2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)专题09 几何综合问题.docVIP

2012年中考数学压轴题分类解析汇编(十专题)专题9：几何综合问题1. （2012宁夏区10分）在矩形ABCD中，AB=2，AD=3,P是BC上的任意一点（P与B、C不重合），过点P作APPE，垂足为P，PE交CD于点E.(1)连接AE，当APE与ADE全等时，求BP的长；(2)若设BP为x，CE为y，试确定y与x的函数关系式。当x取何值时，y的值最大？最大值是多少？(3)若PEBD，试求出此时BP的长.【答案】解：（1）APEADE，AP=AD=3。在RtABP中，AB=2，BP=。（2）APPE，RtABPRtPCE。 ，即。 当时，y的值最大，最大值是。（2）设BP=x, 由（2）得。PEBD，CPECBD。， 即，化简得。解得或（不合题意，舍去）。当BP= 时， PEBD。【考点】矩形的性质，全等三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，二次函数的最值，平行的性质，解一元二次方程。【分析】（1）由APEADE可得AP=AD=3，在RtABP中，应用勾股定理即可求得BP的长。（2）由APPE，得RtABPRtPCE，根据相似三角形的对应边成比例可列式得y与x的函数关系式。化为顶点式即可求得当时，y的值最大，最大值是。（3）由PEBD，得CPECBD，根据相似三角形的对应边成比例可列式可求得BP的长。2. （2012山西省12分）问题情境：将一副直角三角板（RtABC和RtDEF）按图1所示的方式摆放，其中ACB=90，CA=CB，FDE=90，O是AB的中点，点D与点O重合，DFAC于点M，DEBC于点N，试判断线段OM与ON的数量关系，并说明理由探究展示：小宇同学展示出如下正确的解法：解：OM=ON，证明如下：连接CO，则CO是AB边上中线，CA=CB，CO是ACB的角平分线（依据1）OMAC，ONBC，OM=ON（依据2）反思交流：（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别是指：依据1： 依据2： （2）你有与小宇不同的思考方法吗？请写出你的证明过程拓展延伸：（3）将图1中的RtDEF沿着射线BA的方向平移至如图2所示的位置，使点D落在BA的延长线上，FD的延长线与CA的延长线垂直相交于点M，BC的延长线与DE垂直相交于点N，连接OM、ON，试判断线段OM、ON的数量关系与位置关系，并写出证明过程【答案】（1）解：等腰三角形三线合一（或等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合）；角平分线上的点到角的两边距离相等。（2）证明：CA=CB，A=B。O是AB的中点，OA=OB。DFAC，DEBC，AMO=BNO=90。在OMA和ONB中，A=B，OA=OB，AMO=BNO，OMAONB（AAS）。OM=ON。（3）解：OM=ON，OMON。理由如下：连接CO，则CO是AB边上的中线。ACB=90，OC=AB=OB。又CA=CB，CAB=B=45，1=2=45，AOC=BOC=90。2=B。BNDE，BND=90。又B=45，3=45。3=B。DN=NB。ACB=90，NCM=90。又BNDE，DNC=90。四边形DMCN是矩形。DN=MC。MC=NB。MOCNOB（SAS）。OM=ON，MOC=NOB。MOCCON=NOBCON，即MON=BOC=90。OMON。【考点】等腰三角形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】（1）根据等腰三角形和角平分线的性质直接作答。（2）利用AAS证明OMAONB即可。（3）利用SAS证明MOCNOB即可得到OM=ON，MOC=NOB。通过角的等量代换即可得MON=BOC=90，而得到OMON。3. （2012福建厦门10分）已知ABCD，对角线AC与BD相交于点O，点P在边AD上，过点P分别作PEAC、PFBD，垂足分别为E、F，PEPF（1）如图，若PE，EO1，求EPF的度数；（2）若点P是AD的中点，点F是DO的中点，BF BC34，求BC的长【答案】解：（1）连接PO , PEPF，POPO，PEAC、PFBD， RtPEORtPFO（HL）。EPOFPO。在RtPEO中， tanEPO， EPO30。 EPF60。（2）点P是AD的中点， APDP。