在恒定弱电场中一维线性谐振子能级的计算.doc

第 27 卷 第 3 期2010 年 6 月吉林化工学院学报JOURNAL O F J IL IN IN STITU TE O F CHEM ICAL TECHNOLO GYVo l. 27 No. 3Jun. 2010文章编号 : 100722853 ( 2010 ) 03 20084203在恒定弱电场中一维线性谐振子能级的计算邢淑芝 1 ,谷开慧 1 ,解玉鹏 2( 1. 长春理工大学 光电信息学院 ,吉林 长春 130012; 2. 吉林化工学院 理学院 ,吉林 吉林 132022 )摘要 : 线性谐振子在量子力学中占有重要的地位 ,许多体系都可以近似地看做是线性谐振子 . 因此 ,对线性谐振子的研究具有重要意义 . 本文分别用配方法 、微扰法求解出一维线性谐振子在恒定弱电场中的 能量本征值 ,给出了求解在恒定弱电场中一维线性谐振子能级的两种典型方法 .关 键 词 : 一维线性谐振子 ;能量本征值 ;微扰中图分类号 : O 413. 1文献标识码 : A在量子力学中线性谐振子是一个典型的物理模型 ,对于谐振子的求解十分重要的 . 一般教材 1 23 中给出的只是理想的一维线性谐振子的能量本征值的求解 ,本文将介绍两种在恒定弱电场中的一维线性 谐振子的能量本征值的求解方法 .理想一维线性谐振子的哈密顿算符为 :2 d2 10 = - 2dx2 + 2 x , 2 2( 1 )则体系的定态薛定谔方程 (即能量本征方程 )为 :2 2 d12 x2 ) ( x ) = E ( x ) ,( -+ 2( 2 )2dx2 ( x )为体系的波函数 , E 为能量本征值. 利用级数展开的方法求得本征解 1 23 为 : 10En = ( n + 2 ) , n = 0, 1, 2,( 3 ) 12 a2x2本征函数 :0 ( x ) = Ne -H (x ) = | n , N =, =.( 4 )2 1nnnn2 22 n !其本征波函数具有如下性质 :n | n - 1 +n + 1 | n + 1 ,x | n =( 5 )22d | n =n | n - 1 -n + 1 | n + 1 .( 6 )dx22当一维线性谐振子在恒定弱电场 中时 , 假定电场沿正 x方向 , 则体系的哈密顿算符为2 2 h d 1 = 0 + = -2 2+ x - qx,( 7 )2dx222 d2 12 2其中 , 0 = -+ x , = - qx,2dx22下面分别利用配方法 、微扰法来计算一维线性谐振子在恒定弱电场 中的能级 .1 配方法在恒定弱电场 中 , 一维线性谐振子的定态薛定谔方程为收稿日期 : 2010204228作者简介 :邢淑芝 ( 19792) ,女 ,吉林长春人 ,长春理工大学助教 ,硕士 ,主要从事凝聚态物理方面的研究 .12 2( - d 12 2 x - qx )( x ) = E( x ) ,+ 22dx2配方得 :2 22 2 - d 1 q q 22+ 2( x -)-( x ) = E( x ) .2dx2222令 x = x - q , 并整理得2 2 2 22 d12 2q x ( x ) = ( E +)( x ) = E ( x ) .( -2dx2 + 222将上式与理想一维线性谐振子的定态薛定谔方程比较可得 1E n = ( n + 2 ) , n = 0, 1, 2,所以该体系的能量本征值为2 2q 1En = ( n + 2 ) - 22 , n = 0, 1, 2,2 微扰法由于考虑一维线性谐振子在恒定弱电场中的情况 , 所以可以用微扰理论来处理. 将哈密顿看做微扰项 , 0 为理想一维线性谐振子的哈密顿算符 . 0 所对应的本征值和本征函数在前出 , 根据其本征值和本征函数的一一对应关系 , 可知该问题属于非简并情况 , 下面来考虑微扰 的影响.根据非简并微扰理论可知能量的一级修正 1 为 :E1n = H nn =n | | n =n | - qx | n = - qn | x | n .根据理想一维线性谐振子本征函数的性质 , 得 :1 q n n + 1En = - n | n - 1 +n | n + 1 .22又因为本征波函数具有正交归一性 , 即1 (m = n ) ,0 (m n ) ,n |m =nm =所以1En = 0.