一元二次方程整数根问题.docx

中考数学复习重点一元二次方程一元二次方程整数根问题的十二种思维策略班级_ 姓名_1.利用判别式例1.（2000年黑龙江中考题）当m是什么整数时，关于x的一元二次方程与的根都是整数。解：方程有整数根， =16-16m0，得m1又方程有整数根 得 综上所述，m1x可取的整数值是-1，0，1当m=-1时，方程为x-4x+4=0 没有整数解，舍去。而m0 m=1例2（1996年四川竞赛题）已知方程 有两个不相等的正整数根，求m的值。解：设原方程的两个正整数根为x，x，则m=(x+x)为负整数. 一定是完全平方数 设（为正整数） 即：m+2+km+2-k,且奇偶性相同 或解得m=10（舍去）或m=5。当m=5时 ，原方程为x-5x+6=0，两根分别为x=2，x=3。2.利用求根公式例3.（2000年全国联赛）设关于x的二次方程的两根都是整数，求满足条件的所有实数k的值。解： 由求根公式得即 由于x-1，则有两式相减，得 即 由于x，x是整数，故可求得或或分别代入，易得k=，6，3。3.利用方程根的定义例4.当b为何值时，方程 和有相同的整数根？并且求出它们的整数根？解：两式相减，整理得(2-b)x=(2-b)(1+b) 当b2时,x=1+b,代入第一个方程,得 解得b=1,x=2当b=2时,两方程无整数根. b=1,相同的整数根是24.利用因式分解例5.（2000年全国竞赛题）已知关于x的方程的根都是整数，那么符合条件的整数a有_个.解: 当a=1时,x=1 当a1时,原方程左边因式分解,得 (x-1)(a-1)x+(a+1)=0即得 x是整数 1-a=1,2, a=-1,0,2,3 由上可知符合条件的整数有5个.例6.(1994年福州竞赛题) 当m是什么整数时,关于x的方程的两根都是整数?解：设方程的两整数根分别是x，x，由韦达定理得 由消去，可得则有 或解得： 或由此或0，分别代入，得或5.利用根与系数的关系例7.(1998年全国竞赛题) 求所有正实数a,使得方程仅有整数根.解：设方程的两整数根分别是x，x，且 由根与系数的关系得 由得 将代入得 显然 x4，故x可取5，6，7，8。 从而易得a=25，18，16。6.构造新方程例8.(1996年全国联赛)方程有两个整数根,求a的值.解：原方程变为 设y=x-8，则得新方程为 设它的两根为y，y，则 x是整数，y，y也是整数，则y，y只能分别为1，-1或-1，1 即y+y=0 a=8。7.构造等式例9.(2000年全国联赛C卷) 求所有的正整数a,b,c,使得关于x的方程所有的根都是正整数.解：设三个方程的正整数解分别为，则有 令x=1，并将三式相加，注意到x1（i=1，2，6），有但 a1，b1，c1，又有 3-（a+b+c）0， 3-（a+b+c）=0 故 a=b=c=18.分析等式例10.(1993年安徽竞赛题) n为正整数，方程有一个整数根，则n=_.解：设已知方程的整数根为，则整理得因为为整数，所以为整数也一定是整数，要使为整数，必有由此得，即解得n=3或-2（舍去） n=3。9.反客为主例11.(第三届祖冲之杯竞赛题)求出所有正整数a,使方程至少有一个整数根.解：由原方程知x2，不妨将方程整理成关于的一元一次方程得（因为是正整数）则得解得因此，x只能取-4，-3，-1，0，1，2。 分别代入a的表达式，故所求的正整数a是1，3，6，10。10.利用配方法例12. (第三届祖冲之杯竞赛题) 已知方程有两个不等的负整数根,则整数a的值是_.解：原方程可变为即得：当a-1=-1，-2，-3，-6，即a=0，-1，-2，-5时，x为负整数。但a=0时，x0； a=-5时,x=-1又a-1 a=-2。 11.利用奇偶分析例13.(1999年江苏第14届竞赛题)已知方程有两个质数根,则常数a=_.解：设方程的两个质数根为x，x( xx) 由根与系数的关系得x+x=1999. 显然 x=2,x=1997,于是a=21997=3994.12.利用反证法例14.不解方程,证明方程无整数根 证明:假设方程有两个整数根,则+=1997,=1997,由第二式知均为奇数,于是