高中数学经典高考难题集锦(解析版)1

精品文档2015年10月18日姚杰的高中数学组卷一选择题（共17小题）1（2013浙江）设ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）AABC=90BBAC=90CAB=ACDAC=BC2（2012广东）对任意两个非零的平面向量和，定义=，若平面向量、满足|0，与的夹角，且和都在集合中，则=（）AB1CD3（2007天津）设两个向量和，其中，m，为实数若，则的取值范围是（）A6，1B4，8C（，1D1，64（2012广东）对任意两个非零的平面向量和，定义=若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且和都在集合中，则=（）ABC1D5（2011山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，dR）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上6（2009福建）设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，|=|，则|的值一定等于 （）A以，为邻边的平行四边形的面积B以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积D以，为邻边的平行四边形的面积7（2008浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）（）=0，则|的最大值是（）A1B2CD8（2007山东）在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）ABCD9（2007湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）ABCD10（2006福建）|=1，|=，=0，点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n（m、nR），则等于（）AB3CD11（2005湖南）P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心12（2005江西）在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，=（）ABCD13（2005安徽）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点14已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O在原坐标系中的坐标为（ A ）A（m，m）B（m，m）C（m，m）D（m，m）15（2014桃城区校级模拟）设向量，满足，=60，则|的最大值等于（）A2BCD116（2013安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|=|=2，则点集P|=+，|+|1，R所表示的区域的面积是（）ABCD17（2013上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若m、M分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则m、M满足（）Am=0，M0Bm0，M0Cm0，M=0Dm0，M0二解答题（共13小题）18（2005上海）在直角坐标平面中，已知点P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），Pn（n，2n），其中n是正整数对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，An为An1关于点Pn的对称点（1）求向量的坐标；（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3位周期的周期函数，且当x（0，3时，f（x）=lgx求以曲线C为图象的函数在（1，4上的解析式；（3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标19（2012上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）S；（2）已知h（x）=cos（x+）+2cosx，且h（x）S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b0）为圆C：（x2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围20（2011江苏） 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上设二面角A1DNM的大小为，（1）当=90时，求AM的长；（2）当 