2014高考数学理二轮专题突破文档：7.1坐标系与参数方程.doc

河北饶阳中学2014年数学理二轮复习专题来源:z,zs,第1讲坐标系与参数方程【高考考情解读】高考主要考查极坐标和直角坐标的互化、直线和圆的极坐标方程；参数方程与普通方程的互化，常见曲线的参数方程及参数方程的简单应用以极坐标、参数方程与普通方程的互化为主要考查形式，同时考查直线与曲线位置关系等解析几何知识1 直线的极坐标方程若直线过点M(0，0)，且极轴到此直线的角为，则它的方程为：sin()0sin(0)几个特殊位置的直线的极坐标方程(1)直线过极点：；(2)直线过点M(a,0)且垂直于极轴：cos a；(3)直线过M且平行于极轴：sin b.2 圆的极坐标方程若圆心为M(0，0)，半径为r的圆方程为：220cos(0)r20.几个特殊位置的圆的极坐标方程(1)圆心位于极点，半径为r：r；(2)圆心位于M(r,0)，半径为r：2rcos ；(3)圆心位于M，半径为r：2rsin .3 常见曲线的参数方程(1)圆x2y2r2的参数方程为(为参数)(2)圆(xx0)2(yy0)2r2的参数方程为(为参数)(3)椭圆1的参数方程为(为参数)来源:中|教|网z|z|s|tep(4)抛物线y22px的参数方程为(t为参数)(5)过定点P(x0，y0)的倾斜角为的直线的参数方程为(t为参数)4 直角坐标与极坐标的互化把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同的长度单位如图，设M是平面内的任意一点，它的直角坐标、极坐标分别为(x，y)和(，)，则，.考点一极坐标与直角坐标的互化例1在以O为极点的极坐标系中，直线l与曲线C的极坐标方程分别是cos()3和sin28cos ，直线l与曲线C交于点A、B，求线段AB的长解cos()cos cos sin sin cos sin 3，直线l对应的直角坐标方程为xy6.又sin28cos ，2sin28cos .曲线C对应的直角坐标方程是y28x.解方程组，得或，所以A(2，4)，B(18,12)，所以|AB|16.即线段AB的长为16. (1)在由点的直角坐标化为极坐标时，一定要注意点所在的象限和极角的范围，否则点的极坐标将不唯一来源:中&教&网z&z&s&tep(2)在与曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，要注意转化的等价性 (1)在极坐标系(，)(00)的一个交点在极轴上，则a_.答案(1)(，)(填(，)亦可)(2)解析(1)2sin 代入cos 1可得2sin cos 1，即2或2，解得或又(，)与(，)为同一点，故二者可以任填一个(2)将极坐标方程化为普通方程求解(cos sin )1，即cos sin 1对应的普通方程为xy10，a(a0)对应的普通方程为x2y2a2.在xy10中，令y0，得x.将代入x2y2a2得a.考点二参数方程与普通方程的互化例2(1)(2013陕西)如图，以过原点的直线的倾斜角为参数，则圆x2y2x0的参数方程为_答案(0)解析由题意得圆的标准方程为2y22，设圆与x轴的另一交点为Q，则Q(1,0)，设点P的坐标为(x，y)，则OPOQcos cos .(0)(2)已知直线l的参数方程为(t为参数)，P是椭圆y21上的任意一点，求点P到直线l的距离的最大值解由于直线l的参数方程为(t为参数)，来源:中。国教。育出。版网故直线l的普通方程为x2y0.因为P为椭圆y21上的任意一点，故可设P(2cos ，sin )，其中R.因此点P到直线l的距离是d.所以当k，kZ时，d取得最大值. (1)参数方程化为普通方程，主要用“消元法”消参，常用代入法、加减消元法、利用三角恒等式消元等在参数方程化为普通方程时，要注意保持同解变形(2)参数方程思想的应用，不仅有利于曲线方程的表达，也成为研究曲线性质的有力工具，如在求轨迹方程、求最值的问题中有广泛的应用 (1)(2013广东)已知曲线C的参数方程为(t为参数)，C在点(1,1)处的切线为l，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，则l的极坐标方程为_答案cos sin 20解析由(t为参数)，得曲线C的普通方程为x2y22.则在点(1,1)处的切线l的方程为y1(x1)，即xy20.又xcos ，ysin ，l的极坐标方程为cos sin 20.(2)(2013课标全国)已知动点P、Q都在曲线C：(t为参数)上，对应参数分别为t与t2(02)，M为PQ的中点求M的轨迹的参数方程；将M到坐标原点的距离d表示为的函数，并判断M的轨迹是否过坐标原点解依题意有P(2cos ，2sin )，Q(2cos 2，2sin 2)，因此M(cos cos 2，sin sin 2)M的轨迹的参数方程为(为参数，02)M点到坐标原点的距离d(0b0)，在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点O为极点，以x轴正半轴为极轴)中，直线l与圆O的极坐标方程分别为sin()m(m为非零常数)与b.若直线l经过椭圆C的焦点，且与圆O相切，则椭圆C的离心率为_答案解析椭圆C的标准方程为1，直线l的标准方程为xym，圆O的方程为x2y2b2，来源:中教网由题意知，a2b22b2，a23b2，e.(2)在平面直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴为极轴建立极坐标系，曲线C1的参数方程为(为参数)，曲线C2的极坐标方程为(cos sin )1，若曲线C1与C2相交于A、B两点求|AB|的值；求点M(1,2)到A、B两点的距离之积解由曲线C1的参数方程可得曲线C1的普通方程为yx2(x0)，由曲线C2的极坐标方程可得曲线C2的直角坐标方程为xy10，则曲线C2的参数方程为(t为参数)，将其代入曲线C1的普通方程得t2t20，设A、B两点对应的参数分别为t1、t2，则t1t2，t1t22，所以|AB|t1t2|.