又 PEPF， RtPEARtPFD（HL）。OADODA。 OAOD。 AC2OA2ODBD。ABCD是矩形。 点P是AD的中点，点F是DO的中点， AOPF。 PFBD， ACBD。ABCD是菱形。ABCD是正方形。 BDBC。 BFBD，BC34BC，解得，BC4。【考点】平行四边形的性质，角平分线的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接PO，利用解直角三角形求出EPO=30，再利用“HL”证明PEO和PFO全等，根据全等三角形对应角相等可得FPO=EPO，从而得解。（2）根据条件证出 ABCD是正方形。根据正方形的对角线与边长的关系列式计算即可得解。4. （2012甘肃白银10分）如图，点A，B，C，D在O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，延长DB到点F，使，连接AF（1）证明：BDEFDA；（2）试判断直线AF与O的位置关系，并给出证明【答案】解:（1）证明：在BDE和FDA中，FBBD，AEED，。又BDEFDA，BDEFDA。（2）直线AF与O相切。证明如下：连接OA，OB，OC，ABAC，BOCO，OAOA，OABOAC（SSS）。OABOAC。AO是等腰三角形ABC顶角BAC的平分线。AOBC。BDEFDA，得EBDAFD，BEFA。AOBE，AOFA。直线AF与O相切。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）因为BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知BDEFDA。（2）连接OA、OB、OC，证明OABOAC，得出AOBC再由BDEFDA，得出EBD=AFD，则BEFA，从而AOFA，得出直线AF与O相切。5. （2012广东广州14分）如图，在平行四边形ABCD中，AB=5，BC=10，F为AD的中点，CEAB于E，设ABC=（6090）（1）当=60时，求CE的长；（2）当6090时，是否存在正整数k，使得EFD=kAEF？若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由连接CF，当CE2CF2取最大值时，求tanDCF的值【答案】解：（1）=60，BC=10，sin=，即sin60=，解得CE=。（2）存在k=3，使得EFD=kAEF。理由如下：连接CF并延长交BA的延长线于点G，F为AD的中点，AF=FD。在平行四边形ABCD中，ABCD，G=DCF。在AFG和CFD中，G=DCF， G=DCF，AF=FD，AFGCFD（AAS）。CF=GF，AG=CD。CEAB，EF=GF。AEF=G。AB=5，BC=10，点F是AD的中点，AG=5，AF=AD=BC=5。AG=AF。AFG=G。在AFG中，EFC=AEF+G=2AEF，又CFD=AFG，CFD=AEF。EFD=EFC+CFD=2AEF+AEF=3AEF，因此，存在正整数k=3，使得EFD=3AEF。设BE=x，AG=CD=AB=5，EG=AE+AG=5x+5=10x，在RtBCE中，CE2=BC2BE2=100x2。在RtCEG中，CG2=EG2+CE2=（10x）2+100x2=20020x。CF=GF（中已证），CF2=（CG）2=CG2=（20020x）=505x。CE2CF2=100x250+5x=x2+5x+50=（x）2+50+。当x=，即点E是AB的中点时，CE2CF2取最大值。此时，EG=10x=10，CE=，。【考点】锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，平行四边形的性质，对顶角的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线性质，等腰三角形的性质，二次函数的最值，勾股定理。【分析】（1）利用60角的正弦值列式计算即可得解。（2）连接CF并延长交BA的延长线于点G，利用“角边角”证明AFG和CFD全等，根据全等三角形对应边相等可得CF=GF，AG=CD，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得EF=GF，再根据AB、BC的长度可得AG=AF，然后利用等边对等角的性质可得AEF=G=AFG，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得EFC=2G，然后推出EFD=3AEF，从而得解。