时，求CM的长21（2009山东）设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y1），ab，动点M（x，y）的轨迹为E（）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（）已知m=证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），并求该圆的方程；（）已知m=设直线l与圆C：x2+y2=R2（1R2）相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值22（2007四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点（）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围23（2010丰台区校级一模）如图，已知OFP的面积为m，且=1（I）若，求向量与的夹角的取值范围；（II）设，且若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程24设、为平面向量，若存在不全为零的实数，使得+=0，则称、线性相关，下面的命题中，、均为已知平面M上的向量若=2，则、线性相关；若、为非零向量，且，则、线性相关；若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；向量、线性相关的充要条件是、共线上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）25（2005安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，1）共线（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明2+2为定值26（2011江苏模拟）如图，D是ABC的中点，则1+2=27（2012泗县校级模拟）已知单位圆O：x2+y2=1，A（1，0），B是圆上的动点，（1）求点P的轨迹E的方程；（2）求过A作直线l被E截得的弦长的最小值28（2011西安校级模拟）已知向量，动点M到定直线y=1的距离等于d，并且满足，其中O是坐标原点，k是参数（1）求动点M的轨迹方程，并判断曲线类型；（2）当时，求的最大值和最小值；（3）如果动点M的轨迹是圆锥曲线，其离心率e满足，求实数k的取值范围29（2008上海）在直角坐标平面xOy上的一列点A1（1，a1），A2（2，a2），An（n，an），简记为An、若由构成的数列bn满足bn+1bn，n=1，2，其中为方向与y轴正方向相同的单位向量，则称An为T点列，（1）判断，是否为T点列，并说明理由；（2）若An为T点列，且点A2在点A1的右上方、任取其中连续三点Ak、Ak+1、Ak+2，判断AkAk+1Ak+2的形状（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形），并予以证明；（3）若An为T点列，正整数1mnpq满足m+q=n+p，求证：30（2011临川区校级一模）设点F（，0）（p为正常数），点M在x轴的负半轴上，点P在y轴上，且，（）当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；（）直线l过点F且与曲线C相交于不同两点A，B，分别过点A，B作直线l1：x=的垂线，对应的垂足分别为A1，B1，求的值；（）在（）的条件下，记，=，求的值2015年10月18日姚杰的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共17小题）1（2013浙江）设ABC，P0是边AB上一定点，满足，且对于边AB上任一点P，恒有则（）AABC=90BBAC=90CAB=ACDAC=BC考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：设|=4，则|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得|2（a+1）|+a0恒成立，只需=（a+1）24a=（a1）20即可，由此能求出ABC是等腰三角形，AC=BC解答：解：设|=4，则|=1，过点C作AB的垂线，垂足为H，在AB上任取一点P，设HP0=a，则由数量积的几何意义可得，=|=|2（a+1）|，=a，于是恒成立，整理得|2（a+1）|+a0恒成立，只需=（a+1）24a=（a1）20即可，于是a=1，因此我们得到HB=2，即H是AB的中点，故ABC是等腰三角形，所以AC=BC故选：D点评：本题主要考查了平面向量的运算，向量的模及向量的数量积的概念，向量运算的几何意义的应用，还考查了利用向量解决简单的几何问题的能力2（2012广东）对任意两个非零的平面向量和，定义=，若平面向量、满足|0，与的夹角，且和都在集合中，则=（）AB1CD考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：空间向量及应用分析：由题意可得=，同理可得=，故有nm 且 m、nz再由cos2=，与的夹角（0，），可得cos2（，1），即（，1），由此求得n=3，m=1，从而得到 = 的值解答：解：由题意可得 =同理可得 =由于|0，nm 且 m、nzcos2=再由与的夹角（0，），可得cos2（，1），即（，1）故有 n=3，m=1，=，故选C点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，得到nm 