必须是两个人（或事物）以上；如果它们的运动方向相反，则为相遇（相离）问题，如果他们的运动方向相同，则为追及问题。一、相遇问题 两个运动物体作相向运动，或在环形道口作背向运动，随着时间的延续、发展，必然面对面地相遇。这类问题即为相遇问题。相遇问题的模型为：甲从A地到B地，乙从B地到A地，然后甲，乙在途中相遇，实质上是两人共同走了A、B之间这段路程，如果两人同时出发，那么：A， B两地的路程(甲的速度乙的速度)相遇时间速度和相遇时间基本公式有：两地距离=速度和相遇时间相遇时间=两地距离速度和速度和=两地距离相遇时间二次相遇问题的模型为：甲从A地出发，乙从B地出发相向而行，两人在C地相遇，相遇后甲继续走到B地后返回，乙继续走到A地后返回，第二次在D地相遇。则有：第二次相遇时走的路程是第一次相遇时走的路程的两倍。相遇问题的核心是“速度和”问题。利用速度和与速度差可以迅速找到问题的突破口，从而保证了迅速解题。二、追及问题 两个运动着的物体从不同的地点出发，同向运动。慢的在前，快的在后，经过若干时间，快的追上慢的。有时，快的与慢的从同一地点同时出发，同向而行，经过一段时间快的领先一段路程，我们也把它看作追及问题。解答这类问题要找出两个运动物体之间的距离和速度之差，从而求出追及时间。解题的关键是在互相关联、互相对应的距离差、速度差、追及时间三者之中，找出两者，然后运用公式求出第三者来达到解题目的。基本公式有： 追及（或领先）的路程速度差=追及时间 速度差追及时间=追及（或领先）的路程 追及（或领先）的路程追及时间=速度差要正确解答有关“行程问题”，必须弄清物体运动的具体情况。如：运动的方向（相向、相背、同向），出发的时间（同时、不同时），出发的地点（同地、不同地）、运动的路线（封闭、不封闭），运动的结果（相遇、相距多少、追及）。三、相离问题 两个运动着的动体，从同一地点相背而行。若干时间后，间隔一定的距离，求这段距离的问题，叫做相离问题。它与相遇问题类似，只是运动的方向有所改变。解答相离问题的关键是求出两个运动物体共同趋势的距离（速度和）。基本公式有：两地距离=速度和相离时间相离时间=两地距离速度和速度和=两地距离相离时间相遇（相离）问题的基本数量关系： 速度和相遇（相离）时间相遇（相离）路程在相遇(相离)问题和追及问题中，必须很好的理解各数量的含义及其在数学运算中是如何给出的，这样才能够提高解题速度和能力。常用公式：行程问题基本恒等关系式：速度时间=路程，即S=vt.行程问题基本比例关系式：路程一定的情况下，速度和时间成反比； 时间一定的情况下，路程和速度成正比； 速度一定的情况下，路程和时间成正比。相遇追及问题中符号法则：相向运动，速度取和；同向运动，速度取差。流水行船问题中符号法则：促进运动，速度取和；阻碍运动，速度取差。 行程问题常用比例关系式：路程比=速度比时间比，即S1/S2=v1/v2t1/t2电梯运行规律：能看到的电梯级数=（人速+电梯速度）顺电梯运动所需时间 能看到的电梯级数=（人速电梯速度）逆电梯运动所需时间 2v1v2往返运动问题核心公式：往返平均速度= - (其中v1和v2分别表示往返的速度) v1+v2 3S1+S2两次相遇问题核心公式：单岸型S= -； 两岸型 S=3S1-S2 （S表示两岸的距离） 2相向而行：相遇时间=距离速度之和相背而行：相背距离=速度之和时间注意：同向而行追及时速度慢的在前，快的在后。在环形跑道上，速度快的在前，慢的在后。环形运动的追击问题和相遇问题：若同向同起点运动，第一次相遇时，速度快的比速度慢的多跑一圈；若相向同起点运动，第一次相遇时，两者路程和为一圈的长度。解决行程问题，常以速度为中心，路程和时间为两个基本点，善于抓住不变量列方程。对于有三个以上人或车同时参与运动的行程问题，在分析其中某两个的运动情况的同时，还要弄清此时此刻另外的人或车处于什么位置，他（它）与前两者有什么关系。分析复杂的行程问题时，最好画线段图帮助思考。理解并熟记下面的结论，对分析、解答复杂的行程问题是有好处的。（3）甲的速度是a，乙的速度是b，在相同时间内，甲、乙一共行的At+bt=s t=s/a+b S甲=a*t=a*s/a+b S乙=b*t=b*s/a+b四、封闭路线中的行程问题解决封闭路线中的行程问题，仍要抓住“路程=速度时间”这个基本关系式，搞清路程、速度、时间三者之间的关系。