2019届高考数学复习导数及其应用高考专题突破一高考中的导数应用问题课件文北师大版.pptx

高考中的导数应用问题 高考专题突破一 考点自测 课时作业 题型分类深度剖析 内容索引 考点自测 1 2 3 4 5 解析 答案 解析f x 2cosx 2 2 当两函数的切线平行时 xp 0 xQ 1 2 2017 全国 若x 2是函数f x x2 ax 1 ex 1的极值点 则f x 的极小值为A 1B 2e 3C 5e 3D 1 1 2 4 5 解析 3 答案 解析函数f x x2 ax 1 ex 1 则f x 2x a ex 1 x2 ax 1 ex 1 ex 1 x2 a 2 x a 1 由x 2是函数f x 的极值点 得f 2 e 3 4 2a 4 a 1 a 1 e 3 0 所以a 1 所以f x x2 x 1 ex 1 f x ex 1 x2 x 2 由ex 1 0恒成立 得当x 2或x 1时 f x 0 且当x 2时 f x 0 当 2 x 1时 f x 0 当x 1时 f x 0 所以x 1是函数f x 的极小值点 所以函数f x 的极小值为f 1 1 故选A 1 2 4 5 3 解析 3 设f x g x 在 a b 上可导 且f x g x 则当ag x B f x g x f a D f x g b g x f b 答案 解析 f x g x 0 f x g x 0 f x g x 在 a b 上是增函数 当af a g a f x g a g x f a 1 2 4 5 3 4 若函数f x 2x3 3mx2 6x在区间 2 上是增加的 则实数m的取值范围为 解析 答案 解析 f x 6x2 6mx 6 当x 2 时 f x 0恒成立 1 2 4 5 3 5 2017 江苏 已知函数f x x3 2x ex 其中e是自然对数的底数 若f a 1 f 2a2 0 则实数a的取值范围是 解析 1 2 4 5 3 答案 因为f a 1 f 2a2 0 所以f 2a2 f a 1 即f 2a2 f 1 a 3x2 0 当且仅当x 0时 成立 所以f x 在R上是增加的 所以2a2 1 a 即2a2 a 1 0 1 2 4 5 3 题型分类深度剖析 例1 2018 沈阳质检 设f x xlnx ax2 2a 1 x a R 1 令g x f x 求g x 的单调区间 题型一利用导数研究函数性质 解答 解由f x lnx 2ax 2a 可得g x lnx 2ax 2a x 0 当a 0 x 0 时 g x 0 函数g x 是增加的 所以当a 0时 函数g x 的递增区间为 0 2 已知f x 在x 1处取得极大值 求实数a的取值范围 解答 解由 1 知 f 1 0 当a 0时 f x 是增加的 所以当x 0 1 时 f x 0 f x 是减少的 当x 1 时 f x 0 f x 是增加的 所以f x 在x 1处取得极小值 不符合题意 可得当x 0 1 时 f x 0 所以f x 在x 1处取得极小值 不符合题意 所以当x 0 时 f x 0 f x 是减少的 不符合题意 当x 1 时 f x 0 f x 是减少的 所以f x 在x 1处取得极大值 符合题意 利用导数主要研究函数的单调性 极值 最值 已知f x 的单调性 可转化为不等式f x 0或f x 0在单调区间上恒成立问题 含参函数的最值问题是高考的热点题型 解此类题的关键是极值点与给定区间位置关系的讨论 此时要注意结合导函数图像的性质进行分析 解答 跟踪训练1已知a R 函数f x x2 ax ex x R e为自然对数的底数 1 当a 2时 求函数f x 的递增区间 解当a 2时 f x x2 2x ex 所以f x 2x 2 ex x2 2x ex x2 2 ex 令f x 0 即 x2 2 ex 0 因为ex 0 解答 2 若函数f x 在 1 1 上是增加的 求a的取值范围 解因为函数f x 在 1 1 上是增加的 所以f x 0对x 1 1 都成立 因为f x 2x a ex x2 ax ex x2 a 2 x a ex 所以 x2 a 2 x a ex 0对x 1 1 都成立 因为ex 0 所以 x2 a 2 x a 0对x 1 