且m、nz，且（，1），是解题的关键，属于中档题3（2007天津）设两个向量和，其中，m，为实数若，则的取值范围是（）A6，1B4，8C（，1D1，6考点：相等向量与相反向量；平面向量共线（平行）的坐标表示菁优网版权所有专题：压轴题分析：利用，得到，m的关系，然后用三角函数的有界性求解的比值，为了简化，把换元解答：解：由，可得，设代入方程组可得消去m化简得，再化简得再令代入上式得（sin1）2+（16t2+18t+2）=0可得（16t2+18t+2）0，4解不等式得因而解得6k1故选A点评：本题难度较大，题目涉及到向量、三角函数的有界性、还用到了换元和解不等式等知识，体现了化归的思想方法4（2012广东）对任意两个非零的平面向量和，定义=若两个非零的平面向量，满足与的夹角，且和都在集合中，则=（）ABC1D考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：先求出 =，nN，=，mN，再由cos2=（ 0， ），故 m=n=1，从而求得 = 的值解答：解：=，nN同理可得 =，mN再由与的夹角，可得cos（0，），cos2=（ 0， ），故 m=n=1，=，故选：D点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，求得 m=n=1，是解题的关键，属于中档题5（2011山东）设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若（R），（R），且，则称A3，A4调和分割A1，A2，已知点C（c，0），D（d，O）（c，dR）调和分割点A（0，0），B（1，0），则下面说法正确的是（）AC可能是线段AB的中点BD可能是线段AB的中点CC，D可能同时在线段AB上DC，D不可能同时在线段AB的延长线上考点：平面向量坐标表示的应用菁优网版权所有专题：平面向量及应用分析：由题意可得到c和d的关系，只需结合答案考查方程的解的问题即可A和B中方程无解，C中由c和d的范围可推出C和D点重合，由排除法选择答案即可解答：解：由已知可得（c，0）=（1，0），（d，0）=（1，0），所以=c，=d，代入得（1）若C是线段AB的中点，则c=，代入（1）d不存在，故C不可能是线段AB的中点，A错误；同理B错误；若C，D同时在线段AB上，则0c1，0d1，代入（1）得c=d=1，此时C和D点重合，与条件矛盾，故C错误故选D点评：本题为新定义问题，考查信息的处理能力正确理解新定义的含义是解决此题的关键6（2009福建）设，为同一平面内具有相同起点的任意三个非零向量，且满足与不共线，|=|，则|的值一定等于 （）A以，为邻边的平行四边形的面积B以，为两边的三角形面积C，为两边的三角形面积D以，为邻边的平行四边形的面积考点：平面向量数量积的运算菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：利用向量的数量积公式表示出，有已知得到的夹角与夹角的关系，利用三角函数的诱导公式和已知条件表示成的模及夹角形式，利用平行四边形的面积公式得到选项解答：解：假设与的夹角为，|=|cos，|=|cos（90）|=|sin，即为以，为邻边的平行四边形的面积故选A点评：本题考查向量的数量积公式、三角函数的诱导公式、平行四边形的面积公式7（2008浙江）已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足（）（）=0，则|的最大值是（）A1B2CD考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：压轴题分析：本小题主要考查向量的数量积及向量模的相关运算问题，所给出的两个向量是互相垂直的单位向量，这给运算带来很大方便，利用数量积为零的条件时要移项变化解答：解：，cos1，1，的最大值是故选C点评：启发学生在理解数量积的运算特点的基础上，逐步把握数量积的运算律，引导学生注意数量积性质的相关问题的特点，以熟练地应用数量积的性质，本题也可以利用数形结合，对应的点A，B在圆x2+y2=1上，对应的点C在圆x2+y2=2上即可8（2007山东）在直角ABC中，CD是斜边AB上的高，则下列等式不成立的是（）ABCD考点：平面向量数量积的性质及其运算律菁优网版权所有专题：压轴题分析：根据，A是正确的，同理B也正确，再由D答案可变形为，通过等积变换判断为正确，从而得到答案解答：解：，A是正确的，同理B也正确，对于D答案可变形为，通过等积变换判断为正确故选C点评：本题主要考查平面向量的数量积的定义要会巧妙变形和等积变换9（2007湖北）连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量与向量的夹角为，则的概率是（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角；等可能事件的概率菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由题意知本题是一个古典概型，根据分步计数原理可以得到试验发生包含的所有事件数，满足条件的事件数要通过列举得到，题目大部分内容考查的是向量的问题，这是一个综合题解答：解：由题意知本题是一个古典概型，试验发生包含的所有事件数66，m0，n0，=（m，n）与=（1，1）不可能同向夹角0（0，】0，mn0，即mn当m=6时，n=6，5，4，3，2，1；当m=5时，n=5，4，3，2，1；当m=4时，n=4，3，2，1；当m=3时，n=3，2，1；当m=2时，n=2，1；当m=1时，n=1满足条件的事件数6+5+4+3+2+1概率P=故选C点评：向量知识，向量观点在数学物理等学科的很多分支有着广泛的应用，而它具有代数形式和几何形式的“双重身份”能融数形于一体，能与中学数学教学内