封闭路线中的行程问题，可以转化为非封闭路线中的行程问题来解决。在求两个沿封闭路线相向运动的人或物体相遇次数时，还可以借助图示直观地解决。直线上的来回运动、钟表上的时针分针夹角问题，实质上也是封闭路线中的行程问题。每个小时内时针与分针重合一次垂直两次。时针每小时走30度，分针每分钟走6度，分针走一分钟时，时针走0.5度，分针与时针的速度差为5.5度。五、流水行船问题顺流而下与逆流而上问题通常称为流水问题，流水问题属于行程问题，仍然利用速度、时间、路程三者之间的关系进行解答。解答时要注意各种速度的涵义及它们之间的关系。已知船的顺水速度和逆水速度，求船的静水速度及水流速度。解答这类问题，一般要掌握下面几个数量关系：船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度船速+水速=顺水船速船速水速=逆水船速（顺水船速+逆水船速）2=船速（顺水船速逆水船速）2=水速顺水船速=船速+水速=逆水船速+水速2六、过桥问题 一列火车通过一座桥或者是钻过一个隧道，研究其车长、车速、桥长或隧道道长，过桥或钻隧道的时间等关系的一类应用题。 解答这类应用题，除了根据速度、时间、路程三量之间的关系进行计算外，还必须注意到车长，即通过的路程等于桥长或隧道长加车长。 基本公式有：桥长+车长=路程 平均速度过桥时间=路程过桥时间=路程平均速度第三节 工程问题比较难的工程问题，其数量关系一般很隐蔽，工作过程也较为复杂，往往会出现多人多次参与工作的情况，数量关系难以梳理清晰。一些较复杂的分数应用题、水管问题、工资分配、周期问题、零件加工问题等，其实质也是工程问题。 工程问题是从分率的角度研究工作总量、工作时间和工作效率三个量之间的关系，它们有如下关系：工作效率工作时间=工作总量;工作总量工作效率=工作时间;工作总量工作时间=工作效率。对于工程问题，要深刻理解工作总量、工作时间、工作效率，简称工总、工时、工效。通常工作总量的具体数值是无关紧要的，一般利用它不变的特点，把它看作单位“1”;工作时间是指完成工作总量所需的时间;工作效率是指单位时间内完成的工作量，即用单位时间内完成工作总量的几分之一或几分之几来表示工作效率。分析工程问题数量关系时，运用画示意图、线段图等方法，正确分析、弄请题目中哪个量是工作总量、工作时间和工作效率。工作总量=工作效率工作时间，这是解工程问题的核心数量关系。工作效率是解答工程问题的要点，解题时往往要求出一个人一天(或一个小时)的工作量，即工作效率(修路的长度、加工的零件数等)。如果能直接求出工作效率，再解答其他问题就较容易，如果不能直接求出工作效率，就要仔细分析单独或合作的情况，想方设法求出单独做的工作效率或合作的工作效率。工程问题中常出现单独做、几人合作或轮流做的情况，分析时要梳理、理顺工作过程，抓住完成工作的几个过程或几种变化，通过对应工作的每一阶段的工作量、工作时间来确定单独做或合作的工作效率。也常常将问题转化为由甲(或乙)完成全部工程(工作)的情况，使问题得到解决要抓住题目中总的工作时间比、工作效率比、工作量比，及抓住隐蔽的条件来确定工作效率，或者确定工作效率之间的关系。总之，单独的工作效率或合作的工作效率是解答工程问题的关键。从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.当知道了工作效率之比，从比例角度考虑问题，不完全采用“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些。第四节 浓度问题糖与糖水重量的比值叫做糖水的浓度；盐与盐水的重量的比值叫做盐水的浓度。我们习惯上把糖、盐、叫做溶质(被溶解的物质)，把溶解这些 物质的液体，如水、汽油等叫做溶剂。把溶质和溶剂混合成的液体，如糖水、盐水等叫做溶液。一些与浓度的有关的应用题，叫做浓度问题。浓度问题有下面关系式：浓度=溶质质量溶液质量100%，此浓度又称为质量浓度。