高中数学一轮复习：三角形与三角函数.doc

三角形与三角函数一、高考要求在高考试题中，有关解三角形的内容并不多，出现的有关试题大多属于容易题，最高到中档题，主要考察正弦定理余弦定理及利用三角公式进行恒等变形的技能及运算能力，以化简、求值或判断三角形的形状为主，考察有关定理的应用、三角恒等变换的能力及转化的数学思想二、两点解读重点：能充分应用三角形的性质及有关的三角函数公式证明三角形的边角关系式能合理地选用正弦定理余弦定理结合三角形的性质解斜三角形能解决与三角形有关的实际问题难点：根据已知条件判定解的情形，并正确求解将实际问题转化为解斜三角形三、课前训练1给出下列4个命题：若sin2A=sin2B，则ABC是等腰三角形；若sinA=cosB，则ABC是直角三角形；若cosAcosBcosC0，则ABC是钝角三角形；若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则ABC是等边三角形 其中正确的命题是 ( ) （A） （B） （C） （D） 2已知ABC中，a10， A45，则B等于 ( ) （A）60 （B）120 （C）30 （D）60或1203在中，若，AB=5，BC=7，则AC=_4的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且， 一、 典型例题例1 在ABC中，如果(abc)(bca)3bc，则A等于 ( )（A）150 （B）120 （C）60 (D）30例2 在ABC中，若 sinA，则A 例3 ABC中，若b2a，BA60，则A 例4 在中，求tanA的值和ABC的面积例5 若中，a，b，c分别是的对边,且（）求；（）若，的面积为，求b+c的值例6 锐角中，角所对的边分别为，已知，（）求的值；（）若，求的值三角形与三角函数 过关练习1在ABC中，若，则ABC是 ( )（A）等腰三角形 （B）直角三角形（C）等边三角形 （D）等腰直角三角形2 若的内角满足，则 （ ）（A） （B） （C） （D）3已知等腰的腰为底的2倍，则顶角的正切值是 （ ）（A） （B） （C） （D）4在中，分别为 ， 边所对的角，若 成等差数列，则角的范围是 （ ）（A）0B （B）0B （C）0B （D) B5已知ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB1，BC4，则边BC上的中线AD的长为 6在ABC中，A，B，C所对的边长分别为a，b，c若sinA:sinB:sinC=5:7:8，则a:b:c= ， B的大小是 7的三个内角为，求当A为何值时，取得最大值，并求出这个最大值8在ABC中， A、B、C成等差数列，b1，求证：1ac2巩固练习：1 给出四个命题 (1)若sin2A=sin2B，则ABC为等腰三角形；(2)若sinA=cosB，则ABC为直角三角形；(3)若sin2A+sin2B+sin2C2，则ABC为钝角三角形；(4)若cos(AB)cos(BC)cos(CA)=1，则ABC为正三角形 以上正确命题的个数是( )A 1 B 2 C 3 D 42 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为_ 3 在ABC中，A为最小角，C为最大角，已知cos(2A+C)=，sinB=，则cos2(B+C)=_ 4 已知圆内接四边形ABCD的边长分别为AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四边形ABCD的面积 5 如右图，在半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角的正弦成正比，角和这一点到光源的距离 r的平方成反比，即I=k，其中 k是一个和灯光强度有关的常数，那么怎样选择电灯悬挂的高度h，才能使桌子边缘处最亮？6 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边， (1)求角A的度数；(2)若a=，b+c=3，求b和c的值 7 在ABC中，A、B、C所对的边分别为a、b、c，且a、b、3c成等比数列，又AC=，试求A、B、C的值 8 在正三角形ABC的边AB、AC上分别取D、E两点，使沿线段DE折叠三角形时，顶点A正好落在边BC上，在这种情况下，若要使AD最小，求ADAB的值 第17讲 三角形与三角函数 参考答案课前训练部分1B 2.D 3.3 4.3/4典型例题部分例1 . C.由(abc)(bca)3bc得(bc)2a23bc,b2c2a2bc， .例2. 60. 2sin2A3cosA，2（1cos2A）3cosA，（2cosA1）（cosA2）0，cosA2 （舍）, cosA，A60.A60例3 30.由b2a得sinB2sinA，又BA60,sin(A60)2sinAsinAcos60cosAsin602sinA,sinAcosA，,又0A180，A30例4先解三角方程，求出角A的值 又, 例5. （）由得：，可得：，. （） ，.例6（）因为锐角ABC中，ABCp，所以cosA，则（），则bc3。将a2，cosA，c代入余弦定理：中得解得b 过关练习部分1A 2A 3D 4B 5 65:7:8 ， 例7. 由A+B+C=, 得 = , 所以有cos =sin .cosA+2cos =cosA+2sin =12sin2 + 2sin =2(sin )2+ ,当sin = , 即A=时, cosA+2cos取得最大值为.例8 要证1ac2, 只需求ac的取值范围,而已知B60，AC120，故可用正弦定理把ac转化成用A、C表示，b1，B60，也可由余弦定理转化出关于ac的等量关系式证法一:由正弦定理：得sinAsin(120A)2sin(A30)0A120，30A3015012sin(A30)2证法二 B60，b1,a2c2b22accos60 a2c21ac，a2c2ac1,(ac)23(ac)24 (ac)243(ac)2,0ac1 03(ac)23,43(ac)24 即(ac)24,ac2， 又ac1 1ac2.参考答案 1 解析 其中(3）(4）正确 答案 B2 解析 A+B+C=，A+C=2B，答案 3 解析 A为最小角2A+C=A+A+CA+B+C=180 cos(2A+C)=，sin(2A+C)= C为最大角，B为锐角，又sinB= 故cosB= 即sin(A+C)=，cos(A+C)= cos(B+C)=cosA=cos(2A+C)(A+C)=，cos2(B+C)=2cos2(B+C)1= 答案 4 解 如图 连结BD，则有四边形ABCD的面积 S=SABD+SCDB=ABADsinA+BCCDsinCA+C=180，sinA=sinC故S=(ABAD+BCCD)sinA=(24+64)sinA=16sinA由余弦定理，在ABD中，BD2=AB2+AD22ABADcosA=2016cosA在CDB中，BD2=CB2+CD22CBCDcosC=5248cosC2016cosA=5248cosC，cosC=cosA，64cosA=32，cosA=，又0A180，A=120故S=16sin120=8 5 解 R=rcos，由此得 ，7 解 由a、b、3c成等比数列，得 b2=3acsin2B=3sinCsinA=3()cos(A+C)cos(AC)B=(A+C) sin2(A+C)=cos(A+C)cos即1cos2(A+C)=cos(A+C)，解得cos(A+C)= 0A+C，A+C= 又AC=A=，B=，C= 8 解 按题意，设折叠后A点落在边BC上改称