容的许多主干知识综合，形成知识交汇点10（2006福建）|=1，|=，=0，点C在AOB内，且AOC=30，设=m+n（m、nR），则等于（）AB3CD考点：向量的共线定理；向量的模菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：将向量沿与方向利用平行四边形原则进行分解，构造出三角形，由题目已知，可得三角形中三边长及三个角，然后利用正弦定理解三角形即可得到答案此题如果没有点C在AOB内的限制，应该有两种情况，即也可能为OC在OA顺时针方向30角的位置，请大家注意分类讨论，避免出错解答：解：法一：如图所示：=+，设=x，则=3法二：如图所示，建立直角坐标系则=（1，0），=（0，），=m+n=（m，n），tan30=，=3故选B点评：对一个向量根据平面向量基本定理进行分解，关键是要根据平行四边形法则，找出向量在基底两个向量方向上的分量，再根据已知条件构造三角形，解三角形即可得到分解结果11（2005湖南）P是ABC所在平面上一点，若，则P是ABC的（）A外心B内心C重心D垂心考点：平面向量数量积的运算；数量积判断两个平面向量的垂直关系菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：本题考查的知识点是平面向量的数量积运算，由，我们任取其中两个相等的量，如，根据平面向量乘法分配律，及减法法则，我们可得，同理我们也可以得到PABC，PCAB，由三角形垂心的性质，我们不难得到结论解答：解：，则由得：，PBAC同理PABC，PCAB，即P是垂心故选D点评：重心定理：三角形的三条中线交于一点，这点到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍该点叫做三角形的重心外心定理：三角形的三边的垂直平分线交于一点该点叫做三角形的外心垂心定理：三角形的三条高交于一点该点叫做三角形的垂心内心定理：三角形的三内角平分线交于一点该点叫做三角形的内心12（2005江西）在OAB中，O为坐标原点，则当OAB的面积达最大值时，=（）ABCD考点：数量积表示两个向量的夹角；向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：压轴题分析：在边长为1的正方形中，减去要求的三角形以外的三角形的面积，把要求的结果表示为有三角函数的代数式，后面题目变为求三角函数的最值问题，逆用二倍角公式得到结果解答：解：在直角坐标系里OAB的面积=1=（0，2（0，当2=时取得最大，即=故选D点评：本题考查简单的图形面积和三角函数的最值问题，用三角函数表示的式子，因此代入后，还要进行简单的三角函数变换，二倍角公式逆用13（2005安徽）点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足，则点O是ABC的（）A三个内角的角平分线的交点B三条边的垂直平分线的交点C三条中线的交点D三条高的交点考点：平面向量数量积的运算；向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：由得到，从而所以OBAC，同理得到OABC，所以点O是ABC的三条高的交点解答：解；OBAC，同理由得到OABC点O是ABC的三条高的交点故选D点评：本题考查向量的数量积及向量的运算，对学生有一定的能力要求14已知平面上一点P在原坐标系中的坐标为（0，m）（m0），而在平移后所得到的新坐标系中的坐标为（m，0），那么新坐标系的原点O在原坐标系中的坐标为（ A ）A（m，m）B（m，m）C（m，m）D（m，m）考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：压轴题；阅读型分析：利用平移公式求出平移向量，再利用平移公式求出新坐标系的原点O在原坐标系中的坐标解答：解：设按向量，则新坐标系的原点O在原坐标系中的坐标为（k，l）则据平移公式故解得即新坐标系的原点O在原坐标系中的坐标为（m，m）故选项为A点评：本题考查平移公式的应用15（2014桃城区校级模拟）设向量，满足，=60，则|的最大值等于（）A2BCD1考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角菁优网版权所有专题：计算题；压轴题分析：利用向量的数量积求出的夹角；利用向量的运算法则作出图；结合图，判断出四点共圆；利用正弦定理求出外接圆的直径，求出最大值解答：解：，的夹角为120，设，则；=如图所示则AOB=120；ACB=60AOB+ACB=180A，O，B，C四点共圆由三角形的正弦定理得外接圆的直径2R=当OC为直径时，模最大，最大为2故选A点评：本题考查向量的数量积公式、向量的运算法则、四点共圆的判断定理、三角形的正弦定理16（2013安徽）在平面直角坐标系中，O是坐标原点，两定点A，B满足|=|=2，则点集P|=+，|+|1，R所表示的区域的面积是（）ABCD考点：平面向量的基本定理及其意义；二元一次不等式（组）与平面区域；向量的模菁优网版权所有专题：压轴题；平面向量及应用分析：由两定点A，B满足=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形，设出两个定点的坐标，再设出P点坐标，由平面向量基本定理，把P的坐标用A，B的坐标及，表示，把不等式|+|1去绝对值后可得线性约束条件，画出可行域可求点集P所表示区域的面积解答：解：由两定点A，B满足=2，说明O，A，B三点构成边长为2的等边三角形不