设BE=x，在RtBCE中，利用勾股定理表示出CE2，表示出EG的长度，在RtCEG中，利用勾股定理表示出CG2，从而得到CF2，然后相减并整理，再根据二次函数的最值问题解答。6. （2012广东肇庆10分）如图，在ABC中，AB=AC，以AB为直径的O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P. 求证：（1）D是BC的中点；（2）BEC ADC；（3）AB CE=2DPAD【答案】证明：（1）AB是O的直径，ADB=90，即ADBC。AB=AC，D是BC的中点。（2）AB是O的直径，AEB=ADB=90，即CEB=CDA=90，C是公共角，BECADC。（3）BECADC，CBE=CAD。AB=AC，AD=CD，BAD=CAD。BAD=CBE。ADB=BEC=90，ABDBCE。BC=2BD，即。BDP=BEC=90，PBD=CBE，BPDBCE。，即ABCE=2DPAD。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是O的直径，可得ADBC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。（2）由AB是O的直径，AEB=ADB=90，又由C是公共角，即可证得BECADC。（3）易证得ABDBCE与BPDBCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得ABCE=2DPAD。7. （2012贵州毕节14分）如图，AB是O的直径，AC为弦，D是的中点，过点D作EFAC的延长线于E，交AB的延长线于E，交AB的延长线于F。（1）求证：EF是O的切线；（2）若F=，AE=4，求O的半径和AC的长。【答案】（1）证明：连接OD，D是的中点，BOD=A。ODAC。EFAC，E=90。ODF=90。EF是O的切线；（2）解：在AEF中，E=90，sinF= ，AE=4，。设O的半径为R，则OD=OA=OB=R，AB=2R在ODF中，ODF=90，sinF=，OF=3OD=3R。OF+OA=AF，3R+R=12，R=3。连接BC，则ACB=90。E=90，BCEF。AC：AE=AB：AF。AC：4=2R：4R，AC=2。O的半径为3，AC的长为2。【考点】弧、圆周角和圆心角的关系，圆周角定理，平行的判定和性质，切线的判定，锐角三角函数定义，平行线分线段成比例定理。【分析】（1）连接OD，根据圆周角定理，可得BOD=A，则ODAC，从而得出ODF=90，即EF是O的切线。（2）先解直角AEF，由sinF= ，得出AF=3AE=12，再在RtODF中，由sinF=，得出OF=3OD，设O的半径为R，由AF=12列出关于R的方程，解方程即可求出O的半径。连接BC，证明BCEF，根据平行线分线段成比例定理得出AC：AE=AB：AF，即可求出AC的长。8. （2012江苏泰州12分）如图，已知直线l与O相离，OAl于点A，OA=5，OA与O相交于点P，AB与O相切于点B，BP的延长线交直线l于点C（1）试判断线段AB与AC的数量关系，并说明理由；（2）若PC=，求O的半径和线段PB的长；（3）若在O上存在点Q，使QAC是以AC为底边的等腰三角形，求O的半径r的取值范围【答案】解：（1）AB=AC。理由如下：连接OB。AB切O于B，OAAC，OBA=OAC=90。OBP+ABP=90，ACP+CPB=90。OP=OB，OBP=OPB。OPB=APC，ACP=ABC。AB=AC。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则由OA=5得，OP=OB=r，PA=5r。又PC=， 。由（1）AB=AC得，解得：r=3。AB=AC=4。PD是直径，PBD=90=PAC。DPB=CPA，DPBCPA。，即，解得。 （3）作线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，则OE=AC=AB=。又圆O要与直线MN交点，OE=r，r。又圆O与直线l相离，r5。O的半径r的取值范围为r5【考点】切线的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，直线与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OB，根据切线的性质和垂直得出OBA=OAC=90，推出OBP+ABP=90，ACP+CPB=90，求出ACP=ABC，根据等腰三角形的判定推出即可。