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第6章无限脉冲响应数字滤波器的设计 6 1数字滤波器的基本概念6 2模拟滤波器的设计6 3用脉冲响应不变法设计IIR数字低通滤波器6 4用双线性变换法设计IIR数字低通滤波器6 5数字高通 带通和带阻滤波器的设计6 6IIR数字滤波器的直接设计法 模拟高通 带通 带阻滤波器的设计小结 技术指标转化 低通模拟滤波器指标 高通滤波器 带通滤波器 带阻滤波器 设计低通原型模拟滤波器 其他类型模拟滤波器 脉冲响应不变法和双线性变换法比较 6 5数字高通 带通和带阻滤波器的设计 图6 5 1两种等效的设计方法 先模拟频率变换 再数字化 将 a 的两步合成一步设计 数字高通 带通和带阻滤波器具体设计步骤如下 1 确定所需类型数字滤波器的技术指标 2 将所需类型数字滤波器的技术指标转换成所需类型模拟滤波器的技术指标 转换公式为 一 模拟域频率变换设计数字高通 带通和带阻滤波器 3 将所需类型模拟滤波器技术指标转换成模拟低通滤波器技术指标 4 设计模拟低通滤波器 5 将模拟低通通过频率变换 转换成所需类型的模拟滤波器 6 采用双线性变换法 将所需类型的模拟滤波器转换成所需类型的数字滤波器 例6 5 1设计一个数字高通滤波器 要求通带截止频率 p 0 8 rad 通带衰减不大于3dB 阻带截止频率 s 0 44 rad 阻带衰减不小于15dB 希望采用巴特沃斯型滤波器 解 1 数字高通的技术指标为 p 0 8 rad p 3dB s 0 44 rad s 15dB 2 模拟高通的技术指标计算如下 令T 1 则有 3 模拟低通滤波器的技术指标计算如下 将 p和 s对3dB截止频率 c归一化 这里 c p 4 设计归一化模拟低通滤波器G p 模拟低通滤波器的阶数N计算如下 查表6 2 1 得到归一化模拟低通传输函数G p 为 为去归一化 将p s c代入上式得到 5 将模拟低通转换成模拟高通 将上式中G s 的变量换成1 s 得到模拟高通Ha s 6 用双线性变换法将模拟高通H s 转换成数字高通H z 实际上 5 6 两步可合并成一步 即 例6 5 2设计一个数字带通滤波器 通带范围为0 3 rad到0 4 rad 通带内最大衰减为3dB 0 2 rad以下和0 5 rad以上为阻带 阻带内最小衰减为18dB 采用巴特沃斯型模拟低通滤波器 解 1 数字带通滤波器技术指标为通带上截止频率 u 0 4 rad通带下截止频率 l 0 3 rad阻带上截止频率 s2 0 5 rad阻带下截止频率 s1 0 2 rad通带内最大衰减 p 3dB 阻带内最小衰减 s 18dB 2 模拟带通滤波器技术指标如下 设T 1 则有 通带中心频率 带宽 将以上边界频率对带宽B归一化 得到 u 3 348 l 2 348 s2 4 608 s1 1 498 0 2 804 3 模拟归一化低通滤波器技术指标 归一化阻带截止频率 归一化通带截止频率 p 1 p 3dB s 18dB 4 设计模拟低通滤波器 查表6 2 1 得到归一化低通传输函数G p 5 将归一化模拟低通转换成模拟带通 6 通过双线性变换法将Ha s 转换成数字带通滤波器H z 下面将 5 6 两步合成一步计算 将上式代入 5 中的转换公式 得 将上面的p等式代入G p 中 得 例6 5 3设计一个数字带阻滤波器 通带下限频率 l 0 19 阻带下截止频率 s1 0 198 阻带上截止频率 s2 0 202 通带上限频率 u 0 21 阻带最小衰减 s 13dB l和 u处衰减 p 3dB 采用巴特沃斯型 解 1 数字带阻滤波器技术指标 l 0 19 rad u 0 21 rad p 3dB s1 0 198 rad s2 0 202 rad s 13dB 阻带中心频率平方为阻带带宽为 2 模拟带阻滤波器的技术指标 设T 1 则有 将以上边界频率对B归一化 l 8 786 u 9 786 s1 9 186 s2 9 386 20 l u 85 98 3 模拟归一化低通滤波器的技术指标 4 设计模拟低通滤波器 5 将G p 转换成模拟阻带滤波器Ha s 6 将Ha s 通过双线性变换 得到数字阻带滤波器H z 下面将 5 6 两步合成一步计算 图6 5 2IIR数字滤波器设计流程 利用MATLAB设计IIR滤波器 例 用双线性变换法设计一个Butterworth低通滤波器 要求其通带截止频率 Hz 阻带截止频率 Hz 通带衰减小于 dB 阻带衰减大于 dB 采样频率 Hz Wp 100 2 pi Ws 200 2 pi Rp 2 Rs 15 Fs 500 Ts 1 Fs 选择滤波器的最小阶数 N Wn buttord Wp Ws Rp Rs s 创建模拟滤波器 Z P K buttap N 把滤波器零极点模型转化为传递函数模型 Bap Aap zp2tf Z P K 把模拟滤波器原型转化为截止频率为Wn低通滤波器 b a lp2lp Bap Aap Wn 