1 都成立 题型二利用导数研究函数零点问题 例2已知函数f x ax a x R 其中a 0 1 求函数f x 的单调区间 解答 解f x x2 1 a x a x 1 x a 由f x 0 得x 1或x a a 0 当x变化时 f x f x 的变化情况如下表 故函数f x 的递增区间是 1 a 递减区间是 1 a 解答 2 若函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 求a的取值范围 解由 1 知f x 在区间 2 1 上是增加的 在区间 1 0 上是减少的 从而函数f x 在区间 2 0 内恰有两个零点 函数零点问题一般利用导数研究函数的单调性 极值等性质 并借助函数图像 根据零点或图像的交点情况 建立含参数的方程 或不等式 组求解 实现形与数的和谐统一 解答 f x 与f x 在区间 0 上随x的变化情况如下表 2 证明 若f x 存在零点 则f x 在区间 1 上仅有一个零点 证明 题型三利用导数研究不等式问题 例3 2017 陕西省宝鸡市质检 设函数f x ax2lnx b x 1 曲线y f x 过点 e e2 e 1 且在点 1 0 处的切线方程为y 0 1 求a b的值 解答 解由题意可知 f x ax2lnx b x 1 的定义域为 0 f x 2axlnx ax b x 0 f 1 a b 0 f e ae2 b e 1 a e2 e 1 e2 e 1 a 1 b 1 2 证明 当x 1时 f x x 1 2 证明f x x2lnx x 1 f x x 1 2 x2lnx x x2 设g x x2lnx x x2 x 1 则g x 2xlnx x 1 由 g x 2lnx 1 0 得g x 在 1 上是增加的 g x g 1 0 g x 在 1 上是增加的 g x g 1 0 f x x 1 2 证明 3 若当x 1时 f x m x 1 2恒成立 求实数m的取值范围 解答 解设h x x2lnx x m x 1 2 1 x 1 则h x 2xlnx x 2m x 1 1 由 2 知x2lnx x 1 2 x 1 x x 1 xlnx x 1 h x 3 x 1 2m x 1 3 2m x 1 h x 在 1 上是增加的 h x h 1 0成立 h x 2xlnx 1 2m x 1 h x 2lnx 3 2m 令 h x 0 得x0 1 当x 1 x0 时 h x 是减少的 则h x h 1 0 h x 在 1 x0 上是减少的 h x h 1 0 即h x 0不成立 求解不等式恒成立或有解时参数的取值范围问题 一般常用分离参数的方法 但是如果分离参数后对应的函数不便于求解其最值 或者求解其函数最值较烦琐时 可采用直接构造函数的方法求解 解析 跟踪训练3已知函数f x x3 2x2 x a g x 2x 若对任意的x1 1 2 存在x2 2 4 使得f x1 g x2 则实数a的取值范围是 答案 解析问题等价于f x 的值域是g x 的值域的子集 对于f x f x 3x2 4x 1 当x变化时 f x f x 的变化情况列表如下 f x max a 2 f x min a 4 课时作业 基础保分练 1 2 3 4 5 6 解答 1 已知函数f x xlnx 1 求f x 的最小值 解答 1 2 3 4 5 6 2 若对所有x 1都有f x ax 1 求实数a的取值范围 解由题意 得f x ax 1在 1 上恒成立 故g x 在 1 上是增加的 所以g x 的最小值是g 1 1 从而a的取值范围是 1 解答 2 已知函数f x x3 3x2 ax 2 曲线y f x 在点 0 2 处的切线与x轴交点的横坐标为 2 1 求a的值 解f x 3x2 6x a f 0 a 曲线y f x 在点 0 2 处的切线方程为y ax 2 1 2 3 4 5 6 证明 2 证明 当k 1时 曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 1 2 3 4 5 6 证明由 1 知 f x x3 3x2 x 2 设g x f x kx 2 x3 3x2 1 k x 4 由题设知1 k 