（2）延长AP交O于D，连接BD，设圆半径为r，则OP=OB=r，PA=5r，根据AB=AC推出，求出r，证DPBCPA，得出 ，代入求出PB即可。（3）根据已知得出Q在AC的垂直平分线上，作出线段AC的垂直平分线MN，作OEMN，求出OEr，求出r范围，再根据相离得出r5，即可得出答案。9. （2012江苏南京10分）如图，A、B为O上的两个定点，P是O上的动点（P不与A、B重合），我们称APB为O上关于A、B的滑动角。（1）已知APB是上关于点A、B的滑动角。 若AB为O的直径，则APB= 若O半径为1，AB=，求APB的度数（2）已知为外一点，以为圆心作一个圆与相交于A、B两点，APB为上关于点A、B的滑动角，直线PA、PB分别交于点M、N（点M与点A、点N与点B均不重合），连接AN，试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系。【答案】解：（1）900。如图，连接AB、OA、OB在AOB中，OA=OB=1AB=，OA2+OB2=AB2。AOB=90。当点P在优弧 AB 上时（如图1），APB=AOB=45；当点P在劣弧 AB 上时（如图2），APB=（360AOB）=135。（2）根据点P在O1上的位置分为以下四种情况第一种情况：点P在O2外，且点A在点P与点M之间，点B在点P与点N之间，如图3，MAN=APB+ANB，APB=MAN-ANB。第二种情况：点P在O2外，且点A在点P与点M之间，点N在点P与点B之间，如图4，MAN=APB+ANP=APB+（180ANB），APB=MAN+ANB180。第三种情况：点P在O2外，且点M在点P与点A之间，点B在点P与点N之间，如图5，APB+ANB+MAN=180，APB=180MANANB。第四种情况：点P在O2内，如图6，APB=MAN+ANB。【考点】圆周角定理，勾股定理逆定理，三角形内角和定理和外角性质。【分析】（1）根据直径所对的圆周角等于90即可得APB=900。根据勾股定理的逆定理可得AOB=90，再分点P在优弧上；点P在劣弧上两种情况讨论即可。（2）根据点P在O1上的位置分为四种情况得到APB与MAN、ANB之间的数量关系。10. （2012四川宜宾10分）如图，O1、O2相交于P、Q两点，其中O1的半径r1=2，O2的半径r2=过点Q作CDPQ，分别交O1和O2于点CD，连接CP、DP，过点Q任作一直线AB交O1和O2于点AB，连接AP、BP、ACDB，且AC与DB的延长线交于点E（1）求证：；（2）若PQ=2，试求E度数【答案】（1）证明：O1的半径r1=2，O2的半径r2=，PC=4，PD=2。CDPQ，PQC=PQD=90。PCPD分别是O1、O2的直径，在O1中，PAB=PCD，在O2中，PBA=PDC，PABPCD。，即。（2）解：在RtPCQ中，PC=2r1=4，PQ=2，cosCPQ=。CPQ=60。在RtPDQ中，PD=2r2=2，PQ=2，sinPDQ=。PDQ=45。CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45。又PD是O2的直径，PBD=90。ABE=90PBQ=45。在EAB中，E=180CAQABE=75。答：E的度数是75。【考点】相交两圆的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，圆周角定理，三角形内角和定理。【分析】（1）求出PC、PD，证PABPCD，得出，从而。（2）由cosCPQ=，求出CPQ=60，同理求出PDQ=45。由圆周角定理，得出CAQ=CPQ=60，PBQ=PDQ=45，求出PBD=90，求出ABE=45根据三角形的内角和定理求出即可。11. （2012四川广安9分）如图，在ABC中，ABC=ACB，以AC为直径的O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且CAB=2BCP（1）求证：直线CP是O的切线（2）若BC=2，sinBCP=，求点B到AC的距离（3）在第（2）的条件下，求ACP的周长【答案】解：（1）ABC=ACB且CAB=2BCP，在ABC中，ABC+BAC+BCA=180，2BCP+2BCA=180。BCP+BCA=90，即PCA=90。又AC是O的直径，直线CP是O的切线。（2）如图，作BDAC于点D，PCAC，BDPC。