解数学竞赛题的两个局部策略上.pdf

数学活动课程讲座 解数学竞赛题的两个局部策略 上 王 连 笑 天津市实验中学 300074 收稿日期 2005 09 13 本讲适合初中 有不少数学题描述的是整体的特征 整 体的结果 但由于所给条件的任意性 变动 性 有时不容易从整体进行分析 这时 我们 可以暂时放下整体而去考虑局部 或是集中 力量先解决某一局部问题 或是对局部进行 调整 再回到整体上来 这就是解题的局部化 策略 正如乔治 波利亚所说 局部提示整 体 局部恢复整体 采用局部化策略有许 多手段 例如 可以将某一个变量看作常量 或进行局部调整 或采用磨光变换 或把整体 分解为局部 或对整体问题分步推进 本讲座 只讲分解策略和分步推进策略 1 分解策略 在解数学题时 常常遇到这样的情形 在 按照统一的解法解到某一步之后 不能再继 续下去了 这时 就需要按照逻辑划分的原 则 把所研究的对象分成若干个局部 把每一 个局部看成一个小题目逐一地加以解决 使 整体的问题得以解决 例1 一个三角形三边之长为6 8 10 求证 仅仅存在一条直线平分这个三角形的 周长和面积 讲解 显而易见 边长为6 8 10的三角 形是一个直角三角形 其周长为24 面积也 为24 要证明仅仅存在一条直线同时平分这个 三角形的周长和面积 就要考虑这条直线与 这个三角形的边相交的不同情况 这样 一道 题就可分解成4个局部问题 1 当直线过三角形顶点时 该直线能否 平分三角形的周长与面积 2 当直线与短直角边 斜边相交时 该 直线能否平分三角形的周长与面积 3 当直线与长直角边 斜边相交时 该 直线能否平分三角形的周长与面积 4 当直线与两直角边相交时 该直线能 否平分三角形的周长与面积 下面就分别解决这几个局部问题 设此三角形为 ABC C 90 AC 6 BC 8 AB 10 直线为l 1 直线l过 ABC的某一顶点时 因为 任何过三角形的顶点且平分三角形的面积的 直线必平分对边 此时 自然不能平分这个三 角形的周长 因此 这条直线不能满足题目的 要求 图1 2 如图1 当直线l 与AB AC相交 且交点分 别为S T时 设CT x x 0 则AT 6 x 显 然 半周长为12 若直线l平分 ABC 的周长与面积 则AS 6 x 且 12 S AST 1 2 6 x 6 x sin A 1 2 36 x 2 8 10 于是 有x 2 6 解得x 6 2中 等 数 学 故AT 6 6 AS 6 6 所以 直线ST满足题目要求 图2 3 如图2 当直线l 与BC BA相交 且交点分 别为S T时 若直线l平分 ABC的周长与面积 设 BS 6 x 则BT 6 x 由平分面积的要求有 12 S BST 1 2 6 x 6 x sin B 1 2 36 x 2 3 5 于是 有x 2 4 由于方程无实数解 所以 这样的直线不 存在 图3 4 如图3 当直线l 与CA CB相交 且交点 分别为S T时 若直线l 平分 ABC的周长与面 积 设CS 6 x 则CT 6 x 仍有 12 S CST 1 2 36 x 2 解得x 2 3 此时 CS 6 2 3 CT 6 2 3 然而 CT 6 2 3 8 BC 所以 这样 的直线不存在 综上所述 只有情形 2 的直线存在 即 仅仅存在一条直线同时平分这个三角形的周 长与面积 例2 证明 只存在唯一一个三角形 它 的三边长为三个连续正整数 并且它的三个 内角中有一个内角为另一个内角的2倍 讲解 把问题分解成两部分 1 当一个三角形有一个内角为另一个 内角的2倍时 三角形的三边有什么关系 2 在结论 1 的前提下 三边长是连续 正整数时 三边长各是多少 图4 1 如图4 在 ABC 中 A B C的对 边分别为a b c A 2 B 延长CA到点D 使 AD AB c 则 CD b c 由 A 2 B 知 ABC D 又 C C 所以 ABC BDC 故 BC DC AC BC 即 a b c b a 于是 a 2 b b c 2 在a2 b b c 的前提下 求出三条 边长为三个连续正整数的三条边 这里又需要分为几种情况思考 由 A 2 B 肯定a b 但c与a b 的大小关系不确定 又可分为如下几个局部 i 当a c b时 设 a n 1 c n b n 1 由a 2 b b c 有 n 1 2 n 1 2n 1 解得n 5 此时 a 6 c 5 b 4 ii 当c a b时 设c n 1 a n b n 1 于是 n 2 n 1 2n 解得n 2 此时 a 2 b 1 c 3不构成三角形 iii 当a b c时 设a n 1 b n c n 1 于是 n 1 2 n 2 n 1 即 n 2 3n 1 0 上式无整数解 综上所述 只存在唯一一个三角形 其三 边长为4 5 6是连续正整数 