溶质质量=溶液质量浓度溶液质量=溶质质量浓度溶液质量=溶质质量+溶剂质量溶剂质量=溶液重量(1浓度)在一定温度下的饱和溶液中： 溶质、溶剂、溶液的质量比等于S：100：（S+100），S为该温度下溶质的溶解度，单位为克； 溶解度=溶质质量/溶剂质量100； 溶液浓度=溶质质量/溶液质量100。常见的浓度问题类型及解题关键：1、加水或加盐变浓度问题。解题关键是抓住加水前后溶质重量不变或加盐前后溶剂重量不变这一等量关系。2、溶液混合问题。即将两种或两种以上浓度不同的溶液混合配制成一种新的溶液的浓度问题。解题关键是抓住混合前后溶液的总重量及溶质的总重量不变这一等量关系。3、溶液互混问题。这一类问题难度较大，解题时要抓住一定量的溶液互混前后溶质增加或减少的重量与互混溶液的浓度差及互混前后取出（倒进）的溶液重量之间的关系，也可用方程来解答。溶度问题包括以下几种基本题型 1、溶剂的增加或减少引起浓度变化。面对这种问题，不论溶剂增加或减少，溶质是始终不变的，据此便可解题。 2、溶质的增加引起浓度变化。面对这种问题，溶质和浓度都增大了，但溶剂是不变的，据此便可解题。 3、两种或几种不同溶度的溶液配比问题。面对这种问题，要抓住混合前各溶液的溶质和与混合後溶液的溶质质量相等，据此便可解题。浓度问题最常见的快速解题方法有两种： 1、十字相乘法 2、特殊值法十字相乘法（解决两者之间的比例问题）原理一个集合中的个体，只有2个不同的取值，部分个体取值为A，剩余部分取值为B。平均值为C。求取值为A的个体与取值为B的个体的比例。假设A有X，B有（1-X）。 AX+B（1-X）=C X=(C-B)/(A-B) 1-X=(A-C)/(A-B) 因此：X（1-X）=（C-B）(A-C) 上面的计算过程可以抽象为： A C-B C B A-C 这就是所谓的十字相乘法。X增加，平均数C向A偏，A-C（每个A给B的值）变小，C-B（每个B获得的值）变大，两者如上相除=每个B得到几个A给的值。即比例，以十字相乘法形式展现更加清晰。十字相乘法使用时的注意第一点：用来解决两者之间的比例问题。 第二点：得出的比例关系是基数的比例关系。 第三点：总均值放中央，对角线上，大数减小数，结果放在对角线上。 2r1r3等溶质增减溶剂问题核心公式：r2= 其中ri为第i次的溶液浓度，i=1,2,3。 r1+r3第五节 几何问题1、规则几何图形和几何体（1）常用周长面积公式（周长C，面积S）正方形 C4a Sa2长方形 C2(a+b) Sab圆 Cd2r Sr2三角形 Ca+b+c Sah/2平行四边形 Sah梯形 S(a+b)h/2mh（m为中位线）扇形 Sr2(a/360)（2）常用角度公式三角形内角和为1800 N边形内角和为（N-2）1800（3）常用体积表面积公式正方体 S6a2 Va3长方体 S2(ab+ac+bc) Vabc球 S4R2 V4/3r3d3/6圆柱 S2r h+2r2 （r半径） Vr2h圆锥 Vr2h/32、不规则几何图形和几何体对于不规则几何图形和几何体，往往要利用割补、转化的方式先将其转化为规则几何图形和几何体，然后再计算。3、几何图形的放缩性质 若将一个图形扩大为原来的N倍，则：对应角度不变；对应长度变为原来的N倍；面积变为原来的N2倍；体积变为原来的N3倍。4、几何最值理论 （1）平面图形中，若周长一定，越接近于圆，面积越大； （2）平面图形中，若面积一定，越接近于圆，周长越小； （3）立体图形中，若表面积一定，越接近于球，体积越大； （4）立体图形中，若体积一定，越接近于球，表面积越小；5、三角形三边关系 三角形中任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。第六节 容斥问题容斥问题涉及到一个重要原理包含与排除原理，也叫容斥原理。即当两个计数部分有重复包含时，为了不重复的计数，应从它们的和中排除重复部分。容斥原理：对 n 个事物，如果采用两种不同的分类标准，按性质a分类与性质b分类（如图）， Nab NbNa那么具有性质a或性质b的事物的个数=Na+Nb-Nab。1、集合与元素：把一类事物的全体放在一起就形成一个集合。每个集合总是由一些成员组成的，集合的这些成员，叫做这个集合的元素。