高中数学必修5常考题型：等差数列

精品文档等差数列【知识梳理】1等差数列的定义如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示2等差中项如果三个数a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项这三个数满足的关系式是A.3等差数列的通项公式已知等差数列an的首项为a1，公差为d递推公式通项公式anan1d(n2)ana1(n1)d(nN*)【常考题型】题型一、等差数列的判定与证明【例1】判断下列数列是否为等差数列(1)在数列an中an3n2；(2)在数列an中ann2n.解(1)an1an3(n1)2(3n2)3(nN*)由n的任意性知，这个数列为等差数列(2)an1an(n1)2(n1)(n2n)2n2，不是常数，所以这个数列不是等差数列【类题通法】定义法是判定(或证明)数列an是等差数列的基本方法，其步骤为：(1)作差an1an；(2)对差式进行变形；(3)当an1an是一个与n无关的常数时，数列an是等差数列；当an1an不是常数，是与n有关的代数式时，数列an不是等差数列【对点训练】1已知等差数列an的首项为a1，公差为d，数列bn中，bn3an4，问：数列bn是否为等差数列？并说明理由解：数列bn是等差数列理由：数列an是首项为a1，公差为d的等差数列，an1and(nN*)bn1bn(3an14)(3an4)3(an1an)3d.根据等差数列的定义，数列bn是等差数列.题型二、等差数列的通项公式【例2】(1)在等差数列an中，已知a510，a1231，求通项公式an.(2)已知数列an为等差数列a3，a7，求a15的值解(1)a510，a1231，则an2(n1)33n5通项公式an3n5.(nN*)(2)法一：由得解得a1，d.a15a1(151)d14().法二：由a7a3(73)d，即4d，解得d.a15a3(153)d12().【类题通法】1应用等差数列的通项公式求a1和d，运用了方程的思想一般地，可由ama，anb，得求出a1和d，从而确定通项公式2若已知等差数列中的任意两项am，an，求通项公式或其他项时，则运用aman(mn)d则较为简捷【对点训练】2(1)求等差数列8,5,2，的第20项；(2)401是不是等差数列5，9，13，的项？如果是，是第几项？解：(1)由a18，d583，n20，得a208(201)(3)49.(2)由a15，d9(5)4，得这个数列的通项公式为an54(n1)4n1，由题意知，4014n1.得n100，即401是这个数列的第100项题型三、等差中项【例3】已知等差数列an，满足a2a3a418，a2a3a466.求数列an的通项公式解在等差数列an中， a2a3a418，3a318，a36.解得或当时，a116，d5.ana1(n1)d16(n1)(5)5n21.当时，a14，d5.ana1(n1)d4(n1)55n9.【类题通法】三数a，b，c成等差数列的条件是b(或2bac)，可用来进行等差数列的判定或有关等差中项的计算问题如若证an为等差数列，可证2an1anan2(nN*)【对点训练】3(1)已知数列8，a,2，b，c是等差数列，则a，b，c的值分别为_，_，_.(2)已知数列an满足an1an12an(n2)，且a25，a513，则a8_. 解析：(1)因为8，a,2，b，c是等差数列，所以(2)由an1an1 2an (n2)知，数列an是等差数列，a2，a5，a8成等差数列a2a82a5，a82a5a2213521.答案：(1)514(2)21【练习反馈】1已知等差数列an的首项a12，公差d3，则数列an的通项公式为()Aan3n1Ban2n1Can2n3 Dan3n2解析：选Aana1(n1)d2(n1)33n1.2等差数列的前3项依次是x1，x1,2x3，则其通项公式为()Aan2n5 B.an2n3Can2n1 Dan2n1解析：选Bx1，x1,2x3是等差数列的前3项，2(x1)x12x3，解得x0.a1x11，a21，a33，d2，an12(n1)2n3.3等差数列的第3项是7，第11项是1，则它的第7项是_解析：设首项为a1，公差为d，由a37，a111得，a12d7，a110d1，所以a19，d1，则a73.答案：34已知：1，x，y,10构成等差数列，则x，y的值分别为_解析：由已知，x是1和y的等差中项，即2x1y，y是x和10的等差中项，即2yx10 ，由，可解得x4，y