PCB=DBC。C=2，sinBCP=，解得：DC=2。由勾股定理得：BD=4。点B到AC的距离为4。（3）如图，连接AN，在RtACN中，又CD=2，AD=ACCD=52=3。BDCP，ABDACP。，即。在RtACP中，。ACP的周长为。【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）根据ABC=AC且CAB=2BCP，在ABC中ABC+BAC+BCA=180，得到2BCP+2BCA=180，从而得到BCP+BCA=90，证得直线CP是O的切线。（2）作BDAC于点D，得到BDPC，从而利用求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。（3）先求出AC的长度，然后由BDPC求得ABDACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得ACP的周长。12. （2012四川达州7分）如图，C是以AB为直径的O上一点，过O作OEAC于点E，过点A作O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.（1）求证：PC是O的切线.（2）若AF=1，OA=，求PC的长. 【答案】解：（1）证明：连结OC， OEAC，AE=CE。FA=FC。FAC=FCA。OA=OC，OAC=OCA。OAC+FAC=OCA+FCA，即FAO=FCO。FA与O相切，且AB是O的直径，FAAB。FCO=FAO=90。又OC是O的半径，PC是O的切线。（2）PC是O的切线，PCO=90。而FPA=OPC，PAF=90，PAFPCO 。CO=OA=，AF=1，PC=PA 。设PA=x，则PC=在RtPCO中，由勾股定理得， ，解得：。PC。【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明FAC=FCA，然后根据切线的性质得出FAO=90，然后即可证明结论。 （2）先证明PAFPCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在RtPCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。13. （2012四川德阳14分） 如图，已知点C是以AB为直径的O上一点，CHAB于点H，过点B作O 的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.求证：AEFD=AFEC；求证：FC=FB；若FB=FE=2，求O 的半径r的长.【答案】（1）证明：BD是O的切线，DBA=90。CHAB，CHBD。AECAFD。AEFD=AFEC。（2）证明：CHBD，AECAFD，AHEABF。CE=EH（E为CH中点），BF=DF。AB为O的直径，ACB=DCB=90。CF=DF=BF，即CF=BF。（3）解：BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，EF=FC。FCE=FEC。AHE=CHG=90，FAH+AEH=90，G+GCH=90。AEH=CEF，G=FAG。AF=FG。FBAG，AB=BG。连接OC，BC，BF切O于B，FBC=CAB。OC=OA，CF=BF，FCB=FBC，OCA=OACFCB=CAB。ACB=90，ACO+BCO=90。FCB+BCO=90，即OCCG。CG是O切线。GBA是O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BGAG=2BG2，【注，没学切割线定理的可由AGCCGB求得】在RtBFG中，由勾股定理得：BG2=FG2BF2，FG24FG12=0。解得：FG=6，FG=2（舍去）。由勾股定理得：AB=BG=。O的半径r是。【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由BD是O的切线得出DBA=90，推出CHBD，证AECAFD，得出比例式即可。（2）证AECAFD，AHEABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可。