方向导数与梯度.ppt

第八章 第九节 一 方向导数 机动目录上页下页返回结束 二 梯度 三 物理意义 方向导数与梯度 一 方向导数 定义 若函数 即 为函数在点P处沿方向l的方向导数 记作 在点 某邻域有定义 沿方向l作L射线 设 机动目录上页下页返回结束 从点P出发 为L任意点 记 称极限 注 与偏导数的区别与联系 恒大于零 可正可负 沿x轴有两个方向 x轴正向和负向 用 分别表示f函数沿x轴正向和负向的方向导数则 为函数对x右偏导数 等函数对x左偏导数的相反数 故若函数的 存在 则 均存在 且 故 若 则 存在 例 在 0 0 但存在 情况 均存在不能得出 存在 故由 定理 则函数在该点沿任意方向l的方向导数存在 证明 由函数 且有 在点P可微 得 机动目录上页下页返回结束 故 机动目录上页下页返回结束 对于二元函数 为 的方向导数为 向角 推论 则函数在该点沿方向l的反方向 l方向导数满足 例1 求函数 在点P 1 1 1 沿向量 3 的方向导数 机动目录上页下页返回结束 例2 求函数 在点P 2 3 沿曲线 朝x增大方向的方向导数 解 将已知曲线用参数方程表示为 它在点P的切向量为 机动目录上页下页返回结束 例3 设 是曲面 在点P 1 1 1 处 指向外侧的法向量 解 方向余弦为 而 同理得 方向 的方向导数 在点P处沿 求函数 机动目录上页下页返回结束 二 梯度 机动目录上页下页返回结束 函数在一点沿不同方向变化率即方向导数一般不同 一个具有重要意义的问题是函数沿那个方向方向导数最大 最大值为多少 作向量 由向量可以决定义一个方向 我们可以考察沿向量 的方向导数 由方向导数公式 这说明向量 方向 f变化率最大的方向 模 f的最大变化率之值 方向导数取最大值 机动目录上页下页返回结束 对任意方向 沿l方向的方向导数为 在l的投影 具有重要的意义 1 定义 即 同样可定义二元函数 称为函数f P 在点P处的梯度 记作 gradient 在点 处的梯度 机动目录上页下页返回结束 向量 注 函数f的梯度是一个向量 其 方向为函数值增加最快的方向 其值为梯度的模 函数减少最快的方向为 即 函数的方向导数为梯度在该方向上的投影 即 函数在一点的梯度垂直于该点等值面 或等值线 机动目录上页下页返回结束 称为函数f的等值线 则L 上点P处的法向量为 同样 对应函数 有等值面 等量面 当各偏导数不同时为零时 其上 点P处的法向量为 指向函数增大的方向 梯度的基本运算公式 机动目录上页下页返回结束 例4 证 试证 机动目录上页下页返回结束 例 求 的梯度 例 求 在 0 0 0 处的最大方向导数 例7 求 在 1 0 1 处沿 1 0 1 到点 2 1 2 的方向的方向导数 三 物理意义 函数 数量场 数性函数 场 向量场 矢性函数 可微函数 梯度场 势 如 温度场 电位场等 如 力场 速度场等 向量场 注意 任意一个向量场不一定是梯度场 机动目录上页下页返回结束 例5 已知位于坐标原点的点电荷q在任意点 试证 证 利用例4的结果 这说明场强 处所产生的电位为 垂直于等位面 且指向电位减少的方向 机动目录上页下页返回结束 内容小结 1 方向导数 三元函数 在点 沿方向l 方向角 的方向导数为 二元函数 在点 的方向导数为 沿方向l 方向角为 机动目录上页下页返回结束 2 梯度 三元函数 在点 处的梯度为 二元函数 在点 处的梯度为 3 关系 方向导数存在 偏导数存在 可微 机动目录上页下页返回结束 思考与练习 1 设函数 1 求函数在点M 1 1 1 处沿曲线 在该点切线方向的方向导数 2 求函数在M 1 1 1 处的梯度与 1 中切线方向 的夹角 2 P73题16 机动目录上页下页返回结束 曲线 1 1 在点 解答提示 机动目录上页下页返回结束 M 1 1 1 处切线的方向向量 机动目录上页下页返回结束 2 P73题16 备用题1 函数 在点 处的梯度 解 则 注意x y z