由可得|MA|MB|t1t2|2.1 解决直线、圆和圆锥曲线的有关问题，将极坐标方程化为直角坐标方程或将参数方程化为普通方程，有助于对方程所表示的曲线的认识，从而达到化陌生为熟悉的目的，这是化归与转化思想的应用在涉及圆、椭圆的有关最值问题时，若能将动点的坐标用参数表示出来，借助相应的参数方程，可以有效地简化运算，从而提高解题的速度2 极坐标方程与普通方程互化核心公式：，.3 过点A(0，0) ，倾斜角为的直线方程为sin()0sin(0)特别地，过点A(a,0)，垂直于极轴的直线l的极坐标方程为cos a.平行于极轴且过点A(b，)的直线l的极坐标方程为sin b.4 圆心在点A(0，0)，半径为r的圆的方程为r2220cos(0)5 重点掌握直线的参数方程(t为参数)，理解参数t的几何意义1 已知直线l的参数方程是(t为参数)，圆C的极坐标方程为4cos.来源:z_zs_(1)将圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)若圆上有且仅有三个点到直线l的距离为，求实数a的值解(1)由4cos，得4cos 4sin .即24cos 4sin .由得x2y24x4y0，得(x2)2(y2)28.所以圆C的直角坐标方程为(x2)2(y2)28.(2)直线l的参数方程可化为y2xa，则由圆的半径为2知，圆心(2，2)到直线y2xa的距离恰好为.所以，解得a6.2 已知极坐标系的极点在平面直角坐标系的原点O处，极轴与x轴的正半轴重合，且长度单位相同直线l的极坐标方程为，点P(1cos ，sin )，参数0,2)(1)求点P轨迹的直角坐标方程；(2)求点P到直线l距离的最大值解(1)由得点P的轨迹方程(x1)2y21.(2)由，得，sin cos 9.曲线C的直角坐标方程为xy9.圆(x1)2y21的圆心(1,0)到直线xy9的距离为4，所以|PQ|min41. (推荐时间：40分钟)一、填空题1 在直角坐标系xOy中，已知点C(3，)，若以O为极点，x轴的正半轴为极轴，则点C的极坐标(，)(0，0)可写为_来源:中&国教&育出&版网答案解析依题意知，2，.2 (2013湖南)在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为_答案4解析由消去参数s，得x2y1.由消去参数t，得2xaya.l1l2，a4.3 (2013陕西)圆锥曲线(t为参数)的焦点坐标是_答案(1,0)解析由y2t，得ty，代入xt2，得y24x，所以抛物线y24x的焦点为(1,0)4 (2013重庆)在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系若极坐标方程为cos 4的直线与曲线(t为参数)相交于A，B两点，则|AB|_.答案16解析将极坐标方程cos 4化为直角坐标方程得x4，将x4代入得t2，从而y8.所以A(4,8)，B(4，8)所以|AB|8(8)|16.5 在极坐标系中，已知圆2cos 与直线3cos 4sin a0相切，则实数a的值为_答案8或2解析将极坐标方程化为直角坐标方程，得圆的方程为x2y22x，即(x1)2y21，直线的方程为3x4ya0.由题设知，圆心(1,0)到直线的距离为1，即有1，来源:中。国教。育出。版网解得a8或a2.故a的值为8或2.二、解答题6 在极坐标系中，P是曲线12sin 上的动点，Q是曲线12cos上的动点，试求|PQ|的最大值解12sin ，212sin ，x2y212y0，即x2(y6)236.圆心坐标为(0,6)，半径为6.又12cos，212(cos cossin sin)，x2y26x6y0，(x3)2(y3)236，圆心坐标为(3，3)，半径为6.|PQ|max6618.7 已知曲线C1的极坐标方程为4sin ，曲线C2的极坐标方程为(R)，曲线C1，C2相交于点M，N.(1)将曲线C1，C2的极坐标方程化为直角坐标方程；(2)求线段MN的长解(1)由4sin ，得24sin ，即曲线C1的直角坐标方程为x2y24y0，由(R)得，曲线C2的直角坐标方程为yx.来源:中&国教&育出&版网(2)把yx代入x2y24y0，得x2x2x0，即x2x0，解得x10，x2，y10，y21.|MN|2.即线段MN的长为2.8 (2012课标全国)已知曲线C1的参数方程是(为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为.(1)求点A，B，C，D的直角坐标；(2)设P为C1上任意一点，求PA2PB2PC2PD2的取值范围解(1)由已知可得A，B，C，D，即A(1，)，B(，1)，C(1，)，D(，1)(2)设P(2cos ，3sin )，令SPA2PB2PC2PD2，则S16cos236sin2163220sin2.因为0sin21，所以S的取值范围是32,529 (2013辽宁)在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系圆C1，直线C2的极坐标方程分别为4sin ，cos2.(1)求C1与C2交点的极坐标；(2)设P为C1的圆心，Q为C1与C2交点连线的中点已知直线PQ的参数方程为(tR为参数)，求a，b的值来源:中教网解(1)圆C1的直角坐标方程为x2(y2)24，直线C2的直角坐标方程为xy40.解得所以C1与C2交点的极坐标为，注：极坐标系下点的表示不唯一(2)由(1)可得，P点与Q点的直角坐标分别为(0,2)，(1,3)故直线PQ的直角坐标方程为xy20，由参数方程可得yx1，所以解得a1，b2.10(2012辽宁)在直角坐标系xOy中，圆C1：x2y24，圆C2：(x2)2y24.(1)在以O为极点，x轴正