一次函数的最大值和最小值.pdf

一次函数的最大值和最小值 韩 苏 杭州师范学院 浙江 杭州 310036 一次函数y ax b是一个最简单的初等函 数 假如a 0 它在坐标平面上表示一条与x轴不 平行的直线 因此它在整个实轴上既无最大值 也无 最小值 但是 在任意有限区间 上 它总有最 大值和最小值 当a 0时 y是严格单调递增的 当 a 0时 y是严格单调递减的 因此 当a 0时 y 的最大值和最小值总是在区间 的某一个端点 处取到 假如a 0 那么y 常数b y在整个实轴上处 处取到最大值和最小值 我们以f x 表示ax b 以max x f x 和 min x f x 分别表示 f x 在 上的最大值和最 小值 那么根据上面的讨论 我们可以得到以下结 论 若a 0 则 max x f x max f f min x f x min f f 并且 当且仅当x为 的某个端点时 f x 取 最大值或最小值 若a 0 则 f x 常数 f x 在全实轴上 处处达到最大值和最小值 上述结论几乎是显而易见的 无需证明 但是这 些简单的事实却十分有用 一些初看似乎难以下手 的数学竞赛题 利用这些结论就能迎刃而解 图1 例1图 例1 设 ABC的底边BC 固定 A点在线段EF上变动 又 设E和F在BC所在直线l的同 一侧 那么 ABC的面积S的最 大值和最小值总在A E或A F处达到 证 建立xOy坐标系 使BC在x轴上 B即O 0 0 线段EF在上半平面 如图1 又设C l 0 E x1 y1 F x2 y2 那么当A点在EF上变动 时 ABC的高h等于A点的y坐标 因此 h kx m 其中k y2 y1 x2 x1 m y1x2 x1y2 x2 x1 ABC的面积S为 S BC 2 kx m l 2 kx m 它是关于x的一次函数 因此 当且仅当x取值x1或值x2时 S达到最 大值和最小值 此时A落在E点或F点 利用例1的结果 我们容易解决下面的竞赛题 图2 例2图 例2 1979年安徽省数 学竞赛试题 有大小两个矩形 纸片ABCD和A B C D 固定叠 合 如图2 其中AB a AD b AB a AD b 设 P Q是小矩形纸片上的任意 两点 R是大矩形纸片上任意 一点 求证 S PQR 1 2 ab 证 由例1可知 当 PQR面积最大时 P Q 是矩形A B C D 的顶点 R是矩形ABCD的顶点 设R A 则 S PQR S PQA 1 2 S AB C D S B C D 而 B C D 只是 B CD 的一部分 由计算易得 S B CD 1 2 ab 因此 S PQR 1 2 ab 设R D 则不论P和Q为A B C D 中 哪些点 三角形PQR之面积都不会超过四边形 DD B C 的面积 而 SDD B C S D B C S D C D S D B C S D C C S B CD 04数 学 通 讯 2001年第20期 1994 2006 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 因此 S PQR 1 2 ab 同理 当R B时 也有 S PQR 1 2 ab 设R C 当P B Q D 时 S PQR 1 2 ab 当P B Q C 或P C Q D 时 PQR 都只是 B CD 的一部分 故 S PQR 1 2 ab 当P B Q A时 S PQR 1 2 ab 1 2 ab 当P A Q D 时 S PQR 1 2 ab 1 2 ab 最后 当P A Q C 时 S PQR 1 2 ab 1 2 ab 下面的例3初看很难 但如果把它当作一次函 数的最值问题来求解 问题的解决也就不太困难了 例3 设x1 x2 xn n 2 的绝对值都不超 过1 试求所有可能的两两乘积之和S的最小值 解 记S S x1 x2 xn x1x2 x1x3 x1xn x2x3 x2xn xn 1xn 固定 x2 x3 xn 仅让x1变动 那么S是x1的一次函 数 因此S min S 1 x2 xn S 1 x2 xn 同理 S 1 x2 xn min S 1 1 x3 xn S 1 1 x3 xn S 1 x2 xn min S 1 1 x3 xn S 1 1 x3 xn 依次类推 我们可以看出 S的最大值必定被某一组 取值 1的x1 x2 xn所达到 用数学式子来表 示 我们有 S min xk 1 k 1 2 n S x1 x2 xn 当xk 1 k 1 2 n 时 