妨设A（），B（）再设P（x，y）由，得：所以，解得由|+|1所以等价于或或或可行域如图中矩形ABCD及其内部区域，则区域面积为故选D点评：本题考查了平面向量的基本定理及其意义，考查了二元一次不等式（组）所表示的平面区域，考查了数学转化思想方法，解答此题的关键在于读懂题意，属中档题17（2013上海）在边长为1的正六边形ABCDEF中，记以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、若m、M分别为（+）（+）的最小值、最大值，其中i，j，k1，2，3，4，5，r，s，t1，2，3，4，5，则m、M满足（）Am=0，M0Bm0，M0Cm0，M=0Dm0，M0考点：平面向量数量积的运算；进行简单的合情推理菁优网版权所有专题：压轴题；平面向量及应用分析：利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，从而可结论解答：解：由题意，以A为起点，其余顶点为终点的向量分别为、；以D为起点，其余顶点为终点的向量分别为、，利用向量的数量积公式，可知只有，其余数量积均小于等于0，m、M分别为（+）（+）的最小值、最大值，m0，M0故选D点评：本题考查向量的数量积运算，考查学生分析解决问题的能力，分析出向量数量积的正负是关键二解答题（共13小题）18（2005上海）在直角坐标平面中，已知点P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），Pn（n，2n），其中n是正整数对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，An为An1关于点Pn的对称点（1）求向量的坐标；（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3位周期的周期函数，且当x（0，3时，f（x）=lgx求以曲线C为图象的函数在（1，4上的解析式；（3）对任意偶数n，用n表示向量的坐标考点：平面向量的综合题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；平面向量及应用；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用中点坐标公式求出点A1，A2的坐标，再利用向量的坐标公式求出的坐标（2）由已知判断出y=f（x）的图象是由C按平移得到的；得到C是由f（x）左移两个单位，下移4个单位得到，利用图象变换求出C的解析式（3）利用向量的运算法则将有以Pn为起点终点的向量表示，利用向量的坐标公式求出各向量的坐标，利用等比数列的前n项和公式求出向量的坐标解答：解：（1）设点A0（x，y），A1为A0关于点P1的对称点，A1的坐标为（2x，4y），A1为P2关于点的对称点A2的坐标为（2+x，4+y），=2，4（2）=2，4，f（x）的图象由曲线C向右平移2个单位，再向上平移4个单位得到因此，设曲线C是函数y=g（x）的图象，其中g（x）是以3为周期的周期函数，且当x（2，1时，g（x）=lg（x+2）4于是，当x（1，4时，g（x）=lg（x1）4（3）=+，由于=，得=2（+）=2（1，2+1，23+1，2n1）=2，=n，点评：本题考查中点坐标公式、向量的坐标公式、图象的平移变换、等比数列的前n项和公式19（2012上海）定义向量=（a，b）的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx，函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”为=（a，b）（其中O为坐标原点）记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S（1）设g（x）=3sin（x+）+4sinx，求证：g（x）S；（2）已知h（x）=cos（x+）+2cosx，且h（x）S，求其“相伴向量”的模；（3）已知M（a，b）（b0）为圆C：（x2）2+y2=1上一点，向量的“相伴函数”f（x）在x=x0处取得最大值当点M在圆C上运动时，求tan2x0的取值范围考点：平面向量的综合题；复合三角函数的单调性菁优网版权所有专题：计算题；压轴题；新定义分析：（1）先利用诱导公式对其化简，再结合定义即可得到证明；（2）先根据定义求出其相伴向量，再代入模长计算公式即可；（3）先根据定义得到函数f（x）取得最大值时对应的自变量x0；再结合几何意义求出的范围，最后利用二倍角的正切公式即可得到结论解答：解：（1）g（x）=3sin（x+）+4sinx=4sinx+3cosx，其相伴向量=（4，3），g（x）S（2）h（x）=cos（x+）+2cosx=（cosxcossinxsin）+2cosx=sinsinx+（cos+2）cosx函数h（x）的相伴向量=（sin，cos+2）则|=（3）的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=sin（x+），其中cos=，sin=当x+=2k+，kZ时，f（x）取到最大值，故x0=2k+，kZtanx0=tan（2k+）=cot=，tan2x0=为直线OM的斜率，由几何意义知：，0）（0，令m=，则tan2x0=，m，0）（0，当m0时，函数tan2x0=单调递减，0tan2x0；当0m时，函数tan2x0=单调递减，tan2x00综上所述，tan2x0，0）（0，点评：本体主要在新定义下考查平面向量的基本运算性质以及三角函数的有关知识是对基础知识的综合考查，需要有比较扎实的基本功20（2011江苏） 