数值积分与数值微分.doc

第六章 数值积分与数值微分两种情形 函数用表格形式给出的无法直接求积分或求导。 函数的解析表达式结构复杂，不宜求积或求导。此时需研究数值方法、数值积分、数值微分。6.0求积公式 欲求 (6.0-1)1. 求积公式与余项已知f (xi) = f i，i = 0，1，2，n取 (6.0-2)称(6.0-2)为求积公式，其中Ai（i = 0，1，2，n）为求积系数，只与节点x0，x1，xn有关，而与f无关，称 （6.0-3）为求积公式(6.0-2)的余项或截断误差。若Pn(x)为f的插值多项式，则称为插值型求积公式。2. 代数精度刻划求积公式的优劣。 希望对尽可能多的函数能准确成立。定义6.0-1 若求积公式(6.0-2)满足： 0 k m， 则称该求积公式具m次代数精度。注： 若，则称求积公式对函数f能精确成立。“m次代数精度”即对不超过m次的多项式余项为0，而m + 1次则不能。 求积公式是m次代数精度 0 k m，有但.例1 证明求积分公式是1次代数精度。证明： 但 所以 求积公式具有1次代数精度。例2 设有求积公式求A0，A1，A2，使其代数精度尽量高，并问此时求积公式的代数精度解：（3个未知系数需三个方程）令求积公式分别对f(x) = 1、x、x2准确成立。即 解之得A0 = A2 = 1/3，A1 = 4/3，即有。又易知求积公式对f(x) = x3也准确成立：。但所以该求积公式具3次代数精度。注：构造求积公式的方法很多，最直接的方法是作插值型求积公式。6.1 Newdon-Cotes求积公式1. 插值型求积公式设Pn(x)为f的Lagrange插值多项式。其中li(x) (i = 0，1，2，n)为Lagrange插值基函数，求积系数为 (6.1-2)余项为 （6.1-3）. =其中x(a，b)依赖于x.Th6.1-1 n + 1个节点的插值型求积公式至少具有n次代数精度。证明：若f(x)为次数不大于n的多项式，则f (n+1)(x) = 0，从而Rn(f ) = 0。即该求积公式至少是n次代数精度。2. NewdonCotes公式(1) 定义 将a，b n等分，h = (b a)/n为步长，节点为等分点，xk = a + kh， (k = 0，1，2，n)令x = a + th = x xk=(t k)h.其中 ( 6.1-4)。称Ci(n)为Cotes系数，称 （6.1-5）为n阶NewdouCotes求积公式注：Cotes系数Ci(n)只与n，i有关，与被积区间、被积函数均无关。可单独写出 n = 1， n = 2， 其余见表(6.1-1) P422(2) 性质 n 7时Ci(n) 0，n 8时，不然。(3) 特例n = 1， (6.1-6)称为梯形公式，具1次代数精度。n = 2， (6.1-7)称为Simpson公式或抛物公式，具3次代数精度。n = 4， (6.1-8)称为Cotes公式，具5次代数精度。例1：分别用梯形，Simpson，Cotes公式求的近似值。解：函数值：x00.250.50.751f11/24/516/1716/25梯形：Simpson：Cotes：准确值：0.785398163Th6.1-2 当n为偶数时，n + 1个节点的N-C公式，至少具有n + 1次代数精度。证明：不妨设n = 2k，令f(x) = xn+1，则f (n+1)(x) = (n + 1)!= 3. N-C公式的余项。考虑=(1) 梯形公式的余项 R1(f )因为f x0，x1，xCa，b，(x a)(x b)不变号，故由积分第二中值定理。所以当C2a，b时有 = (6.1-11)(2) Simpson公式的余项R2(f )当C4a，b时有记 则j (a) = j (b) = 0.又由知所以j (x) 0. xa，b从而=(3) Cotes公式余项R4(f )例2：计算并估计截断误差注：考虑到插值多项式的龙格现象，故很少用n较大的N-C公式4. N-C公式的稳定性考虑计算时的舍入误差因为Ck(n)与xk能准确，所以积分舍入误差来自于f (xk) = f k的计算。设为f (xk)的计算值。d k= f (xk)，.则当n 7时，Ck(n) 0.所以： 当n 8时，Ck(n)变号则将影响公式的稳定性，故一般实用的是低阶公式。求积公式：当n较大时，不能保证求积公式的数值稳定性。但当n较小时，代数精度较小，如何解决这一矛盾？6.2 复化求积公式及其余项表达式考虑将区间a，b分为子区间，在每个小区间上用低阶求积公式，在将结果求和，这种求积方式称为复化求积法。1. 复化求积公式设xi = a + ih (i = 0，1，2，n)，h = (b a)/n，在区间xi，xi+1上使用梯形公式： 则 (6.2-1)记为 (6.2-2)称(6.2-2)为复化梯形公式，即有I Tn同理可得复化Simpson公式： (6.2-7)其中xi + 1/2 = a + (i + 1/2)h复化Cotes公式：其中xi+t = a + (i + t)h例1. 分别用n = 8的复化梯形、n = 4的复化Simpson、n = 2的复化Cotes公式计算解：先计算所需各节点的函数值，n = 8时，h = (1 0)/8 = 0.125 (P431)x00.1250.250.3750.50.6250.750.8751f10.99739870.98961580.97672670.9588510.93615560.90885160.87719250.8414709再利用公式计算Tn、Sn、Cn T8 = 0.9456909，S4=0.9460832，C2 = 0.9460832，I = 0.9460831.2. 复化求积公式的余项(1) 复化梯形设f C2a，b，由连续函数平均值定理知：$h a，b，使 (6.2-5)(2) 复化Simpson： (6.2-8)(3) 复化Cotes：注：若f在a，b上具有连续2阶、4阶、6阶导数，则当n 时（h 0），Tn、Sn、Cn I 3. 收敛阶比较复化求积公式收敛的快慢、程度定义6.2-1 若某复化求积公式I(h)有 (C与h无关) 则称求积公式I(h)是p(1)阶收敛的，记为I I(h) = O(hp)注：Tn、Sn、Cn分别是2、4、6 阶收敛的。例2：利用复化梯形公式计算的近似值，使截断误差不大于1/210-3。问要把区间0，1分为多少等分?若取同样的节点，利用Simpson公式计算