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抛物线及其标准方程 椭圆与双曲线的第二定义 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数e的点的轨迹 当0 e 1时 是椭圆 当e 1时 是双曲线 当e 1时 它又是什么曲线 抛物线的定义 平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 点F叫做抛物线的焦点 直线l叫做抛物线的准线 二 标准方程 设 KF p 设点M的坐标为 x y 由定义可知 如图 建立直角坐标系xoy 使x轴经过点F且垂直于直线l 垂足为K 并使原点与线段KF的中点重合 方程y2 2px P 0 叫做抛物线的标准方程 它表示的抛物线焦点在x轴的正半轴上 焦点坐标是 p 2 0 它的准线方程是x p 2 抛物线的标准方程 x y o 抛物线的标准方程 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 0 p 2 p 2 0 p 2 0 y p 2 x p 2 x p 2 抛物线的标准方程 例题讲解 例1 1 已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 2 若抛物线焦点在x轴上 设它的标准方程为y2 ax 由于点 4 2 在抛物线上 故有 2 2 a 4 解得a 1 故此时所求标准方程为y2 x 若抛物线的焦点在y轴上 设它的标准方程为x2 by 由于点 4 2 在抛物线上 故有 4 2 b 2 解得b 8 故此时所求标准方程为x2 8y 综上所述 满足题意的抛物线的标准方程为y2 x或x2 8y 2 已知抛物线经过点 4 2 求它的标准方程 解 1 因为p 3 所以焦点坐标是 3 2 0 准线方程是x 3 2 变式训练 练习1 根据下列条件写出抛物线的标准方程 1 焦点是F 3 0 2 准线方程是x 1 4 3 焦点到准线的距离是2 2 求下列抛物线的焦点坐标与准线方程 1 y2 28x 2 4x2 3y 3 2y2 5x 0 4 y 4ax2 y2 12x y2 x y2 4x或y2 4x或x2 4y或x2 4y 焦点 7 0 准线x 7 焦点 0 1 16a 准线y 1 16a 焦点 0 3 16 准线y 3 16 焦点 5 8 0 准线x 5 8 例2 点M与点F 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点M的轨迹方程 例题讲解 解 由已知条件可知 点M与点F的距离等于它到直线x 4 0的距离 根据抛物线的定义 点M的轨迹是以点F 4 0 为焦点的抛物线 p 2 4 p 8 又因为焦点在轴的正半轴 所以点M的轨迹方程为y2 16x 例3 斜率为1的直线经过抛物线的焦点 与抛物线相交于两点A B 求线段AB的长 补充 1 焦点在直线3x 4y 12 0上的抛物线的标准方程是什么 y2 16x或x2 12y 练习2 填空 1 抛物线上一点M到焦点的距离是则点M到准线的距离是 点M的横坐标是 2 抛物
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