5第五章作业.doc

静电场作业一、如图5-54所示，一根细橡胶棒被弯成半径为R的半圆形，沿其左半部分均匀分布有电荷+Q，沿其右半部分均匀分布有电荷Q。试求圆心O处的电场强度。qxO图5-54yR【答案：】解：如图所示，在半圆环的左半部分取元电荷ldl，在右半部分对称位置处也取一个元电荷-ldl，它们在O点产生的电场强度大小相等，均为这两个电场强度的方向不同，将它们都沿着坐标轴方向进行分解，它们的y分量互相抵消，x分量互相加强。其x分量为其中，因此对上式积分，即得圆心O处的电场强度大小为考虑到方向性，O处的电场强度可以写为四、如图5-57所示，一个无限长均匀带电的半圆柱面，半径为R，设半圆柱面沿轴线AB单位长度上的电荷为l，试求轴线上任一点的电场强度。qxOyR【答案：】解：上图是半圆柱面的俯视图，建立如图所示的坐标系。将半圆柱面划分成许多微分条。dl宽的微分条的电荷线密度为在q位置处取任一微分条，它在轴线上一点产生的场强大小为 将这个微分电场强度沿着坐标轴方向进行分解，考虑到对称性。其x分量一一抵消，y分量互相加强。其y分量为对上式积分，得轴线上任一点电场强度的大小为考虑到方向性，轴线上任一点的电场强度可以写为sROrP五、如图5-58所示，一个电荷面密度为s的无限大平面，在距离平面r处的P点的场强大小的四分之一是由平面上的一个半径为R的圆面积范围内的电荷所产生的。试求该圆半径的大小。【答案：】解：电荷面密度为s的无限大均匀带电平面在任意点产生的场强大小为半径为R的圆平面在其轴线上距圆心为r处的P点产生的场强大小为 由题意可得，即由上式解得该圆半径为八、图5-61所示的是一个厚度为a的无限大均匀带电平板，其电荷体密度为r。设坐标原点O在带电平板的中央平面上，坐标轴垂直于平板。试求板内、板外的场强分布，并画出场强随r的变化图线。【答案：当ra/2时,】解：由电荷分布的对称性可知，在中心平面两侧离中心平面距离相等处场强均沿x轴，大小相等而方向相反。如图所示，在板内作底面为S的高斯柱面（右图中板的厚度被放大了）, 两底面距离中心平面均为, 通过该高斯面的电通量为由高斯定理得 解之得 当时，该区域的场强大小为考虑到方向性，上式可以写为rEOa/2-a/2当时，该区域的场强大小为考虑到方向性，上式可以写为场强随r的变化图线如图所示。九、一个半径为R的带电球体，其电荷体密度分布为 r =kr2 (rR) ， r =0 (rR)其中k为常量。试求球内、球外的场强分布。 【答案：当rR时,; 当rR时,】解：作半径为r，与带电球体同心的球形高斯面，通过该高斯面的电通量为由高斯定理得 解之得 为求高斯面包围的电量，在高斯面内作与高斯面同心的半径为a、厚度为da微分球壳，其内包含的电量为当rR 时，高斯面内包围的电量为该区域的场强分布为 当rR 时，高斯面内包围的电量为该区域的场强分布为 球内、球外的场强方向均沿径向，当k0时向外，kh时，E0，当x0时，ER时, 当时，E0，当时，Eh时，电场强度的方向沿x轴正方向，当xR时,，】解：(1)作半径为r、长度为l、与无限长圆柱形带电体同心的柱形高斯面，通过该高斯面的电通量为由高斯定理得 解之得 为求高斯面包围的电量，在高斯面内作与高斯面同轴的长度为l、半径为a、厚度为da微分柱面。当rR 时，高斯面内包围的电量为该区域的场强分布为当rR 时，高斯面内包围的电量为该区域的场强分布为(2)利用电势定义式，由题意得圆柱体内的各点（rR）的电势分布为圆柱体外的各点（rR）的电势分布为十三、有8个完全相同的球状小水滴，它们表面都均匀地分布着等量、同号的电荷。如果将它们聚集成一个球状的大水滴，设在水滴聚集的过程中总电荷没有损失，电荷也是均匀分布在大水滴的表面。则大水滴的电势是小水滴电势的多少倍？ 【答案：4】解：设小水滴的半径为r、电荷q；大水滴的半径为R、电荷为Q8q。8个小水滴聚成大水滴时体积保持不变，因此 解之得小水滴的电势为大水滴的电势为即大水滴的电势是小水滴电势的4倍。十四、电荷以相同的面密度s 分布在半径为0.2m和0.4m的两个同心球面上。设无限远处电势为零，球心处的电势为U0600V。(1) 求电荷面密度s； (2) 如果要使球心处的电势为零，外球面上应放掉多少电荷？ 【答案：；】解： (1) 球心处的电势为两个同心带电球面各自在球心处产生的电势的叠加，即由此解得电荷面密度s为 (2) 为使球心处的电势为零，设外球面上放电后电荷面密度为，则应有 解之得 因此，外球面上应放掉的电荷为将代入上式得bacmM图5-64 十六、如图5-64所示，一个半径为R、质量为M的半球形光滑绝缘槽放在光滑水平面上，匀强电场的方向竖直向上。一个质量为m、带电量为q的小球从槽的顶点a处由静止释放。已知质点受到的重力大于其所受电场力，如果忽略空气阻力，求 (1) 小球由顶点a滑到槽最低点b时相对地面的速度； (2) 小球通过b点时，槽相对地面的速度； (3) 小球通过b点后，能不能再上升到右端最高点c处？【答案：；可以】解： 设小球滑到b点时相对地的速度为u，槽相对地的速度为V。小球从ab的过程中，球、槽组成的系统在水平方向上动量守恒， 即由动能定理得以上两式联立解得方向水平向左。方向水平向右。由于系统运动过程中没有非保守力做功，因此小球通过b点后，可以再上升到右端最高点c处。十九、某真空二极管的主要构件是一个半径R10.5mm的圆柱形阴极M和一个套在阴极外的半径R24.5m m的同轴圆筒形阳极N，如图5-66所示。测得阳极电势比阴极高300V，在忽略边缘效应的情况下， 求电子刚从阴极M射出时所受到的电场力。 【答案：；】MR2图5-66R1N解：与阴极同轴作半径为r (R1rR2 )的单位长度圆柱形高斯面，设阴极上的电荷线密度为l。按高斯定理有因此 电场强度的方向沿半径指向轴线。两极之间的电势差为由此解得 因此两极之间的电场强度大小为在阴极表面处的电子受到的电场力大小为电场力的方向沿半径指向阳极N。 二十、如图5-67所示，一个半径为R的均匀带电细圆环的总电荷为Q。设无限远处为电势零点，试求圆环轴线上距离圆心O为x处P点的电势，并利用电势梯度求该点场强。 ROQPx图5-67x【答案：；】解：在圆环上取电荷元dq，该电荷元在P点产生的电势为带电圆环在P点产生的电势为P点的电场强度为二十二、如图5-59所示，一个半径为R的球冠对球心的张角为2a，该球冠面上均匀带电，其电荷面密度为s。设无限远处为电势零点，试求其轴线上与球心O相距为h(hR)处P点的电势，并利用电势梯度求该点的场强。 hPRxaqdqOO2ahPR图5-69