三等分角问题证明.doc

中華民國第四十二屆中小學科學展覽會作品說明書科別：數學組別：國中組作品名稱：希臘人也瘋狂關鍵詞：三角等分編號：希臘人也瘋狂校名：台中縣立潭子國民中學作者：指導教師：魏碩辰關鍵詞：尺規作圖、可造數、體擴張（field extensions）理論、Fermat（費瑪）質數研究摘要： 在古希臘人對於作圖的限制下：一、作圖時只准許使用直尺和圓規；二、直尺不能有任何刻度，而且直尺和圓規都只准許使用有限次。探討五個尺規作圖基本動作的代數性質，從而說明僅使用圓規、直尺是無法三等分角的。 藉由正多邊形的尺規作圖討論，找出可造的最小角度為3角，進而說明可以尺規作三等分的特殊角為9的倍數角。壹、 研究動機： 平日喜歡閱讀數學相關科普書的我，在一本介紹數學史的書中，發現一個非常吸引我的標題三大幾何難題，由於現在我正在學尺規作圖，興致勃勃的我拿著圓規、直尺就想試著三等分一個角，未料卻被念數學系的哥哥見著，他笑著說：別浪費時間了！那個問題早就被證明作不出來了。這答案著實地讓我覺得驚訝，因為我以為解數學題就是依照題目的意思把解答找出來，居然還可以證明命題作不出來，好奇的我便對三等分角作一次深入的探討，一窺它的奧祕。貳、 研究目的：一、 在古希臘三大幾何難題的原始命題下，探討三等分角的不可能性。二、 找出可三等分的特殊角度，以及在不同命題的情況下，探討三等分角的可能性。參、 研究設備與器材： 紙、筆、圓規、直尺、動態幾何（GSP）。肆、 研究過程與方法： Part 1 尺規作三等分角的不可能性一、 單純、原始及幾近理想化的尺規作圖：(一)以一把圓規及沒有任何刻度的直尺要三等分角，其限制如下：1. 過已知兩點，劃出一條直線。2. 給定一點及一線段，劃出一圓使得該圓以給定的點為圓心、給定的線段為半徑。3. 劃出二直線的交點。4. 劃直線與圓的交點。5. 劃出二圓的交點。(二) 有了這五個基本動作，我們可以完成如下幾個複雜的作圖：1. 二等分一個給定角。2. 作出長度為的線段。3. 作出長度為的線段。二、 可造數與不可造數： 由上我們可以給定一個線段長為單位長1，並把那些可經由上述尺規作圖而作出的長度或角度，稱為可造的；其他不能經由上述五個尺規作圖的基本動作作出來的長度，稱為不可造的。三、 可造數的若干性質：性質一：可造數經過四則運算後仍然是可造的。而這樣一個可造數的集合形成一個代數體(field)。性質二：每一個有理數都是可造的。證明：1.因為單位長1是可造的，所以任意正整數及負整數都是可造的。 2.有理數是經由整數相除得來的，由性質一，我們知道所有有理數都是可造的。性質三：如果a是可造的，則也是可造的。作法：以1a為直徑作一半圓，設端點為A、C，在與C相距單位長1之處作B，並以B為垂足，作交半圓於D，則為所求。證明：1.如圖所示，ABD相似於DBC，則，。 2.因為，所以得證。性質四：如果a、b、c是可造的，且方程式abxc0有實根，則方程式的根必為可造的。證明：1.如果abxc0的解依公式解為x，因為a、b、c是可造的，所以b4ac也是可造的。（性質一）再者，也是可造的。（性質三） 2.又a、b、皆為可造數，所以是可造的。四、 在笛卡兒直角座標系上討論尺規作圖的五個基本動作：1. 過已知兩點，劃出一條直線。證明：若、都是可造的，則過兩點(，)、(，)的直線方程式為，化簡為axbyc，其中 a，b，c()()，則a、b、c皆為可造的，又直線是點(x，y)的軌跡，所以x、y亦為可造的。2. 給定一點及一線段，劃出一圓使得該圓以給定的點為圓心、給定的線段為半徑。證明：如果 、 、 都是可造的，給定一定點及一線段其兩端點為、，則以給定的點為圓心、給定的線段為半徑，圓方程式為+，化簡得的形式，因為、，所以 、 、 都是可造的。3. 劃出二直線的交點。證明：如果 、，都是可造的，二直線，的交點為、，其中、 、 ，皆為可造，則兩直線交點（x，y）亦為可造。4. 劃直線與圓的交點。證明：如果都是可造的，直線與圓的交點，代入圓方程式中可以化簡成的形式，其中的、是可造的。得解也會是可造的，亦為可造。換句話說，如果直線方程式及圓方程式的係數如果都是可造的，那麼它們的交點坐標也一定是可造的。5. 如果都是可造的，我們想要証明：圓及的交點，也是可造的。 = (2)(1) 得 化簡的結果，得到一個圓方程式及一個直線形態的方程式，由4.推論得知兩圓交點座標為可造的。五、 揭開不能用尺規三等分角的神祕面紗：定理：p(x)是一個不可以一次因式作因式分解的三次多項式，且各項係數都是有理數，則p(x)的解都是不可造的（尺規作圖）。證明：1.令是一個三次方程式的根，(1) ，若存在於一個體（field）F中，則根據代數的體擴張（field extensions）理論，我們有： Q=， ，且每一個，k=1、2、n，都是由中的所有元素再加上一個元素所構成，而，。 2.