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柯西 黎曼方程 张宏浩 2020 2 5 2 可导 对任何方向的 极限都存在并唯一 复变函数f z z沿任一曲线逼近零 柯西 黎曼方程 复变函数可导必要条件 实变数f x x沿实轴逼近零 因此 复函数的可导性是比实函数的可导性条件强得多 2020 2 5 3 z沿实轴 0 y 0 设f z 在z点可导 下面分析 z分别沿平行于实轴 y 0 和平行于虚轴 x 0 趋于零的特殊情况 2020 2 5 4 柯西 黎曼方程或C R条件 由于f z 在z点可导 要求沿不同方向的极限相等 可导必要条件 z沿虚轴 x 0 2020 2 5 5 可导的充分条件是 f z u iv的u v偏导数存在 连续且满足柯西 黎曼方程 证 由于偏导数连续 则二元函数u和v的增量可分别写为 随着 则 复变函数可导的充分条件 2020 2 5 6 柯西 黎曼方程 2020 2 5 7 解析函数的概念 若函数f z 在点z0的某邻域内处处可导 则称函数f z 在点z0处解析 又若f z 在区域B内的每一点解析 则称f z 在区域B内是解析函数 说明 1 解析与可导不等价 函数在某点解析 则必在该点可导 反之不然 但是在区域B内解析的函数则解析与可导等价 解析函数 例 函数 只在z 0点可导 因而在复平面上处处不解析 2020 2 5 8 2 称函数的不解析点为奇点 f z 在点z0无定义或无确定值 f z 在点z0不连续 f z 在点z0不可导 f z 在点z0可导 但找不到在其内处处可导的邻域 3 解析函数的充分必要条件 设函数f z u x y iv x y 在区域B内解析当且仅当 1 实部和虚部在B内可导 2 实部和虚部在B内每一点满足柯西 黎曼条件 2020 2 5 9 例判断下列函数在何处可导 在何处解析 解 1 因为u x v y 可知柯西 黎曼方程不满足 所以w z在复平面内处处不可导 处处不解析 2 因为u excosy v exsiny 2020 2 5 10 柯西 黎曼方程成立 由于上面四个偏导数都是连续的 所以f z 在复平面内处处可导 处处解析 且根据 1 2 4 式有f z ex cosy isiny f z 这个函数就是指数函数ez 3 由w zRe z x2 ixy 得u x2 v xy 所以 容易看出 这四个偏导数处处连
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