如：集合A=0，1，2，3，9，其中0，1，2，9为A的元素。2、并集：由所有属于集合A或集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集，记作AB，记号“”读作“并”。AB读作“A并B”，用图表示为图中阴影部分表示集合A，B的并集AB。 例：已知6的约数集合为A=1，2，3，6，10的约数集合为B=1，2，5，10，则AB=1，2，3，5，6，103、交集：A、B两个集合公共的元素，也就是那些既属于A，又属于B的元素，它们组成的集合叫做A和B的交集，记作“AB”，读作“A交B”，如图阴影表示：例：已知6的约数集合A=1，2，3，6，10的约数集合B=1，2，5，10，则AB=1，2。4、容斥原理（包含与排除原理）：（用|A|表示集合A中元素的个数，如A=1，2，3，则|A|=3）原理一：给定两个集合A和B，要计算AB中元素的个数，可以分成两步进行：第一步：先求出A+B（或者说把A，B的一切元素都“包含”进来，加在一起）；第二步：减去AB（即“排除”加了两次的元素）总结为公式：|AB|=A+B-AB=总数-两者都不满足的个数原理二：给定三个集合A，B，C。要计算ABC中元素的个数，可以分三步进行：第一步：先求A+B+C；第二步：减去AB，BC，CA；第三步：再加上ABC。即有以下公式：ABC=A+B+C-AB-BC- |CA|+|ABC5、三集合整体重复型核心公式 在三集合的题型中，假设满足三个条件的元素数量分别为A、B、C，而至少满足三个条件之一的元素的总量为W。其中：满足一个条件的元素数量为x，满足两个条件的元素数量为y，满足三个条件的元素数量为z，则有等式：W=x+y+z A+B+C=x1+y2+z3第七节 牛吃草问题典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题常用到四个基本公式，分别是 假设定一头牛一天吃草量为“1” 1）草的生长速度（对应的牛头数吃的较多天数相应的牛头数吃的较少天数）（吃的较多天数吃的较少天数）； 2）原有草量牛头数吃的天数草的生长速度吃的天数； 3）吃的天数原有草量（牛头数草的生长速度）； 4）牛头数原有草量吃的天数草的生长速度。 这四个公式是解决消长问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。正是由于这个不变量，才能够导出上面的四个基本公式。牛吃草问题经常给出不同头数的牛吃同一片次的草，这块地既有原有的草，又有每天新长出的草。由于吃草的牛头数不同，求若干头牛吃的这片地的草可以吃多少天。 解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。 这类问题的基本数量关系是： 1.(牛的头数吃草较多的天数-牛头数吃草较少的天数)（吃的较多的天数-吃的较少的天数)=草地每天新长草的量。 2.牛的头数吃草天数-每天新长量吃草天数=草地原有的草量。牛吃草的变式题“牛吃草”问题有很多的变例，像抽水问题、检票口检票问题等等，只有理解了“牛吃草”问题的本质和解题思路，才能以不变应万变，轻松解决此类问题多块草地的牛吃草问题多块草地的“牛吃草”问题，一般要将草地面积变得统一，一般情况下可以找多块草地面积的最小公倍数，这样可以避开小数分数运算，但如果数据较大时我们一般把面积统一为“1”相对会简单些。第八节 鸡兔同笼问题鸡兔同笼公式解法1：鸡的只数=（兔的脚数总只数总脚数）（兔的脚数鸡的脚数） 兔的只数=总只数鸡的只数 解法2：兔的只数=（总脚数鸡的脚数总只数）（兔的脚数鸡的脚数） 鸡的只数=总只数兔的只数 解法3：总脚数2总头数=兔的只数 总只数兔的只数=鸡的只数 解法4：鸡的只数=（4鸡兔总只数-鸡兔总脚数）2 兔的只数=鸡兔总只数-鸡的只数 解法5：兔总只数=（鸡兔总脚数-2鸡兔总只数）2 鸡的只数=鸡兔总只数-兔总只数 解法6：（头数x4-实际脚数）2=兔 解法7：4+2(总数x）总脚数 （x兔，总数x鸡数，用于方程）鸡兔同笼问题的解题方法： （1）假设全部都是鸡，算出脚数，与题中所给出的脚数相比较，看差多少，每差一个（4-2）只脚，就说明有一只兔，故将所差的脚数除以（4-2），就可以求出兔的只数。 （2）假设全部都是兔，算出脚数，与题中所给出的脚数相比较，看多多少，每多一个（4-2）只脚，就说明有一只鸡，故将所差的脚数除以（4-2），就可以求出鸡的只数。 （3）若知道动物的总只数和总脚数，那么总脚数的一半=2兔的只数+鸡的只数=兔的只数+（兔的只数+鸡的只数）=兔的只数+总数。因此，通过此式可以算出兔的只数。（此方法的基础前提是兔子的脚为4只，鸡的脚为2只） （4）利用方程法，设出鸡兔的数量，根据已知列出一个二元一次方程组，解方程组即可。【鸡兔问题公式】（1）已知总头数和总脚数，求鸡、兔各多少：（总脚数-每只鸡的脚数总头数）（每只兔的脚数-每只鸡的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或者是（每只兔脚数总头数-总脚数）（每只兔脚数-每只鸡脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。例如，“有鸡、兔共36只，它们共有脚100只，鸡、兔各是多少只？”解一 （100-236）（4-2）=14（只）兔；36-14=22（只）鸡。解二 （436-100）（4-2）=22（只）鸡；36-22=14（只）兔。（答 略）（2）已知总头数和鸡兔脚数的差数，当鸡的总脚数比兔的总脚数多时，可用公式（每只鸡脚数总头数-脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数或（每只兔脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只免的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（3）已知总数与鸡兔脚数的差数，当兔的总脚数比鸡的总脚数多时，可用公式。（每只鸡的脚数总头数+鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=兔数；总头数-兔数=鸡数。或（每只兔的脚数总头数-鸡兔脚数之差）（每只鸡的脚数+每只兔的脚数）=鸡数；总头数-鸡数=兔数。（例略）（4）得失问题（鸡兔问题的推广题）的解法，可以用下面的公式：（1只合格品得分数产品总数-实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。或者是总产品数-（每只不合格品扣分数总产品数+实得总分数）（每只合格品得分数+每只不合格品扣分数）=不合格品数。例如，“灯泡厂生产灯泡的工人，按得分的多少给工资。每生产一个合格品记4分，每生产一个不合格品不仅不记分，还要扣除15分。某工人生产了1000只灯泡，共得3525分，问其中有多少个灯泡不合格？”解一 （41000-3525）（4+15）=47519=25（个）解二 1000-（151000+3525）（4+15）1000-1852519=1000-975=25（个）（答略）（“得失问题”也称“运玻璃器皿问题”，运到完好无损者每只给运费元，破损者不仅不给运费，还需要赔成本元。它的解法显然可套用上述公式。）（5）鸡兔互换问题（已知总脚数及鸡兔互换后总脚数，求鸡兔各多少的问题），可用下面的公式：（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数和）+（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=鸡数；（两次总脚数之和）（每只鸡兔脚数之和）-（两次总脚数之差）（每只鸡兔脚数之差）2=兔数。例如，“有一些鸡和兔，共有脚44只，若将鸡数与兔数互换，则共有脚52只。鸡兔各是多少只？”解 （52+44）（4+2）+（52-44）（4-2）2=202=10（只）鸡（52+44）（4+2）-（52-44）（4-2）2=122=6（只）兔（答略第九节 排列组合一、知识点元素：通常人们把被取的对象 (不管它是什么)叫做元素。 