微扰项的矩阵元为Hm n =m | | n = - qm | x | n = - q( n n + 1m | n - 1 +m | n + 1 )22= - q( n + 1 nm , n - 1 +2m , n + 1 )2= - q(n+n + 1) .m , n - 1m , n + 12将其代人能量的二级修正公式 1 , 则有2 | Hm n | 2=En.0 0m n En - Em n + 1 n=+.0E- E0nn + 1nn - 1因为一维线性谐振子的两相邻能级间隔是 w , 所以 :0 0E - Eq22286吉 林化 工 学院学 报2010 年2 22 2 q n + 1 q 2En =-+ = -2 .2( 19 )2综上所述 , 可知在弱电场 中的一维线性谐振子的能量为2 2 q 10 1 2En = En + En + En = ( n + 2 )( 20 )-, n = 0, 1, 2,223 结论通过以上两种方法的计算 , 可以得出如下结论 :( 1 ) 配方法和微扰法得到同一形式的能级公式 , 即 :2 2 1 q 0 1 2En = En + En + En = ( n + 2 )-, n = 0, 1, 2,22从公式可以看出 , 在弱电场中的一维线性谐振子的能级与量子数 n、弱电场强度 有关 , 但相邻能级间隔与 n 和 无关 , 即能级移动与谐振子的状态无关.22( 2 ) 从能级公式可知 , 在弱电场中的每一个能级都比无电场时的能级低 q, 即平衡点向右移动了22 q2 .( 3 ) 由于配方法是由定态薛定谔方程直接求解得到的 ,所以该方法得到的解是严格解 ;而微扰法是一种近似解法 ,故该方法得到的解称之为近似解. 对于本文所讨论的问题 ,利用上述两种方法得到了完 全相同的解 ,这是因为微扰法没有考虑高级近似 ,实际情况下 ,二者会稍有差异 .参考文献 : 1 周世勋 . 量子力学教程 M . 北京 :高等教育出版社 , 1979: 29234, 1182124. 2 井孝功 . 量子力学 M . 哈尔滨 :哈尔滨工业大学出版社 , 2004: 66 270. 3 曾谨言 . 量子力学 M . 北京 :科学技术出版社 , 1998: 76 280.Ca lcu la t ion of the en ergy leve l of on e2d im en s iona l l in ea rha rm on ic o sc illa tor in wea k e lec tr ic f ie ldX IN G Shu2zh i1 , GU Ka i2hu i1 , X IE Yu2p eng2( 1. Co llege of Op tica l & E lec trica l Info rm a tion, Changchun U n ive rsity of Sc ience and Techno logy, Changchun 130012, Ch ina; 2. Co llege of Sc ience s, J ilin In stitu te of Chem ica l Techno logy, J ilin C ity 132022 , Ch ina)A b stra c t: L inea r ha rmon ic o sc illa to r take s an impo rtan t ro le in quan tum m echan ic s. M any system s can betaken app roxim a te ly a s of linea r ha rmon ic o sc illa to r. Con sequen tly, the study on linea r ha rmon ic o sc illa to r is sign ifican t in m any ways. U sing m e thod s of fo rm u la and p e rtu rba tion, th is p ap e r find s ou t the ene rgy e igenva lue of one2d im en siona l linea r ha rmon ic o sc illa to r in weak e lec tric fie ld, and p re sen ts c lea rly two typ ica l so lu tion s fo r the ene rgy l