高二数学(人教B版)选修2-1全册同步练习：3-2-2平面的法向量与平面的向量表示.doc

3.2.2平面的法向量与平面的向量表示一、选择题1下列命题中正确的是()A如果一条直线与平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，则它也和这条斜线垂直B如果一条直线与平面的一条斜线垂直，则它与斜线在平面上的射影垂直C如果一向量和斜线在平面内的射影垂直，则它垂直于这条斜线D如果一非零向量和一平面平行，且和一条斜线垂直，则它垂直于斜线在平面内的射影答案D解析由三垂线定理知D成立2在正方体ABCDA1B1C1D1中，平面ACB1的一个法向量为()A.B.C. D.答案A3点A(a,0,0)，B(0，b,0)，C(0,0，c)，则平面ABC的一个法向量为()A(bc，ac，ab)B(ac，ab，bc)C(bc，ab，ac) D(ab，ac，bc)答案A解析设法向量为n(x，y，z)，则ABn0，n0，则n(bc，ac，ab)故选A.4在正方体ABCDA1B1C1D1中，若E为A1C1的中点，则直线CE垂直于()AAC BBDCA1D DA1A答案B解析直线CE在平面AC内的射影为AC，又ACBD，BDCE，故选B.5正方体AC1中，E，F分别是AB，CD的中点，则下列直线中不互相垂直的是()AB1C与C1D1 BD1B与B1CCD1B与EF DA1B与B1C1答案C解析D1B与EF所成角等于D1BC，其余弦值为，故选C.6若平面、的法向量分别为u(2,3，5)，v(3，1,4)，则()A BC、相交但不垂直 D以上均不正确答案C解析u(2,3，5)，v(3，1,4)，u与v不平行且u与v不垂直，故选C.7平面的一个法向量为v1(1,2,1)，平面的一个法向量v2(2,4,2)，则平面与平面()A平行 B垂直C相交 D不能确定答案A解析由v1v2故可判定.8设平面的法向量为(1,2，2)，平面的法向量(2，4，k)，若，则k()A2B4C4D2答案C解析，k4，故选C.9若直线l的方向向量为a(1,0，2)，平面的法向量为u(4,0,8)，则()Al BlCl Dl与斜交答案B解析u4a，ua，a，l.故选B.10在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、CD的中点，则()A面AED面A1FD1B面AED面A1FD1C面AED与面A1FD相交但不垂直D以上都不对答案B解析以D为原点，、，分别为x，y，z建立空间直角坐标系求面AED的法向量n1与面A1FD1的法向量n2.n1n20，n1n2，平面AED平面A1FD1.二、填空题11若直线l与的法向量分别是a(1,0，2)，b(1，0,2)，则直线l与的位置关系是_答案l解析ab，l.12已知l，且l的方向向量为(2，m,1)，平面的法向量为，则m_.答案8解析设a(2，m,1)，b(1，2)l，ab，2m20，m8.13已知正四棱锥(如图所示)，在向量，中，不能作为底面ABCD的法向量的向量是_答案解析0，不能作为这个平面的法向量，对其它三个化简后可知均与共线而PO平面ABCD，它们可作为这个平面的法向量14如图所示，已知矩形ABCD，AB1，BCa，PA平面ABCD，若在BC上只有一个点Q满足PQQD，则a的值等于_答案2解析以A为原点，建立如图所示坐标系，则A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，a,0)，C(1，a,0)，设Q(1，x,0)，P(0,0，z)，(1，x，z)，(1，ax,0)由0，得1x(ax)0，即x2ax10.当a240，即a2时，Q只有一个三、解答题15已知ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2)，B(4,2,0)，C(2,4,0)，求平面ABC的单位法向量解析(4,2，2)，(2,4，2)设n(x，y，z)是平面ABC的单位法向量，则有取z0，得xy，z .n(1,1,3)16如图所示，M、N、P分别是正方体ABCDA1B1C1D1中的棱CC1、BC、CD的中点求证：A1P平面DMN.证明建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则D(0,0,0)，A1(2,0,2)，P(0,1,0)，M(0,2,1)，N(1,2,0)向量(0,1,0)(2,0,2)(2,1，2)，(0,2,1)(0,0,0)(0,2,1)，(1,2,0)(2,1，2)(0,2,1)(2)012(2)10.(2,1，2)(1,2,0)(2)112(2)00.，即A1PDM，A1PDN，又DMDND，A1P平面DMN.17棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中，在棱DD1上是否存在点P使B1D面PAC?解析以D为原点建立如图所示的坐标系，设存在点P(0,0，z)，(a,0，z)，(a，a,0)，(a，a，a)，B1D面PAC，0，0.a2az0.za，即点P与D1重合点P与D1重合时，DB1面PAC.18如图所示，ABCD为矩形，PA平面ABCD，PAAD，M、N、Q分别是PC、AB、CD的中点，(1)求证：MNPAD；(2)求证：平面QMN平面PAD；(3)求证：MN平面PCD.解析(1)如图以A为原点，以AB，AD，AP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系，设B(b,0,0)，D(0，d,0)，P(0,0，d)，则C(b，d,0)M，N，Q分别是PC，AB，CD的中点，M，N，Q，面PAD的一个法向量为m(1,0,0)m