（3）求出EF=FC，求出G=FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出FCB=CAB推出CG是O切线，由切割线定理（或AGCCGB）得出（2+FG）2=BGAG=2BG2，在RtBFG中，由勾股定理得出BG2=FG2BF2，推出FG24FG12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG的长，从而得到O的半径r。14. （2012四川资阳9分）如图，在ABC中，ABAC，A30，以AB为直径的O交B于点D，交AC于点，连结DE，过点B作BP平行于DE，交O于点P，连结EP、CP、OP（1）(3分)BDDC吗？说明理由；（2）(3分)求BOP的度数；（3）(3分)求证：CP是O的切线；如果你解答这个问题有困难，可以参考如下信息：为了解答这个问题，小明和小强做了认真的探究，然后分别用不同的思路完成了这个题目在进行小组交流的时候，小明说：“设OP交AC于点G，证AOGCPG”；小强说：“过点C作CHAB于点H，证四边形CHOP是矩形”【答案】解：（1）BD=DC。理由如下：连接AD，AB是直径，ADB=90。AB=AC，BD=DC。（2）AD是等腰ABC底边上的中线， BAD=CAD 。BD=DE。BD=DE=DC。DEC=DCE。 ABC中，AB=AC，A=30，DCE=ABC= (18030)=75。DEC=75。EDC=1807575=30。BPDE，PBC=EDC=30。ABP=ABCPBC=7530=45。OB=OP，OBP=OPB=45。BOP=90。（3）设OP交AC于点G，则AOG=BOP =90。在RtAOG中，OAG=30，。又，。又AGO=CGP，wAOGCPG。GPC=AOG=90。CP是的切线。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）连接AD，由圆周角定理可知ADB=90，再由AB=AC可知ABC是等腰三角形，故BD=DC。（2）由于AD是等腰三角形ABC底边上的中线，所以BAD=CAD，故，从而可得出BD=DE，故BD=DE=DC，所以DEC=DCE，ABC中由等腰三角形的性质可得出ABC=75，故DEC=75由三角形内角和定理得出EDC的度数，再根据BPDE可知PBC=EDC=30，进而得出ABP的度数，再由OB=OP，可知OBP=OPB，由三角形内角和定理即可得出BOP=90。（3）设OP交AC于点G，由BOP=90可知AOG=90在RtAOG中，由OAG=30，可知，由得， ，由AGO=CGP可得出AOGCPG，由相似三角形形的性质可知GPC=AOG=90，故可得出CP是O的切线。 15. （2012山东滨州12分）如图1，l1，l2，l3，l4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A，B，C，D都在这些平行线上过点A作AFl3于点F，交l2于点H，过点C作CEl2于点E，交l3于点G（1）求证：ADFCBE；（2）求正方形ABCD的面积；（3）如图2，如果四条平行线不等距，相邻的两条平行线间的距离依次为h1，h2，h3，试用h1，h2，h3表示正方形ABCD的面积S【答案】解：（1）证明：在RtAFD和RtCEB中，AD=BC，AF=CE，RtAFDRtCEB（HL）。（2）ABH+CBE=90，ABH+BAH=90，CBE=BAH。又AB=BC，AHB=CEB=90，ABHBCE（AAS）。同理可得，ABHBCECDGDAF。S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF=421+1+1=5。（3）由（1）知，AFDCEB，故h1=h3，由（2）知，ABHBCECDGDAF，S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF=4（h1+h2）h1+h22=2h12+2h1h2+h22【考点】全等三角形的判定和性质，平行线之间的距离，正方形的性质。【分析】（1）直接根据HL定理得出RtAFDRtCEB。（2）由AAS定理得出ABHBCECDGDAF，再根据S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF即可得出结论。（3）由AFDCEB可得出h1=h3，再根据（2）中ABHBCECDGDAF，可知S正方形ABCD=4SABH+S正方形HEGF，从而得出结论。