第四章 双自由度体系的振动1.doc

第四章 双自由度体系的振动4-1 双自由度体系的一般振动方程如某一体系在任一时刻的位形可用二个独立坐标来确定，则该体系就叫做双自由度体系。如图4-1所示，设体系的两个独立坐标分别为和，它们分别表示质量和离开各自静平衡位置的绝对位移。选择独立坐标的方法不是唯一的，例如也可以选择质量的绝对位移和质量相对于质量的相对位移作为二个独立坐标。图4-1 双自由度体系模型由图4-1（b）所示的动平衡隔离体，立即可写出对于和的运动方程为： （4-1）整理后，可得 （4-2）引入矩阵记号 （4-3）式中叫做质量矩阵，为一对称阵；叫做阻尼矩阵，为一对称阵；叫做刚度矩阵，为一对称正定或半正定对称矩阵；和分别叫做位移和外力列向量。式（4-2）现可写成 （4-4）由于、c及k不是对角的就是对称的，故有、 （4-5）矩阵中的非对角元素起了耦合的作用。如果、c及k均为对角阵时，则方程（4-4）解耦，此时其求解方法与单自由度体系相同。这个结论对一般多自由度体系也同样适用。4-2 双自由度体系的无阻尼振动4-2-1 无阻尼时的运动方程把式（4-4）中的阻尼项去掉，即令c=0，即可得无阻尼时的运动方程 （4-6）在一般情况下，求解式（4-4）或上式也并不是很容易的，其原因是二个方程不是相互独立。下面我们仅讨论自由振动以及外力为简谐力的特殊情况。4-2-2 自由振动令式（4-6）的右侧，即得自由振动方程式 （4-7a）上式也可写成 （4-7b）因为上式为齐次的，所以，如果及为一组解答，则及也是一组解答，这里为一任意常数。因此，自由振动方程的解只能确定到一个未定的常数乘子。（1）模态（振型）及频率下面我们要找出一组特殊的解及，要求及为相互同步，即要求与时间无关。现设 并代入式（4-7b），有 （4-8）或 （4-9）从上式可得 （4-10） （4-11）式（4-10）中的常数不仅为实数而且为正数。证明如下：设，并代入式（4-10），则有 （a）故 （b）如果，并代入式（4-10），得，所以为实数。如果为负数，则为正实数，此时式（b）中的第一项当时，将趋于无穷大而第二项则趋于零。由于系统是保守的，运动既不能消失也不能趋于无穷，所以为负值在物理上无意义，因此必须为正实数。其次再来证明时间函数f（t）为简谐函数：因为正实数，故可令，式（a）中的s可写成，于是式（b）可写成 （c）令 （d）则 （4-12）所以为简谐函数，为任意常数，为圆频率，为相位角。这三个量对于及都是相同的，即因为自由振动方程的解只能确定到一个未定的常数乘子，故上式中的可以不加考虑，可直接令 （4-13）最后再来证明并不是任意的，而仅能取特定的值。将代入式（4-11），则有 （4-14a）由于，故上式可简化成 （4-14b）式（4-14）叫做模态方程。如欲得非零解，则必须 （4-15）式（4-15）叫做频率方程。将上式展开，并注意到，则有或 （4-16）因此只有二个模态（或叫振型），在这二个模态下体系的运动才是同步简谐的。与这二个模态相应的频率分别为及。现设与相应的模态用及来表示，与相应的模态用及来表示。双脚标中的第一个脚标与质量及相对应，第二个脚标表示模态号码。由于模态方程（4-14）是齐次的，所以及只有相对关系。从模态方程可得 （4-17a，b）于是体系的模态矢量可表示成 （4-18）双自由度体系的自由振动可表示成 （4-19a）或 （4-19b）或 （4-19c）式中 （4-20）因故式（4-19a）中仅有四个待定常数，即、及，它们由初始条件确定。例4-1 试求图4-2所示双自由度体系的频率和模态。在此，将以上数据代入式（4-16）及式（4-17），得从上式可以看出，第一模态（振型）为两个质量一起振动，无相对位移，中间一个弹簧不起作用，只有第一个第三个弹簧起作用，其结果等于质量为2m，弹簧系数为2k的单自度体系的振动；而第二模态为两个质量作相反振动，中间一个弹簧的中点始终不动。这两个模态的力学模型如图4-3所示。图4-2 双自由度振动体系示意第一模态第二模态图4-3 双自由度振动模态示意（2）模态（振型）的正交性及其意义从上面的例子中，我们发现有这样的关系。