且其中一个内 角为另一个内角的2倍 例3 平面上有一个凸四边形ABCD 32005年第12期 1 如 果 平 面 上 存 在 一 点P 使 得 ABP BCP CDP DAP的面积相等 问四边形ABCD应满足什么条件 2 满足 1 的点P 平面上最多有几个 证明你的结论 讲解 在解这个题目时 一般总是考虑点 P在四边形ABCD内部的情形 实际上 点P相对于四边形ABCD的位 置有三种可能 1 点P在四边形ABCD的内部 2 点P在四边形ABCD的外部 3 点P在四边形ABCD的某一边上或 顶点处 由题设可知 点P在四边形ABCD的边 上或顶点处时 不可能使 ABP BCP CDP DAP的面积相等 所以 只须考虑 前两种情况 1 点P在四边形ABCD的内部 对于这种情况 又要考虑点P是否在对 角线AC上的情况 因此 要对点P进行第二 次分类 若A P C三点共线 并且B P D三点 也共线 则由 ABP BCP CDP DAP 面积相等可知 P是AC的中点 也是BD的 中点 即AC BD交于点P且在点P互相平 分 此时 四边形ABCD为平行四边形 若A P C三点不共线 则只须证明点 P一定在BD上即可 因为S PAD S PAB 则点D到PA的距 离等于点B到PA的距离 同理 点D到PC 的距离等于点B到PC的距离 图5 如图5 过点B作 BE PA BF PC 则点 D到BE的距离是点D 到PA距离的2倍 点D 到BF的距离是点D到 PC距离的2倍 联结BD 设BD交PA于点P1 BD交 PC于点P2 显然 P1是BD的中点 P2也是 BD的中点 所以 P1与P2重合 即点P在 BD上 且P为BD的中点 此时 S ABD S CBD 所以 若四边形ABCD内有满足条件的 点P 则四边形ABCD被它的一条对角线按 面积平分 容易看出 这个条件也是充分的 2 点P在四边形ABCD的外部 图6 如图6 因为 S PAB S PAD 所以 AP BD 同理 DP AC 设四边形ABCD的 对角线AC BD相交于 点E 则四边形AEDP为平行四边形 于是 S AED S APD 又S PAB S PBC S PCD S PAD S四边形ABCD S PAB S PBC S PCD S PAD 则S PAD 1 2 S四边形ABCD 即 S AED 1 2 S四边形ABCD 此外 容易看出 延长四边形ABCD的两 邻边 例如 延长BA DA所成的角区域中的 任何点都不满足题设的要求 从以上可看出 若四边形ABCD外部有 一点P满足要求 则四边形ABCD的两条对 角线将四边形分成的四个三角形中 必有一 个三角形的面积是四边形ABCD面积的一半 下面证明这个条件也是充分的 设S ADE 1 2 S四边形ABCD 过点A作BD的平行线 过点D作AC 的平行线 这两条直线交于点P 则四边形 AEDP为平行四边形 且S PAD 1 2 S四边形ABCD 由于S ABE S AED 所以 BE ED 4中 等 数 学 于是 PB在五边形PABCD内 同理 PC也在五边形PABCD内 从而 有S PAB S PAD S PDC S PBC S五边形PABCD S P AB S PCD S PAD 因此 点P满足题目要求 从上面的证明中可以看出 在四边形 ABCD之外最多有一点P满足题目要求 而 且形内和形外不能同时具有满足条件的点 所以 满足题设条件的点最多有一个 未完待续 利用直线系方程证明平面几何问题 茹 双 林孙 朝 仁 江苏省苏州市苏苑中学 215128 江苏省连云港市教育局教研室 222002 收稿日期 2005 04 27 本讲适合高中 解析法证明平面几何问题已备受关注 而直线系方程的巧妙利用 既可摆脱求交点 直线方程等烦琐运算 又能较简单地得到所 需结论 充分体现了整体处理问题的解题策 略 本文从六个方面介绍直线系方程在证明 平面几何问题中的应用 若直线a1x b1y c1 0与a2x b2y c2 0相交于点P 则通过点P的直线系 方程可写成 a1x b1y c1 a2x b2y c2 0 R 1 证明三线共点 用直线系方程表示过其中两直线交点的 直线 然后 取特殊的 0 0时就是第三条 直线 从而证明三线共点 图1 例1 如图 1 O与 ABC 的边BC CA AB 分别交于点A1 和A2 点B1和 B2 点C1和C2 已 知 由 点A1 B1 C1分别引BC CA AB的垂线相交于点 P 求证 过点A2 B2 C2分别引BC CA AB 的垂线也相交于一点 1 证明 以点O为原点 C2B2为x轴建立 直角坐标系 设过点A2垂直于BC的直线与 过点B2垂直于AC的直线交于点Q 显然 过 点A1 A2垂直于BC的两直线关于y轴对 称 同样 过点B1 B2垂直于AC的两直线关 于过点O垂直