16. （2012山东泰安10分）如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，EFAE，EF分别交AC，CD于点M，F，BGAC，垂足为C，BG交AE于点H（1）求证：ABEECF；（2）找出与ABH相似的三角形，并证明；（3）若E是BC中点，BC=2AB，AB=2，求EM的长【答案】解：（1）证明：四边形ABCD是矩形，ABE=ECF=90AEEF，AEB+FEC=90，AEB+BEA=90。BAE=CEF。ABEECF。（2）ABHECM。证明如下：BGAC，ABG+BAG=90。ABH=ECM。由（1）知，BAH=CEM，ABHECM。（3）作MRBC，垂足为R，AB=BE=EC=2，AB：BC=MR：RC=2，AEB=45。MER=45，CR=2MR。MR=ER=。EM=。【考点】矩形的性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，锐角三角函数，特殊角的三角函数值。【分析】（1）由四边形ABCD是矩形，可得ABE=ECF=90，又由EFAE，利用同角的余角相等，可得BAE=CEF，然后利用有两组角对应相等的两个三角形相似，即可证得：ABEECF。（2）由BGAC，易证得ABH=ECM，又由（1）中BAH=CEM，即可证得ABHECM。（3）首先作MRBC，垂足为R，由AB：BC=MR：RC=2，AEB=45，即可求得MR的长，又由EM= 即可求得答案。17. （2012山东聊城10分）如图，O是ABC的外接圆，AB=AC=10，BC=12，P是上的一个动点，过点P作BC的平行线交AB的延长线于点D（1）当点P在什么位置时，DP是O的切线？请说明理由；（2）当DP为O的切线时，求线段DP的长【答案】解：（1）当点P是的中点时，DP是O的切线。理由如下：连接AP。AB=AC，。又，。PA是O的直径。，1=2。又AB=AC，PABC。又DPBC，DPPA。DP是O的切线。（2）连接OB，设PA交BC于点E。由垂径定理，得BE=BC=6。在RtABE中，由勾股定理，得：AE=。设O的半径为r，则OE=8r，在RtOBE中，由勾股定理，得：r2=62+（8r）2，解得r=。DPBC，ABE=D。又1=1，ABEADP，即，解得：。【考点】圆心角、弧、弦的关系，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）根据当点P是的中点时，得出，得出PA是O的直径，再利用DPBC，得出DPPA，问题得证。（2）利用切线的性质，由勾股定理得出半径长，进而得出ABEADP，即可得出DP的长。18. （2012山东东营10分）（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DFBE求证：CECF；（2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果GCE45，请你利用（1）的结论证明：GEBEGD（3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图3，在直角梯形ABCD中，ADBC（BCAD），B90，ABBC，E是AB上一点，且DCE45，BE4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，BCCD，BCDF，BEDF，CBECDF（SAS）。CECF。（2）证明： 如图，延长AD至F，使DF=BE连接CF。 由（1）知CBECDF，BCEDCF。BCEECDDCFECD，即ECFBCD90。又GCE45，GCFGCE45。CECF，GCEGCF，GCGC，ECGFCG（SAS）。GEGF，GEDFGDBEGD。（3）如图，过C作CGAD，交AD延长线于G在直角梯形ABCD中，ADBC，AB90。又CGA90，ABBC，四边形ABCD 为正方形。 AGBC。已知DCE45，根据（1）（2）可知，EDBEDG。10=4+DG，即DG=6。设ABx，则AEx4，ADx6，在RtAED中，DE2=AD2AE2，即102=（x6）2（x4）2。解这个方程，得：x=12或x=2（舍去）。AB=12。梯形ABCD的面积为108。【考点】正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，直角梯形。【分析】（1）由四边形是ABCD正方形，易证得CBECDF（SAS），即可得CE=CF。（2）延长AD至F，使DF=BE，连接CF，由（1）知CBECDF，易证得ECF=BCD=90，又由GCE=45，可得GCF=GCE=45，即可证得ECGFCG，从而可得GE=BE+GD。