这个关系不是个别的，而是一般的，叫做模态（振型）的正交关系或简称正交性。现证明如下：因为由式（4-14a）及（4-20）可得 （a） （b）将式（a）转置得 （c）将式（b）左乘，得 （d）将式（c）右乘，得 （e）因为再比较式（d）和（e），得因为，故有 （4-21a）将上式展开，由式（d）或式（e）均可得 （4-22a）式（4-21）及式（4-22）分别表示二个不同振型以质量（或刚度）为权的正交性（带权正交性）。同时，有 （）（4-21b） （）（4-22b）式中为正常数，为相应于主坐标的广义质量；为相应的广义刚度矩阵。振动方程式（4-7a）可以变换成如下形式 （）上式表明，整个系统的无阻尼自由振动可以用2个独立的无阻尼二阶微分方程组来描述，每一个方程对应一个振型，每个振型的固有频率由下式给出 （）振型正交性有二个方面的意义，即几何的及物理的。设，则由式（4-21）可得上式表示二个向量的内积为零，即二个振型向量正交，这是几何方面的意义。现在再来看看物理方面的意义:设将振型正交式分别乘以及，得亦即 （a） （b）式（a）表示以第一振型在作自由振动时的惯性力不在第二振型上作功，式（b）表示以第二振型在作自由振动时的惯性力不在第一振型上作功，换言之，第一振型的能量不会转移到第二振型上，反之亦然，即一振型的的振动不会激起别的振型的振动。上面所说的关于振型的正交性及其意义对于一般多自由度体系也同样如此。（3）模态（振型）的规格化对于第一或第二振型，有由于一个振型的各幅值之间可相差一个常数比例因子，也就是说和仍然是第振型的幅值，这时有上述过程叫做振型规格化，和叫做规格化了的振型。为了简便起见，一般假设振型都是经过规格化了的，并仍用、记之。于是有 （4-23）对于一般多自由度体系，也具有同样的形式： （4-24a）如用矩阵形式表达，则有 （4-24b）所以，对于规格化了的振型来说，有 （4-25）（4）四个待定常数的确定直接代入法当双自由度体系在自由振动时，二个振型同时出现，其运动方程已示于式（4-19a）。由于与，与之间有一定的比例关系，故实际上仅有四个未定常数要由四个初始条件确定。由 （4-17a，b）代入式（4-19b、c），则有 （4-26）把，代入上式，有 （a） （b） （c） （d）(b)（a） （e）(a) （f）(d)(c) （g）(c) -(d) （h） （i） （4-27）如将式（4-26）展开，则有 （4-28）式中、及表示相应式中的右边项。方法二：振型正交叠加法由式（4-19）的矩阵形式，并引入式（4-17a，b），即 （4-19）式中 , , ，。把，、，并代入式（4-26），有（i）（j）根据振型加权正交性，式（ai）、（bj）两边同左乘，则有（k）（l）整理得（m） （n）（o）（p）4-2-3 在简谐力作用下的强迫振动先假设在上作用一个谐振力，而在上没有外力，则运动方程为（4-29a）或 （4-29b）现在先来求设体系稳态解，即特解。为令 （4-30）将式（4-30）代入式（4-29a），得解上式，有， （4-32）其中 （4-33a）将上式与频率方程式（4-15）相比，可得 （4-33b）所以，有， （4-34）在上式中先不考虑因子，并令 （a）上式中的、及可用如下办法求得：由式（a）的第一式可得令，则有 （b）用同样的办法，可得 （c） （d） （e）由式（4-17）并考虑到，得 （4-35）将上式代入式（a）并考虑式（4-34），最后可得 （4-36）从，又因振型中的幅值仅有相对意义，故可令，则有。于是， （4-37a）或 （4-37b）从上式可以看出，纯强迫振动可用体系的振型、频率以及共振因子来表达。有了特解以后，再加上齐次解，即得全解 （4-38）再从初始条件，当， ，确定四个常数 。在这里应该指出，顺便提一句，振型中有一个振幅取值为1时，叫做振型规一化。一般取绝对值最大的幅值为1，其余幅值都是小于1的数。应注意与规格化是两个不同的概念。上面所说讨论的是，仅在上作用着外力，而在上没有外力作用的情况，并记特解为（即式4-37b）。对仅