2015年上海市虹口区高考数学二模试卷(理科)配套款后附答案解析.doc

2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）1、 填空题（本大题满分56分）本大题共14题，只要求在答题纸相应题号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。1. 计算：= .（是虚数单位）2. 已知函数，则=_.3. 函数，的反函数=_.4.已知正实数，满足，则的最小值为_ _.5.已知复数（是虚数单位），且，且当为钝角时，=_.6. 在上海高考改革方案中，要求每位高中生必须在物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科（3门理科学科，3门文科学科）中选择3门学科参加等级考试，小丁同学理科成绩较好，决定至少选择两门理科学科，那么小丁同学的选课方案有_种.7. 设数列的前项的和为，若，且，则=_.8. 在极坐标系中，过点且与圆相切的直线的方程为_.9. 若二项式展开式中含项的系数为，则=_.10.若行列式的第1行第2列的元素1的代数余子式为-1，则实数的取值集合为_.11.如图所示，已知，为双曲线的两个焦点，且，若以坐标原点为圆心，为直径的圆与该双曲线的左支相交于，两点，且为正三角形，且双曲线的实轴长为_.12. 随机变量的分布列如下： -101其中，、成等差数列，若，则的值是_. 13. 已知向量，满足，且，则的最小值为_.14.若是定义在上的奇函数，且对任意的实数，总有正常数，使得成立，则称具有“性质”，已知函数具有“性质”，且在上，；若当时，函数恰有8个零点，则实数=_.2、 选择题（本题共4题，满分20分）每题只有一个正确答案，考生在答题纸的相应题号上，将所选答案的代号涂黑，选对得5分，否则一律零分。15. 设全集，已知，则=（）A. B. C. D.16. 设，则“”是“在上单调递增”的（） A. 充要条件 B.既不充分也不必要条件 C.充分不必要条件 D.必要不充分条件 17. 如图所示，所在平面和四边形所在的平面互相垂直，且，,若,则动点在平面内的轨迹是（） A.线段 B.椭圆的一部分 C.抛物线 D.双曲线的一部分 18. 为抛物线的焦点，为抛物线上三点，为坐标原点，若是的重心，的面积分别为，则的值为（） A.3 B.4 C.6 D.93、 解答题（本大题共5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸的规定区域内写出必要的步骤。19. 函数（且）的图像过点和。（I）求函数的解析式；（II）令，求的最小值及取得最小值时的值。20. 在如图所示的几何体中，四边形为矩形，四边形为直角梯形，且，平面平面，,。（1） 若为的中点，求证：平面;（2） 求平面与平面所成的锐二面角的大小。21. 如图，经过村庄有两条夹角为公路,，根据规划拟在两条公路之间的区域内建一工厂，分别在两条公路边上建两个仓库,（异于村庄），要求（单位：千米）。记。（1） 将，用含的关系式表示出来；（2） 如何设计（即，为多长时），使得工厂产生的噪声对居民的影响最小（即工厂与村庄的距离最大）？22. 已知圆:,点，点在圆上运动，的垂直平分线交于点。（1） 求动点的轨迹的方程；（2） 设，分别是曲线上的两个不同点，且点在第一象限，点在第三象限，若,为坐标原点，求直线的斜率；（3） 过点的动直线交曲线于,两点，在轴上是否存在定点，使以为直径的圆恒过这个点？若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由。23. 已知数列满足：,且，设。（1） 求数列的通项公式；（2） 在数列中，是否存在连续三项构成等差数列？若存在，求出所有符合条件的项，若不存在，请说明理由。（3） 试证明：在数列中，一定存在正整数、，使得、构成等差数列，并求出、之间的关系。 2015年上海市虹口区高考数学二模试卷（理科）答案1、【考点】复数代数形式的乘除运算；虚数单位及其性质。 【专题】数系的扩充和复数。 【分析】由虚数单位的运算性质化简，然后利用复数代数形式的乘除运算化简求值。 【解答】解：。 故答案为：。 【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，是基础的计算题。2、【考点】函数的值。 【专题】计算题；函数的性质及应用。 【分析】由分段函数，先求，再求即可。 【解答】解：函数， ， ， 故答案为：。 【点评】本题考查了分段函数的简单应用，属于基础题。3、【考点】反函数； 【专题】函数的性质及应用； 【分析】直接利用反函数的求法求解即可。 【解答】解：函数，。 ，解得， 函数，的反函数=_，。 故答案为：=_，。 【点评】本题考查反函数与原函数的关系，考查计算能力，注意函数的定义域。4、【考点】基本不等式。 【专题】导数的综合应用。 【分析】正实数，满足，可得，解得。 