若方程式(1)的任一個根是可造的，則方程式(1)的所有實根也都是可造的。 3.假設n是滿足方程式(1)的一個根屬於的最小整數，則令= 其中、，代入(1)得到： ，所以： 4.又的共軛根亦為方程式(1)的一根，所以利用根與係數關係a（）（）a2為第三個根，但是此根落於，矛盾於前面假設n是最小整數。六、 問題的解答原來是這麼著： 想要證明用圓規、直尺不能三等分一個角，只須證明不能用尺規作圖一個線段長度為xcos，而不失一般性令3，因為x滿足一個三次方程式 8，且利用勘根定理得知此方程式無有理數根，由此說明了尺規作三等分角的不可能性。 Part 2 可以用尺規三等分的特殊角七、 直接作出三等分後的那個角： 由於用尺規作圖將一個角度三等分，這個角度是題目給我們的。我們先稱這個角度為，要將三等分必定是和其他能單純用尺規作出來的角度相差的結果。所以我們希望能先做出一些角度，而這些角度都會是正多邊形的內角或外角(除了180)，首先，我們知道正n邊形（除了正2m邊形，m1，m，可以作圖外）可以用尺規作圖的充要條件是n，、都是不相同的Fermat（費瑪）質數。所謂Fermat質數就是可以表成F(x)21型的質數。我們可以藉由一些角度的做出而得到3角，因為做出了3角，所以我們就能將所有9的倍數角三等分。( 3 3=9， 3k 3=9k (kN) )八、 尺規作出最小的角3： （一）正十邊形的作圖假設有一個正十邊形內接於一個單位圓中且邊長為X , 因為X所對的圓心角為36且=1,所以OAB為一等腰 =OAB=OBA=72 , 過A點作一虛線平分OAB交於B，所以1=3=36。因為1=3=36=AOB，2=ABO=72，所以AOB和ABB為等腰且將分為X和1-X兩段。因為OABABB，所以：=：= 所以+-1= 0 =(負不合)。由此可知可以用尺規作圖作出。p.s.可用畢式定理作出。有了長度,我們就能用做10個弦於圓上而作出正10邊形得到36角。（二）作出3角： 我們利用正十邊形而得到36角，現在我們作一個正三角形，並且將其60內角利用角平分線兩等分成30角，由36角和30角我們即可得到一個角為6，此角再經過兩等分，就能得到3角了。（3角是9角的三等分角）九、 多了一個點的直尺，三等分角輕而易舉： 古希臘數學家阿基米德（前前）發現只要在直尺上固定一點，問題就可解決了。方法如下：在直尺上添加一點，令尺端為。設所要三等分的角是，以為圓心，為半徑作半圓交角邊於，；使點在延線上移 動，點在圓周上移動，當尺通過時，聯（見圖）。由於，所以。 伍、 研究結果：一、 從代數的證明過程中，我們發現在尺規作圖的條件限制下，三等分角是不可能的。二、 若命題改為將一個的角三等分，因為是已知的量，所以我們可以經由計算得到是多少，再直接以尺規作出的角，從而三等分角。三、 從正多邊形的尺規作圖討論得知：用直尺與圓規可以作出的最小角度為3角。四、 可以尺規作三等分的特殊角度為9的倍數角。陸、 討論：一、 為什麼不能作出1角？ 假設我們想要用尺規作出1角，而我們知道360=，所以只要我們能將360作45等分，也就是作出正45邊形再用角平分線三次我們就能作出1角。但是由正多邊形作圖的條件知道正45邊形是無法用尺規作出來的(因為45=335，而費馬數中的質數不能出現彼此相同者相乘的情況)因此1角也就無法求出。由於1角無法求出，所以2角也沒辦法，因此我們就能知道可用尺規作圖的最小整數角為3角。二、 3的倍數角但不是9的倍數角是否可以三等分？ 我們知道3角是我們能用尺規作出的，所以3是角度(題目給我們的已知角)或是自己用尺規所作出的沒有差別。如果我們要將3角三等分，也就是要我們用尺規作圖作出1角，而在前面我們已經知道這是不可能的了，所以3角是不能用尺規作三等分的。同理也可以知道3角的倍數但不為9的倍數角皆不可用尺規作三等分。柒、 結論： 三等分角問題是三大幾何難題中的其中之一，另外還有化圓為方問題、立方倍積問題。三大幾何難題嚴苛地限制作圖工具，雖然表達了古希臘尺規作圖的單純、原始及幾近理想化，但也暴露了古希臘幾何學的一個重大缺陷。有不少的數學家，僅把研究幾何作為訓練邏輯思維能力的手段，他們可以在理論上考察所有的幾何圖形，卻不肯去關心任何一個實際事物的形狀，導致了數學理論與應用的嚴重隔絕。 人類的智慧終會覓得最完美的解答，研究了兩千多年，最後的結果竟是不能作出這些問題，著實讓人覺得掃興，但解答三大幾何難題（縱使結果是作不出來），不僅顯示了人類智慧的威力，更重要的，是人們發現了更多的數學方法，得到了更多的數學成果，例如為解決化圓為方問題，希波克拉底等人使用的窮竭法，導致一種求圓面積的近似方法，成為阿基米德計算圓周率方法的先導；對三等分角的深入研究導致許多作圖方法的發現和作圖工具的發明；立方倍積問題的探討促進了圓錐曲線理論的建立和發展。這或許是幾何三大問題對數學家有歷久不衰的魅力的原因之一。捌、 參考資料： 一、Geometry O