可以把S化为 S 1 2 x1 x2 xn 2 x21 x22 x2n 1 2 x 1 x2 xn 2 n 2 1 假定n为偶数 那么从上式导出 S n 2 另 一方面 若取x1 x2 xn 2 1 xn 2 1 x n 2 2 xn 1 则S n 2 故Smin 1 2 n 假定n为奇数 那么 1 中 x1 x2 xn 1 故 S 1 2 n 1 另一方面 若取x1 x2 xn 1 2 1 xn 1 2 1 xn 1 2 2 xn 1 那么S 1 2 n 1 因 此 Smin 1 2 n 1 注 例3所采用的解题方法 我们称之为局部 调整法 它的基本思想是 在探讨有多个可变对象的 问题时 先对其中少数对象进行调整 让其它对象暂 时保持不变 从而化难为易 取得问题的局部解决 经过有限次这样局部上的调整 不断缩小范围 最终 将整个问题解决 局部调整法有着十分广泛的应用 特别是对于解决某些函数的最值问题极为有效 例4 用2000元人民币购买单价50元的桌子 和20元的椅子 要求椅子数不能少于桌子数 但不 能多于桌子数的1 5倍 试问桌子和椅子各买多少 张才能使它们的总数最多 解 设桌子和椅子的购买数分别为x和y张 则x和y应满足下列条件 50 x 20y 2000 x y 1 5x x 0 y 0且x y都是正整数 2 在上述条件下 使得f x y达到最大值 图3 例4图 我们考察由 2 中的不等 式所限定的区域 由 2 中前二 个不等式可以看出 满足 2 的 点 x y 必须在直线5x 2y 2000的下方 在直线y 1 5x的下方 在直线y x的 上方 因此 必须落在如图所示 三角形ABO上 其中 A 25 75 2 B 200 7 200 7 下面我们暂时不考虑 x y 是整点的要求 作 一直线l使它与 ABO相交 当 x y 在这条直线 上移动时 f x y必在移动范围的两端或其中之 一取到最大值 因此 f的最大值总在 ABO边界 上取到 当 x y 在AB AO和OB上变动时 f的 最大值必在各线段的端点处取到 也就是说只要计 算三个顶点处两坐标之和 我们就可确定f x y 的最大值 由此容易得到 当x 25 y 37 5时 142001年第20期 数 学 通 讯 1994 2006 China Academic Journal Electronic Publishing House All rights reserved 直 线 系 和 曲 线 系 赵 小 云 杭州师院数学系 浙江 杭州 310036 1 直线系 若直线l1 A1x B1y C1 0 与直线l2 A2x B2y C2 0 相交于P 则l1与l2的线性组合 R 且不全 为零 l 3 A 1x B1y C1 A 2x B2y C2 0 表示过P点的所有直线 称为过P点的直线系方 程 特别地 当 0时 l3成为l2 当 0时 l3 成为l1 对于l1 l2以外的直线 我们往往只在l3中 保留一个参数 而使另一个为1 即为l4 A1x B1y C1 A 2x B2y C2 0 如果l1与l2平行 这时l3表示与l1平行的直 线系方程 例1 求过直线l1 2x y 5 0和l2 3x 2y 7 0的交点 且与l3 2x 3y 11 0垂直的 直线的方程 解 利用直线系 设所求方程为l 2x y 5 3x 2y 7 0 即 2 3 x 2 y 5 7 0 fmax 62 5 由于f是整数 故当x 25 y 37时 f 取到最大值62 这就是我们所要找的最优解 例4是有实际价值的线性规划问题 线性规划 是最近五六十年发展起来的一门新兴数学分支 它 在生产实践中有着极其广泛的应用 习 题 1 已知f x 3ax 2a 1 a 0 在区间 1 1 上存在t t 1 使 f t 0 则实数a的取 值范围是 A 1 1 5 B 1 5 C 1 D 1 1 5 2 求证内接于平行四边形的三角形 其面积不可能 大于这个平行四边形面积的一半 3 设x1 x2 xn n 3 的绝对值都不超过1 试 求一切不同脚码的n 2个xj的乘积之和s的 最小值 4 设甲 乙两个仓库各有钢材60吨和100吨供应 三个工厂 A厂需45吨 B厂需75吨 C厂需 40吨 从甲仓库运到三个工厂的每吨运费分别 为10元 5元和6元 从乙仓库运到三个工厂的 每吨运费分别为4元 8元和15元 试问怎样安 排运输钢材才能使总的运费最省 答案与提示 1 D 2 利用例1的结果 3 Smin n2 n 2 2 n2 5n 4 2 n 为