（3）过C作CGAD，交AD延长线于G，易证得四边形ABCG为正方形，由（1）（2）可知，ED=BE+DG，即可求得DG的长，设AB=x，在RtAED中，由勾股定理DE2=AD2+AE2，可得方程，解方程即可求得AB的长，从而求得直角梯形ABCD的面积。19. （2012广西来宾10分）如图，AB是O的直径，点C是O上一点，BAC的平分线AD交O于点D，过点D垂直于AC的直线交AC的延长线于点E（1）求证：DE是O的切线；（2）如图AD=5，AE=4，求O的直径【答案】（1）证明：如图，连接OD， AD为CAB的平分线，CAD=BAD。又OA=OD，BAD=ODA。CAD=ODA。ACOD。E+EDO=180。又AEED，即E=90，EDO=90。OD为圆O的切线。 （2）解：如图，连接BD，AB为圆O的直径，ADB=90。在RtAED中，AE=4，AD=5，。又EAD=DAB，在RtABD中，。，即圆的直径为。【考点】等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）连接OD，由AD为角平分线，得到一对角相等，再由OA=OD，得到一对角相等，等量代换得到一对内错角相等，根据内错角相等两直线平行可得ACOD，由两直线平行同旁内角互补，得到E与EDO互补，再由E为直角，可得EDO为直角，即DE为圆O的切线。（2）连接BD，由AB为O的直径，根据直径所对的圆周角为直角的性质，得到ADB=90。在RtAED中，由AE和AD的长，根据锐角三角函数定义求出cosEAD。又在RtABD中，根据锐角三角函数定义得到 ，即可求出直径AB的长。20. （2012广西柳州10分）如图，AB是O的直径，AC是弦（1）请你按下面步骤画图（画图或作辅助线时先使用铅笔画出，确定后必须使用黑色字迹的签字笔描黑）；第一步，过点A作BAC的角平分线，交O于点D；第二步，过点D作AC的垂线，交AC的延长线于点E第三步，连接BD（2）求证：AD2=AEAB；（3）连接EO，交AD于点F，若5AC=3AB，求的值【答案】解：（1）如图：（2）证明：AB是O的直径，ADB=90。 又DEAC，AED=90。AD平分CAB，CAD=DAB。RtADERtABD。AD：AB=AE：AD，AD2=AEAB。（3）如图，连接OD、BC，它们交于点G， 5AC=3AB，即AC：AB=3：5，不妨设AC=3x，AB=5x，AB是O的直径，ACB=90。ECG=90。又CAD=DAB，。OD垂直平分BC。ODAE，OG=AC=x。四边形ECGD为矩形。CE=DG=ODOG=xx =x。AE=AC+CE=3x+x=4x。AEOD，AEFDOF。AE：OD=EF：OF，EF：OF=4x：x=8：5。【考点】圆的综合题，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，垂径定理，矩形的判定和性质。【分析】（1）根据基本作图作出BAC的角平分线AD交O于点D；点D作AC的垂线，垂足为点E。（2）根据直径所对的圆周角为直角得到ADB=90，DEAC，则AED=90，又由AD平分CAB得到CAD=DAB，根据相似三角形的判定得到RtADERtABD，根据相似的性质得到AD：AB=AE：AD，利用比例的性质即可得到AD2=AEAB。（3）连接OD、BC，它们交于点G，由5AC=3AB，则不妨设AC=3x，AB=5x，根据直径所对的圆周角为直角得到ACB=90，由CAD=DAB得到，根据垂径定理的推论得到OD垂直平分BC，则有ODAE，OG=AC=x，并且得到四边形ECGD为矩形，则可求出CE，从而计算出AE，利用AEOD可得到AEFDOF，则AE：OD=EF：OF，即EF：OF=4x：x=8：5，然后根据比例的性质即可得到 的值。21. （2012广西桂林10分）如图，等圆O1和O2相交于A、B两点，O1经过O2的圆心，顺次连接A、O1、B、O2(1)求证：四边形AO1BO2是菱形；(2)过直径AC的端点C作O1的切线CE交AB的延长线于E，连接CO2交AE于D，求证：CE2O2D；(3)在(2)的条件下，若AO2D的面积为1，求BO2D的面积【答案】解：（1）证明：O1与O2是等圆，AO1=O1B=BO2=O2A。四边形AO1BO2是菱形。（2）证明：四边形AO1BO2是菱形，O1AB=O2AB。CE是O1的切线，AC是O1的直径，ACE=AO2C=90。ACEAO2D。，即CE=2DO2。（3）四边形AO1BO2是菱形，ACBO2。ACDBO2D。AD=2B