如若我们研究对象为数字 (如1、2、3、4、5等)那么，这些数字也叫做元素；若我们研究的对象为地名(如：北京、上海、广州、南京等)，那么这些地名也一样可叫做元素；若我们研究的对象为字母(如：a、b、c、d等)，那么这些字母也可叫做元素；若我们研究的对象为分子(如：Cl、Br2、H2、HCl等)，那么这些分子也一样可叫做元素；若我们研究的对象为一个人(如：张三、李四、王五等)，那么这些人也可叫做元素1分类计数原理：做一件事情，完成它可以有n类办法，在第一类办法中有种不同的方法，在第二类办法中有种不同的方法，在第n类办法中有种不同的方法那么完成这件事共有 种不同的方法2.分步计数原理：做一件事情，完成它需要分成n个步骤，做第一步有种不同的方法，做第二步有种不同的方法，做第n步有种不同的方法，那么完成这件事有 种不同的方法 3排列的概念：从个不同元素中，任取（）个元素（这里的被取元素各不相同）按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列4排列数的定义：从个不同元素中，任取（）个元素的所有排列的个数叫做从个元素中取出元素的排列数，用符号表示5排列数公式：（）6 阶乘：表示正整数1到的连乘积，叫做的阶乘规定7排列数的另一个计算公式：= 8 组合的概念：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合9组合数的概念：从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从 个不同元素中取出个元素的组合数用符号表示10组合数公式：或11 组合数的性质1：规定：； 2：+ 排列组合公式：1.排列数、组合数中nm，n1，m0，n、mN。 (1)排列数公式(2)组合数公式=m！(3)组合数性质：(mn)(mn)2.解排列组合问题的依据是：分类相加，分步相乘，有序排列，无序组合二、解题思路：解排列组合问题，首先要弄清一件事是“分类”还是“分步”完成，对于元素之间的关系，还要考虑“是有序”的还是“无序的”，也就是会正确使用分类计数原理和分步计数原理、排列定义和组合定义，其次，对一些复杂的带有附加条件的问题，需掌握以下几种常用的解题方法：特殊优先法 对于存在特殊元素或者特殊位置的排列组合问题，我们可以从这些特殊的东西入手，先解决特殊元素或特殊位置，再去解决其它元素或位置，这种解法叫做特殊优先法.例如：用0、1、2、3、4这5个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有_个.（答案：30个）科学分类法 对于较复杂的排列组合问题，由于情况繁多，因此要对各种不同情况，进行科学分类，以便有条不紊地进行解答，避免重复或遗漏现象发生例如：从6台原装计算机和5台组装计算机中任取5台，其中至少有原装与组装计算机各两台，则不同的选取法有_种.（答案：350）插空法 解决一些不相邻问题时，可以先排一些元素然后插入其余元素，使问题得以解决例如：7人站成一行，如果甲乙两人不相邻，则不同排法种数是_.(答案:3600)捆绑法相邻元素的排列，可以采用“整体到局部”的排法，即将相邻的元素当成“一个”元素进行排列，然后再局部排列例如：6名同学坐成一排，其中甲、乙必须坐在一起的不同坐法是_种.（答案：240）排除法 从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法.b、排列组合应用题往往和代数、三角、立体几何、平面解析几何的某些知识联系，从而增加了问题的综合性，解答这类应用题时，要注意使用相关知识对答案进行取舍.例如：从集合0，1，2，3，5，7，11中任取3个元素分别作为直线方程Ax+By+C=0中的A、B、C，所得的经过坐标原点的直线有_条.（答案：30）相临问题整体捆绑法捆绑法:要求某几个元素必须排在一起的问题,可以用捆绑法来解决问题.即将需要相邻的元素合并为一个元素,再与其它元素一起作排列,同时要注意合并元素内部也可以作排列.一般地: 个人站成一排,其中某 个人相邻,可用“捆绑”法解决，共有 种排法。不相临问题选空插入法插入法:对于某两个元素或者几个元素要求不相邻的问题,可以用插入法.