62算术平均数与几何平均数要点归纳.doc

6.2算术平均数与几何平均数要点归纳 河北省 杨新兰 二元均值定理(算术平均数与几何平均数定理)是不等式的一个重要的变形依据，是每年高考中不可缺少的解题工具，常应用于证明不等式，判断不等式是否成立，求函数的值域或最值，求字母或参数的变化范围，求解实际问题等，它所能解决的题型遍布高考试卷的选择、填空及解答题一、 学习目标理解和掌握“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”这一定理；能应用定理证明一些相关的不等式；能用均值不等式求与之相关的函数最大值或最小值问题二、 知识梳理1把称为a、b的算术平均数，称为a、b的几何平均数。因而，二元均值定理可以叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。如果把看作是正数a、b的等差中项，看作是正数a、b的等比中项，那么二元均值定理还可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2一般的数学中的定理、公式揭示了若干量之间的本质关系，但不能定格于某一种特殊形式，因此不等式ab2ab的形式可以是a2abb，也可以是ab，还可以是a2b (a0)，2ba等。解题时不仅要利用原来的形式，而且要掌握它的几种变形形式及公式的逆用等，以便灵活运用。3尽管二元均值定理的应用范围极广，推论和相关结论也很多，但其本身终究是由不等式的意义、性质推导出来的凡是用它可以获证的不等式，均可以直接根据不等式的意义、性质证得因此，在算术平均数与几何平均数定理的应用中，不可忽视不等式的意义、性质等概念在处理有关不等式论证方面的根本作用4二元均值不等式不但可以处理两个正数的和与积结构的不等式，结合不等式的性质还可以处理两个正数的平方和、倒数和与其它变形式的结构，由公式ab2ab和可以得到以下几个重要结论： ab2ab (当且仅当a = b时取“=”号)； ab2|ab| (当且仅当| a | = | b |时取“=”号)； ab2|ab| (当且仅当a = b= 0时取“=”号)； (a、b都是正数，当且仅当a = b时等号成立)5二元均值不等式还能处理几个正数的平方和与和结构，倒数和与和结构，根式和与和结构及两两之积与和结构等不等式问题，但在处理这些结构型的不等式时，要注意与其它依据相结合来处理。常见结构的不等式的处理方法归纳如下：abbcca与abc型利用(abc)= abc2ab2bc2ca与abcabbcca相结合；abc与abc型利用abcabbcca乘以2再加上abc即可；与abc型只要在中每个字母开方代换即可。6利用均值定理可以求函数或代数式的最值问题：当a，b都为正数，且ab为定值时，有ab (定值)，当且仅当a = b时取“=”号，此时ab有最小值；当a，b都为正数，且ab为定值时，有ab (定值)，当且仅当a = b时取“=”号，此时ab有最大值以上两类问题可简称为“积大和小”问题7创设应用算术平均数与几何平均数定理使用的条件，合理拆分项或配凑因式是经常用的解题技巧，而拆与凑的过程中，一要考虑定理使用的条件(两数都为正)；二要考虑必须使和或积为定值；三要考虑等号成立的条件(当且仅当a = b时取“=”号)，它具有一定的灵活性和变形技巧，高考中常被设计为一个难点8二元均值定理具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，若所证不等式可变形成一边为和，另一边为积的形式，则可以考虑使用这一定理把问题转化其中“一正二定三相等”在解题中具有双重功能，即对条件的制约作用，又有解题的导向作用三、特别提示：1在使用公式ab2ab和时，要注意这两者成立的条件是不相同的，前者只要求a、b都是实数，而后者要求a、b都是正数2在使用二元均值定理求最值时，必须具备三个条件：在所求最值的代数式中，各变数均应是正数(如不是，则进行变号转换)；各变数的和或积必须为常数，以确保不等式一边为定值(如不是，则进行拆项或分解，务必使不等式的一端的和或积为常数)；各变数有相等的可能(即相等时，变量字母有实数解，且在定义域内，如无，则说明拆项、分解不当，此时，应重新拆项、分解或改用其它方法，比如，已知x2，3，求函数y = x的最小值，从形式上看可以使用二元均值定理，但等号成立的条件不具备，因此