0 当x 0时 g x 3x2 6x 1 k 0 g x 是增加的 g 1 k 10时 令h x x3 3x2 4 则g x h x 1 k x h x 1 2 3 4 5 6 h x 3x2 6x 3x x 2 h x 在 0 2 上是减少的 在 2 上是增加的 所以g x h x h 2 0 所以g x 0在 0 上没有实根 综上 g x 0在R上有唯一实根 即曲线y f x 与直线y kx 2只有一个交点 1 2 3 4 5 6 3 已知函数f x x2 xsinx cosx 1 若曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 求a与b的值 解答 解由f x x2 xsinx cosx 得f x x 2 cosx 因为曲线y f x 在点 a f a 处与直线y b相切 所以f a a 2 cosa 0 b f a 解得a 0 b f 0 1 1 2 3 4 5 6 2 若曲线y f x 与直线y b有两个不同的交点 求b的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 解令f x 0 得x 0 当x变化时 f x 与f x 的变化情况如下表 1 2 3 4 5 6 所以函数f x 在区间 0 上是减少的 在区间 0 上是增加的 f 0 1是f x 的最小值 当b 1时 曲线y f x 与直线y b最多只有一个交点 当b 1时 f 2b f 2b 4b2 2b 1 4b 2b 1 b f 0 11时 曲线y f x 与直线y b有且仅有两个不同的交点 综上可知 如果曲线y f x 与直线y b有两个不同的交点 那么b的取值范围是 1 1 2 3 4 5 6 4 已知函数f x a 2lnx a R 1 求函数f x 的单调区间 解答 1 2 3 4 5 6 解由题意得 函数f x 的定义域为 0 1 2 3 4 5 6 令h x ax2 2x a 当a 0时 h x 0时 4 4a2 当00 即h x 0 由f x 0 即h x 0 1 2 3 4 5 6 当a 1时 h x 0在 0 上恒成立 则f x 0在 0 上恒成立 此时f x 在 0 上是增加的 解答 2 设函数g x 若至少存在一个x0 1 e 使得f x0 g x0 成立 求实数a的取值范围 1 2 3 4 5 6 解因为存在x0 1 e 使得f x0 g x0 成立 1 2 3 4 5 6 则题目等价于当x 1 e 时 a F x min 因为当x 1 e 时 F x 0 所以F x 在 1 e 上是增加的 所以F x min F 1 0 因此a 0 即实数a的取值范围为 0 5 2017 豫南九校联考 对于函数y H x 若在其定义域内存在x0 使得x0 H x0 1成立 则称x0为函数H x 的 倒数点 已知函数f x lnx g x x 1 2 1 1 求证 函数f x 有 倒数点 并讨论函数f x 的 倒数点 的个数 解答 技能提升练 1 2 3 4 5 6 所以h x 在 0 上为递增函数 1 2 3 4 5 6 所以函数h x 有零点且只有一个零点 所以函数f x 有 倒数点 且只有一个 倒数点 2 若当x 1时 不等式xf x m g x x 恒成立 试求实数m的取值范围 解答 1 2 3 4 5 6 解xf x m g x x 等价于2x lnx m x2 1 1 2 3 4 5 6 易知 mx2 2x m 0的判别式为 4 4m2 当m 1时 d x 0 d x 在 1 上是减少的 d x d 1 0 符合题意 当0d 1 0 不合题意 当m 0时 d x 0 d x 在 1 上是增加的 此时d x d 1 0 不合题意 当 1d 1 0 不合题意 当m 1时 d x 0 d x 在 1 上是增加的 此时d x d 1 0 不合题意 综上 实数m的取值范围是 1 1 2 3 4 5 6 6 2018 泉州调研 已知函数f x ex g x a为实常数 1 设F x f x g x 当a 0时 求函数F x 的单调区间 解答 拓展冲刺练 其定义域为 0 0 当a 0时 F x 0 故F x 的递增