于是，利用导数研究单调性极值即可得出。 【解答】解：正实数，满足，解得。 则， ， 当时，此时函数单调递减；当时， ，此时函数单调递增。 当，时，函数取得极小值即最小值，。 故答案为：7. 【点评】本题考查了利用导数研究单调性极值与最值，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。5、【考点】复数求模。 【专题】三角函数的求值；数系的扩充和复数。 【分析】直接利用复数的模，得到的三角方程，然后求解即可。 【解答】解：复数（是虚数单位），且， 可得， 可得，当为钝角时， 。 故答案为：。 【点评】本题考查复数的模以及三角函数的化简求值，考查计算能力。6、【考点】计数原理的应用。 【专题】应用题；排列组合。 【分析】分类讨论；选择两门理科学科，一门文科学科；选择三门理科学科，即可得出结论。 【解答】解：选择两门理科学科，一门文科学科，有种；选择三门理科学科，有1种，共有10种。 故答案为：10。 【点评】本题考查计数原理的应用，考查学生的计算能力，比较基础。7、【考点】数列的求和；数列递推式。 【专题】等差数列与等比数列。 【分析】，变形为，再利用等比数列的通项公式即可得出。 【解答】解：， ，化为， 数列是等比数列，首项为4，公比为4。 。 故答案为：。 【点评】本题考查了递推式的应用、等比数列的通项公式，考查了推理能力与 计算能力，属于中档题。8、【考点】简单曲线的极坐标方程。【专题】坐标系和系数方程。【分析】分别把极坐标方程化为直角坐标方程，利用直线与圆相切的性质可得切线的斜率，即可得出。【解答】解：点化为， 圆化为，化为 。 设与圆相切的直线的方程为，即， 则，解得。 切线方程为。 化为极坐标方程为：。 故答案为：。【点评】本题考查了把极坐标方程化为直角方程、直线与圆相切的性质、点到直 线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题。9、【考点】极限及其运算；二项式系数的性质。 【专题】计算题；二项式定理。 【分析】根据二项式展开式的通项公式求出展开式中含项的系数， 得出的值；再计算的值。【解答】解：二项式展开式的通项公式为 ， 令， 解得； 展开式中含项的系数为 ， 解得； 。 故答案为：。【点评】本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了数列求和的应用问题以及极限的计算问题，是基础题目。10、【考点】三阶矩阵。【专题】三角函数的求值；矩阵和变换。【分析】本题直接根据行列式的代数余子式的定义进行计算，即可得到本题结论。【解答】解：行列式的第1行第2列的元素1的代数余子 式为-1， ， ， ， 即， ， 故答案为：。【点评】本题考查了行列式的代数余子式，三角函数的计算，记住常用常见角的三角函数值是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题。11、【考点】双曲线的简单性质。【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程。【分析】根据是等边三角形，判断出，进而在中求得，进而根据双曲线的简单性质求得可得。【解答】解：是等边三角形， ， ， ， 。 故答案为：。【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质，考查了学生综合分析问题和数形结合的思想的运用，属基础题。12、【考点】离散型随机变量的期望与方差。【专题】计算题。【分析】要求这组数据的方差，需要先求出分布列中变量的概率，这里有三个条件，一个是三个数成等差数列，一个是概率之和是1，一个是这组数据的期望，联立方程解出结果。【解答】解：、成等差数列， ， ， 。 联立三式得， 。 故答案为：。【点评】这是一个综合题目，包括等差数列，离散型随机变量的期望和方差，主要考查分布列和期望的简单应用，通过解方程组得到要求的变量，这与求变量的期望是一个相反的过程，但是两者都是要用到期望的公式。13、【考点】平面向量数量积的运算。【专题】平面向量及应用。【分析】可设，根据已知条件容易判断出为等边三角形，且边长为2，而点在以为直径的圆上，延长到，使，这样即可得到。而，连接和圆心，设点使与圆的交点，从而便是的最小值，而由余弦定理可求出，而圆半径为1，从而能得出的值。【解答】解：由已知条件知：； ； 设，； ； ； 点在以为直径的圆上，如下图所示： 延长到，使，连接； 则，； 设圆心为，连接点和圆心，设与圆交点为，则便是的最小值；由上面知为等边三角形，边长为2；，；在中由余弦定理得；的最小值为。 故答案为：。【点评】考查数量积的计算公式，向量夹角的范围，两向量垂直的充要条件，直径所对圆周角为直角，以及余弦定理，圆外一点到圆的最近距离。14、【考点】函数零点的判定定理。【专题】计算题；作图题；函数的性质及应用；导数的综合应用。