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，点N是BC的中点，点M在CC1上设二面角A1DNM的大小为，（1）当=90时，求AM的长；（2）当 时，求CM的长考点：向量在几何中的应用菁优网版权所有专题：立体几何分析：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，Dxyz，设CM=t（0t2），通过，求出平面DMN的法向量为，求出平面A1DN的法向量为，推出（1）利用=90求出M的坐标，然后求出AM的长（2）利用cos=以及，求出CM 的长解答：解：建立如图所示的空间直角坐标系，Dxyz，设CM=t（0t2），则各点的坐标为A（1，0，0），A1（1，0，2），N（，1，0），M（0，1，t）；所以=（，1，0）.=（1，0，2），=（0，1，t）设平面DMN的法向量为=（x1，y1，z1），则，即x1+2y1=0，y1+tz1=0，令z1=1，则y1=t，x1=2t所以=（2t，t，1），设平面A1DN的法向量为=（x2，y2，z2），则，即x2+2z2=0，x2+2y2=0，令z2=1则y2=1，x2=2所以=（2，1，1），（1）因为=90，所以 解得t=从而M（0，1，），所以AM=（2）因为，所以，cos=因为=或，所以=解得t=0或t=根据图形和（1）的结论，可知t=，从而CM的长为点评：本题是中档题，考查直线与平面，直线与直线的位置关系，考查转化思想的应用，向量法解答立体几何问题，方便简洁，但是注意向量的夹角，计算数据的准确性21（2009山东）设mR，在平面直角坐标系中，已知向量a=（mx，y+1），向量b=（x，y1），ab，动点M（x，y）的轨迹为E（）求轨迹E的方程，并说明该方程所表示曲线的形状；（）已知m=证明：存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A，B，且OAOB（O为坐标原点），并求该圆的方程；（）已知m=设直线l与圆C：x2+y2=R2（1R2）相切于A1，且l与轨迹E只有一个公共点B1当R为何值时，|A1B1|取得最大值？并求最大值考点：平面向量数量积的运算；圆的标准方程；轨迹方程；直线和圆的方程的应用菁优网版权所有专题：平面向量及应用；直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由ab，所以ab=0，代入坐标化简整理即得轨迹E的方程mx2+y2=1此为二元二次曲线，可分m=0、m=1、m0且m1和m0四种情况讨论；（2）当m=时，轨迹E的方程为=1，表示椭圆，设圆的方程为x2+y2=r2（0r1），当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，由直线和圆相切可得k和t的关系，由OAOB，所以x1x2+y1y1=0，只需联立直线和圆的方程，消元，维达定理，又可以得到k和t的关系，这样就可解出r当切线斜率不存在时，代入检验即可（3）因为l与圆C相切，故OA1B1为直角，故|A1B1|2=|OB1|2|OA1|2，只需求出OB1和OA1的长度即可，直线l与圆C相切，且与椭圆相切找出关系，将|A1B1|表示为R的函数，转化为函数求最值解答：解：（）因为ab，所以ab=0，即（mx，y+1）（x，y1）=0，故mx2+y21=0，即mx2+y2=1当m=0时，该方程表示两条直线；当m=1时，该方程表示圆；当m0且m1时，该方程表示椭圆；当m0时，该方程表示双曲线（）当时，轨迹E的方程为，设圆的方程为x2+y2=r2（0r1），当切线斜率存在时，可设圆的任一切线方程为y=kx+t，A（x1，y1），B（x2，y2），所以，即t2=r2（1+k2）因为OAOB，所以x1x2+y1y1=0，即x1x2+（kx1+t）（kx2+t）=0，整理得（1+k2）x1x2+kt（x1+x2）+t2=0由方程组消去y得（1+4k2）x2+8ktx+4t24=0由韦达定理代入式并整理得（1+k2），即5t2=4+4k2结合式有5r2=4，r=，当切线斜率不存在时，x2+y2=也满足题意，故所求圆的方程为x2+y2=（）显然，直线l的斜率存在，设l的方程y=k1x+t1，B1（x3，y3）轨迹E的方程为由直线l与圆相切得t12=R2（1+k12），且对应式有=（8k1t1）24（1+4k12）（4t124）=0，即t12=1+4k12，由方程组，解得当l与轨迹E只有一个公共点时，对应的方程应有两个相等的由韦达定理x32=，又B1在椭圆上，所以，因为l与圆C相切，所以|A1B1|2=|OB1|2|OA1|2=x32+y32R2=，其中，等号成立的条件，即故当时，|A1B1|的最大值为1点评：本题考查求轨迹方程、及方程所表示的曲线、直线与圆、直线与椭圆的位置关系等知识，考查计算能力和分析问题解决问题的能力，综合性强，难度较大22（2007四川）设F1、F2分别是椭圆=1的左、右焦点（）若P是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点P的作标；（）设过定点M（0，2）的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点），求直线l的斜率k的取值范围考点：平面向量数量积的运算；直线的斜率；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