用双线性变换法实现模拟滤波器到数字滤波器的转换 bz az bilinear b a Fs 绘制频率响应曲线 H W freqz bz az plot W Fs 2 pi abs H gridxlabel 频率 Hz ylabel 频率响应幅度 二 Z平面变换法设计数字高通 带通和带阻滤波器 数字滤波器低通原型 原型变换 特定要求的数字滤波器 1 设计数字滤波器的Z平面变换法流程 2 设计数字滤波器的Z平面变换法应满足的条件保持系统函数间的稳定性不变 单位圆内 保持两个系统函数频谱间直接变换 单位圆 6 6IIR数字滤波器的直接设计法 1 零极点累试法 图6 6 1 a 零极点分布 b 幅度特性 在确定零极点位置时要注意 1 极点必须位于z平面单位圆内 保证数字滤波器因果稳定 2 复数零极点必须共轭成对 保证系统函数有理式的系数是实的 2 在频域利用幅度平方误差最小法直接设计IIR数字滤波器设IIR滤波器由K个二阶网络级联而成 系统函数用H z 表示 6 6 1 式中 A是常数 ai bi ci di是待求的系数 Hd ej 是希望设计的滤波器频响 如果在 0 区间取N点数字频率 i i 1 2 N 在这N点频率上 比较 Hd ej 和 H ej 写出两者的幅度平方误差E为 6 6 2 而在 6 6 1 式中共有 4K 1 个待定的系数 求它们的原则是使E最小 下面我们研究采用 6 6 1 式网络结构 如何求出 4K 1 系数 按照 6 6 2 式 E是 4K 1 个未知数的函数 用下式表示 上式 表示4K个系数组成的系数向量 为推导公式方便 令 6 6 3 为选择A使E最小 令 6 6 4 设 k是 的第k个分量 ak或bk或ck或dk 6 6 5 因为 式中H i表示对Hi函数共轭 6 6 6 将上式具体写成对ak bk ck dk的偏导 得到 6 6 7 式中 k 1 2 3 K i 1 2 3 N 同理求得 6 6 8 6 6 9 6 6 10 由于系统函数是一个有理函数 极 零点均以共轭成对的形式存在 对于极点z1 一定有下面关系 6 6 11 图6 6 2例6 6 2图 a 要求的幅度特性 b k 1 2时的幅度特性 例6 6 2设计低通数字滤波器 其幅度特性如图6 6 2 a 所示 截止频率 s 0 1 rad 解考虑到通带和过渡带的重要 在0 0 2 区间 每隔0 01 取一点 i值 在0 2 区间每隔0 1 取一点 i值 并增加一点过渡带 在 0 1 处 Hd ej 0 5 1 0 0 0 01 0 02 0 09 0 5 0 1 0 0 0 11 0 12 0 19 0 0 0 2 0 3 N 29 取k 1 系统函数为 待求的参数是A a1 b1 c1 d1 设初始值 0000 25 T经过90次迭代 求得E 1 2611 系统函数零 极点位置为零点0 67834430 j0 73474418 极点0 75677793 j1 3213916为使滤波器因果稳定 将极点按其倒数搬入单位圆内 再进行62次优化迭代 求得结果为零点0 82191163 j0 56961501 极点0 89176390 j0 19181084 Ag 0 11733978 E 0 56731 误差函数用下式表示 6 6 12 3 在时域直接设计IIR数字滤波器设我们希望设计的IIR数字滤波器的单位脉冲响应为hd n 要求设计一个单位脉冲响应h n 充分逼近hd n 下面我们介绍这种设计方法 设滤波器是因果性的 系统函数为 6 6 13 式中a0 1 未知系数ai和bi共有N M 1个 取h n 的一段 0 n p 1 使其充分逼近hd n 用此原则求解M N 1个系数 将 6 6 13 式改写为 令p M N 1 则 6 6 14 令上面等式两边z的同幂次项的系数相等 可得到N M 1个方程 h 0 b0h 0 a1 h 1 b1h 0 a2 h 1 a1 h 2 b2上式表明h n 是系数ai bi的非线性函数 考虑到i M时 bi 0 一般表达式为 6 6 15 6 6 16 设x n 为给定的输入信号 yd n 是相应的希望的输出信号 x n 和yd n 长度分别为M和N 实际滤波器的输出用y n 表示 下面我们按照y n 和yd n 的最小均方误差求解滤波器的最佳解 设均方误差用E表示 6 6 17 6 6 18 上式中x n 0 n M1 yd n 0 n N 1为选择h n 使E最小 令 由 6 6 18 式得到 6 6 20 例6 6 2设计数字滤波器 要求在给定输入x n 3 1的情况下 输出yd n 1 0 25 0 1 0 01 0 解设h n 长度为p 4 按照 6 6 20 式 得 列出方程 10h 0 3h 1 3 253h 0 10h 1 3h 2 0 853h 1 10h 2 3h 3 0 313h 2 9h 3 0 03 解联立方程 得h n 0 3333 0 0278 0 0426 0 0109将h n 以及M 1 N 2代入 6 6 15 6 6 16 式中 得a1