2007年全国初中数学联赛四川初赛试题.doc

2007年全国初中数学联赛四川初赛试题（3月24日上午9：0011：00）一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)1.若a，b为实数,满足=,则(1+a+b)(1ab)的值是( )(A)1 (B)0 (C)1 (D)22.设p是正奇数，则p2除以8的余数等于( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)73.已知ABC中，AB=AC=4，高AD=4，则ABC的外接圆半径是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)64.设a，b是整数，方程x2axb=0的一根是,则a+b的值是( ).(A)1 (B)0 (C)1 (D)25.工地上有甲、乙二块铁板，铁板甲形状为等腰三角形，其顶角为45，腰长为12cm；铁板乙形状为直角梯形，两底边长分别为4cm、10cm,且有一内角为60现在我们把它们任意翻转,分别试图从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过，结果是( )(A)甲板能穿过,乙板不能穿过 (B)甲板不能穿过,乙板能穿过 (C)甲、乙两板都能穿过 (D)甲、乙两板都不能穿过 6.设抛物线y=x2kx4与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),则下列结论中,一定成立的是( ).(A)x12x22=17 (B) x12x22=8 (C) x12x228二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)1.已知不等式ax+30的正整数解为1,2,3,则a的取值范围是 .2.如图,在直角梯形ABCD中,AB=BC=4,M为腰BC上一点,且ADM为等边三角形,则SCDM：SABM= 3.有一种产品的质量要求从低到高分为1，2，3，4共四种不同的档次若工时不变,车间每天可生产最低档次(即第一档次)的产品40件,生产每件产品的利润为16元;如果每提高一个档次,每件产品利润可增加1元,但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品要使利润最大，车间应生产第 种档次的产品4.方程2x25xy2y2=2007的所有不同的整数解共有 组.三、(本大题满分20分)已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(,+2),B(1,),C(c,2c).求a2b2c2abbcca的值四、(本大题满分25分)如图,在O中,弦CD垂直于直径AB.M是OC的中点，AM的延长线交O于E，DE交BC于N.求证:BN=CN五、(本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、2006，然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体的数字作答）2007年全国初中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分细则一、选择题(本大题满分42分,每小题7分，共42分)1、C；2、A；3、D；4、B；5、A；6、D二、填空题(本大题满分28分,每小题7分，共28分)1、1a； 2、2； 3、3； 4、4三、(本大题满分20分)解：由条件知，+2=a+b,且= -a+b,解得a=-1,b=2-1. 5分于是2-c=ac+b=(-1)c+(2-1),解得c=-2 10分因此，a -b= -,b-c=+1,c-a= -1；a2b2c2abbcca=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(-)2+(+1)2+(-1)2=4+ . 20分四、(本大题满分25分)证明：连结AC和BD，弦CD垂直于直径AB,BC=BD. 5分BCD=BDC.OA=OC，OCA=OACBDC=OAC，BCD=OCABCDOCA= 15分在CDN和CAM中,DCN=ACM，CDN=CAM,CDNCAM； 20分=,CN=CB,即BN=CN. 25分五. (本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、2006，然后随意擦去一个数接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数（即乙先擦去其中的一个数，然后甲再擦去一个数，如此轮流下去），若最后剩下的两个数互质，则判甲胜；否则，判乙胜按照这种游戏规则，求甲获胜的概率（用具体的数字作答）解：由于甲、乙都非常聪明，他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。注意到2，3，4，2006中有1002个奇数，有1003个偶数；（1）若裁判擦去的是奇数，此时乙一定获胜乙不管甲取什么数，只要还有奇数，就擦去奇数，这样最后两个数一定都是偶数，从而所剩两数不互质，故乙胜； 10分（2）若裁判擦去的数是偶数，此时甲一定获胜。设裁判擦去的数是2m，则将所剩的数配成1002对：（2，3）