：综合题；压轴题；函数思想；转化思想分析：（）求出椭圆的a，b，c，P是第一象限内该椭圆上的一点设为（x，y），利用，以及P在椭圆上，求点P的坐标；（）设过定点M（0，2）的直线l方程为y=kx+2，A（x1，y1），B（x2，y2），与椭圆联立，注意到交于不同的两点A、B，0且AOB为锐角（其中O为作标原点），就是利用韦达定理，代入化简，求直线l的斜率k的取值范围解答：解：（）易知a=2，b=1，设P（x，y）（x0，y0）则，又，联立，解得，（）显然x=0不满足题设条件可设l的方程为y=kx+2，设A（x1，y1），B（x2，y2）联立，由=（16k）24（1+4k2）12016k23（1+4k2）0，4k230，得又AOB为锐角，又y1y2=（kx1+2）（kx2+2）=k2x1x2+2k（x1+x2）+4x1x2+y1y2=（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=综可知，k的取值范围是点评：本题主要考查直线、椭圆、平面向量的数量积等基础知识，以及综合运用数学知识解决问题及推理计算能力23（2010丰台区校级一模）如图，已知OFP的面积为m，且=1（I）若，求向量与的夹角的取值范围；（II）设，且若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点P，当取得最小值时，求此椭圆的方程考点：平面向量数量积的运算；椭圆的标准方程菁优网版权所有专题：压轴题分析：（1）根据OFP的面积为m，设向量与的夹角为，因为=m，=1，cos=1，可得tan=2m，进而可得答案（2）以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系，设=c，P点坐标为（x0，y0），所以=m|y0|=，即因为=（c，0），=（x0c，y0），=1所以所以可得=，设，判断知f（c）在2，+）上是增函数所以当c=2时，f（c）为最小，从而为最小，此时P（）最终得到答案解答：解：（I）OFP的面积为m，设向量与的夹角为=m =1，cos=1 由、得：tan=2m，即向量与的夹角的取值范围为（II）如图，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系设=c，P点坐标为（x0，y0）=m|y0|=，=（c，0），=（x0c，y0），=1=设，当c2时，任取c2c12有当c2c12时，f（c2）f（c1）0，f（c）在2，+）上是增函数当c=2时，f（c）为最小，从而为最小，此时P（）设椭圆的方程为，则a2=10，b2=6故椭圆的方程为点评：本题主要考查向量的数量积运算和椭圆的标准方程的求法属难题24设、为平面向量，若存在不全为零的实数，使得+=0，则称、线性相关，下面的命题中，、均为已知平面M上的向量若=2，则、线性相关；若、为非零向量，且，则、线性相关；若、线性相关，、线性相关，则、线性相关；向量、线性相关的充要条件是、共线上述命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）考点：向量的共线定理菁优网版权所有专题：证明题；压轴题；新定义分析：利用和 线性相关 等价于 和 是共线向量，故正确，不正确，正确通过举反例可得不正确解答：解：若、线性相关，假设0，则=，故 和 是共线向量反之，若 和 是共线向量，则 =，即+=0，故 和 线性相关故 和 线性相关 等价于 和 是共线向量若=2 ，则 2 =0，故 和 线性相关，故正确若 和 为非零向量，则 和 不是共线向量，不能推出和 线性相关，故不正确若和 线性相关，则 和 线性相关，不能推出若和 线性相关，例如当= 时，和 可以是任意的两个向量故不正确向量和 线性相关的充要条件是 和 是共线向量，故正确故答案为 点评：本题考查两个向量线性相关的定义，两个向量共线的定义，明确 和 线性相关 等价于 和 是共线向量，是解题的关键25（2005安徽）已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在x轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与=（3，1）共线（）求椭圆的离心率；（）设M为椭圆上任意一点，且，证明2+2为定值考点：平行向量与共线向量；椭圆的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题菁优网版权所有专题：压轴题分析：（）直线与椭圆方程联立用未达定理的A、B两点坐标的关系，据向量共线的条件得椭圆中a，b，c的关系，从而求得椭圆的离心率（）用向量运算将用坐标表示，再用坐标的关系求出2+2的值解答：解：（1）设椭圆方程为则直线AB的方程为y=xc，代入，化简得（a2+b2）x22a2cx+a2c2a2b2=0令A（x1，y1），B（x2，y2），则与共线，3（y1+y2）+（x1+x2）=0，又y1=x1c，y2=x2c，3（x1+x22c）+（x1+x2）=0，即，所以a2=3b2，故离心率（II）证明：由（1）知a2=3b2，所以椭圆可化为x2+3y2=3b2设M（x，y），由已知得（x，y）=（x1，y1）+（x2，y2），M（x，y）在椭圆上，（x1+x2）2+3（y1+y2）2=3b2即2（x12+3y12）+2（x22+3y22）+2（x1x2+3y1y2）=3b2由（1）知，x1x2+3y1y2=x1x2+3（x1c）（x