即先排好没有限制条件的元素,然后将有限制条件的元素按要求插入排好元素的空档之中即可.若 个人站成一排，其中 个人不相邻，可用“插空”法解决，共有 种排法。复杂问题总体排除法或排异法有些问题直接法考虑比较难比较复杂，或分类不清或多种时，而它的反面往往比较简捷，可考虑用“排除法”，先求出它的反面,再从整体中排除.解决几何问题必须注意几何图形本身对其构成元素的限制。特殊元素优先考虑法 对于含有限定条件的排列组合应用题，可以考虑优先安排特殊位置，然后再考虑其他位置的安排。多元问题分类讨论法 对于元素多，选取情况多，可按要求进行分类讨论，最后总计。混合问题先选后排法 对于排列组合的混合应用题，可采取先选取元素，后进行排列的策略相同元素分配档板分隔法 转化法:对于某些较复杂的、或较抽象的排列组合问题，可以利用转化思想,将其化归为简单的、具体的问题来求解.总之，排列、组合应用题的解题思路可总结为：排组分清，加乘明确；有序排列，无序组合；分类为加，分步为乘。具体说，解排列组合的应用题，通常有以下途径：（1）以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素。（2）以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置。（3）先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减去不合要求的排列组合数。第十节 概率问题第十一节 抽屉原理桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽屉原理的一般含义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n1或多于n1个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。” 抽屉原理有时也被称为鸽巢原理（“如果有五个鸽子笼，养鸽人养了6只鸽子，那么当鸽子飞回笼中后，至少有一个笼子中装有2只鸽子”）。它是组合数学中一个重要的原理。 第一抽屉原理原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的物体。 证明（反证法）：如果每个抽屉至多只能放进一个物体，那么物体的总数至多是n，而不是题设的n+k(k1)，这不可能. 原理2 把多于mn(m乘以n)个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+1个的物体。 证明（反证法）：若每个抽屉至多放进m个物体,那么n个抽屉至多放进mn个物体,与题设不符，故不可能 原理3 把无穷多件物体放入n个抽屉，则至少有一个抽屉里 有无穷个物体。. 原理1 2 3都是第一抽屉原理的表述 第二抽屉原理： 把（mn1）个物体放入n个抽屉中，其中必有一个抽屉中至多有（m1）个物体。 证明（反证法）：若每个抽屉都有不少于m个物体，则总共至少有mn个物体，与题设矛盾，故不可能。抽屉原则：把n+1 件东西任意放入n 只抽屉里，那么至少有一个抽屉里有两件东西。抽屉原则：把m 件东西放入n 个抽屉里，那么至少有一个抽屉里至少有m/n件东西。抽屉原则：如果有无穷件东西，把它们放在有限多个抽屉里，那么至少有一个抽屉里含无穷件东西。利用抽屉原则解题时，其关键是如何利用题中已知条件构造出与题设密切相关的“抽屉”。第十二节 边端问题第十三节 初等数学问题第十四节 年龄问题年龄问题：已知两人的年龄，求若干年前或若干年后两人年龄之间倍数关系的应用题，叫做年龄问题。解题规律：抓住年龄差是个不变的数（常数），而倍数却是每年都在变化的这个关键。年龄问题的三大规律：1两人的年龄差是不变的；2两人年龄的倍数关系是变化的量；3随着时间的推移，两人的年龄都是增加相等的量年龄问题的类型：转化为和差问题的年龄问题；转化为和倍问题的年龄问题；转化为差倍问题的年龄问题第十五节 统筹问题第十六节 过河问题过河问题是我国著名的数学家华罗庚提出的“统筹方法”的应用，一般来说过河问题是要求考生对若干个方法合理组合，得到完成题目要求的最短世家或最少次数的方