【分析】由题意可得，从而求出，再作函数与在上的图象，由数形结合求解即可。【解答】解：， ， 解得，或（舍去）； 故作函数与在上的图象如下， 结合图像可知， 当直线与在最后一段上相切时，有8个交点， 即函数恰有8个零点； 此时设切点为，则 ， 即 ， 解得， 故。 故答案为：。【点评】本题考查了数形结合的思想应用及导数的综合应用，属于中档题。15、【考点】交、并、补集的混合运算。【专题】集合。【分析】求出集合，的等价条件，根据集合的基本运算进行求解即可。【解答】解：或 ， 则， ， 故选：。【点评】本题主要考查集合的基本运算，比价基础。16、【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断。【专题】简易逻辑。【分析】根据二次函数的性质结合充分必要条件的定义进行判断即可。【解答】解：若， 则， 如图示： 在单调递增。 “”是“在上单调递增”的充分条件； 若在上单调递增， 时，在递增，在递减，在递增， 时，在单调递增， 在上单调递增推不出，不是必要条件， 故选：。【点评】本题考查了充分必要条件，考查二次函数的性质，是一道中档题。17、【考点】轨迹方程。【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程。【分析】由，以及，可得，根据双曲线的定义做出判断。【解答】解：由题意得，和均为直角三角形，且， 。 ， 故动点在平面内的轨迹是以、为焦点的双曲线的一支， 故选：。【点评】本题考查双曲线的定义，直角三角形的边角关系，得到 是解题的关键。18、【考点】抛物线的简单性质。【专题】计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程。【分析】设、三点的坐标分别为，结合抛物 线方程可得，再由三角形重心坐标公式，得到 ，进而得到的值。【解答】解：设、三点的坐标分别为，则 抛物线的焦点的坐标为 ， ， 、在抛物线上， ， 由此可得， 点是的重心， ，可得 因此。 故选：。 【点评】本题给出抛物线的内接三角形以抛物线焦点为重心，求三个三角形面积 的平方和。着重考查了三角形的重心公式、抛物线的基本概念和简单性 质等知识，属于中档题。19、【考点】函数解析式的求解及常用方法；基本不等式。【专题】综合题。【分析】（1）根据题意，将点的坐标代入即可；（2）先求出的表达式，观察到函数是复合函数，故应该先研究真数的范围再利用对数函数的单调性求出最值。【解答】解：（I）由得， 解得，故函数解析式为， （II） ， 其中， 因为 当且仅当即时，“”成立， 而函数在上单调递增，则 ， 故当时，函数取得最小值1。【点评】该题目第一问是送分的。第二问比较有难度，解题时应该注意复合函数的最值拆分开来求：本题先分离常数利用基本不等式求真数的范围，利用对数函数的单调性求出最值。20、【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面平行的判定。【专题】空间位置关系与距离；空间角。【分析】（1）连接交于点，连接，通过中位线定理可得结论； （2）以为原点，以、所在直线分别为、轴建立 坐标系，则所求二面角即为平面的一个法向量与平面的一 个法向量的夹角，计算即可。（1） 证明：连接交于点，连接， 四边形为矩形，为的中点， 又为的中点，为的中位线， ， ;（2） 解：，平面平面， 、两两垂直， 如图，以为原点，以、所在直线分别为、轴 建立坐标系， ， ， ， 设平面的一个法向量， 由，得， 令，得，又为平面的一个法向量， ， 平面与平面所成的锐二面角的大小为。【点评】本题考查空间线面位置关系的判断及求二面角，考查空间想象能力、运算求解能力及推理论证能力，注意解题方法的积累，属于中档题。21、【考点】在实际问题中建立三角函数模型。【专题】解三角形。【分析】（1）根据正弦定理，即可用表示出，； （2）设，根据三角函数的公式，以及辅助角公式即可化简 ；根据三角函数的图象和性质，即可求出函数的最值。【解答】解：（1），在中，由正弦定理得： 所以，。（2） ，（其中利用诱导公式可知 ） 当且仅当，即时，工厂产生的噪声对居民的影 响最小，此时。 故答案为（1），。 （2）时，工厂产生的噪声对居民的影响最小。【点评】本题主要考查了与三角函数有关的应用问题，利用正弦定理以及三角函数的三角公式是解决本题的关键。22、【考点】直线与圆锥曲线的综合问题。【专题】圆锥曲线中的最值与范围问题。【分析】（1）如图所示，由，可得动点的轨迹为椭圆，设标准方程为，即可得出。（2） 设，由，可得，。把，代入椭圆方程可得，又，联立解得即可得出。（3） 假设在轴上存在定点，使以为直径的圆恒过这个点，设直线的方程为，与椭圆方程联立可得根与系数的关系，代入上式，解出即可。【解答】（1）如图所示，动点的轨迹为椭圆，设标准方程为，方程为。（2） 设， ， ，代入椭圆方程可得， 又，联立解得，。 。（3） 假设在轴上存在定点