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2007年全国初中数学联赛四川初赛试题(3月24日上午9:0011:00)一、选择题(本大题满分42分,每小题7分)1.若a,b为实数,满足=,则(1+a+b)(1ab)的值是( )(A)1 (B)0 (C)1 (D)22.设p是正奇数,则p2除以8的余数等于( )(A)1 (B)3 (C)5 (D)73.已知ABC中,AB=AC=4,高AD=4,则ABC的外接圆半径是( )(A)3 (B)4 (C)5 (D)64.设a,b是整数,方程x2axb=0的一根是,则a+b的值是( ).(A)1 (B)0 (C)1 (D)25.工地上有甲、乙二块铁板,铁板甲形状为等腰三角形,其顶角为45,腰长为12cm;铁板乙形状为直角梯形,两底边长分别为4cm、10cm,且有一内角为60现在我们把它们任意翻转,分别试图从一个直径为8.5cm的圆洞中穿过,结果是( )(A)甲板能穿过,乙板不能穿过 (B)甲板不能穿过,乙板能穿过 (C)甲、乙两板都能穿过 (D)甲、乙两板都不能穿过 6.设抛物线y=x2kx4与x轴有两个不同的交点(x1,0),(x2,0),则下列结论中,一定成立的是( ).(A)x12x22=17 (B) x12x22=8 (C) x12x228二、填空题(本大题满分28分,每小题7分)1.已知不等式ax+30的正整数解为1,2,3,则a的取值范围是 .2.如图,在直角梯形ABCD中,AB=BC=4,M为腰BC上一点,且ADM为等边三角形,则SCDM:SABM= 3.有一种产品的质量要求从低到高分为1,2,3,4共四种不同的档次若工时不变,车间每天可生产最低档次(即第一档次)的产品40件,生产每件产品的利润为16元;如果每提高一个档次,每件产品利润可增加1元,但每天少生产2件产品.现在车间计划只生产一种档次的产品要使利润最大,车间应生产第 种档次的产品4.方程2x25xy2y2=2007的所有不同的整数解共有 组.三、(本大题满分20分)已知一次函数y=ax+b的图象经过点A(,+2),B(1,),C(c,2c).求a2b2c2abbcca的值四、(本大题满分25分)如图,在O中,弦CD垂直于直径AB.M是OC的中点,AM的延长线交O于E,DE交BC于N.求证:BN=CN五、(本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、2006,然后随意擦去一个数.接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜按照这种游戏规则,求甲获胜的概率(用具体的数字作答)2007年全国初中数学联赛四川初赛试题参考答案及评分细则一、选择题(本大题满分42分,每小题7分,共42分)1、C;2、A;3、D;4、B;5、A;6、D二、填空题(本大题满分28分,每小题7分,共28分)1、1a; 2、2; 3、3; 4、4三、(本大题满分20分)解:由条件知,+2=a+b,且= -a+b,解得a=-1,b=2-1. 5分于是2-c=ac+b=(-1)c+(2-1),解得c=-2 10分因此,a -b= -,b-c=+1,c-a= -1;a2b2c2abbcca=(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=(-)2+(+1)2+(-1)2=4+ . 20分四、(本大题满分25分)证明:连结AC和BD,弦CD垂直于直径AB,BC=BD. 5分BCD=BDC.OA=OC,OCA=OACBDC=OAC,BCD=OCABCDOCA= 15分在CDN和CAM中,DCN=ACM,CDN=CAM,CDNCAM; 20分=,CN=CB,即BN=CN. 25分五. (本大题满分25分)一场数学游戏在两个非常聪明的学生甲、乙之间进行.裁判先在黑板上写出下面的正整数2、3、4、2006,然后随意擦去一个数接下来由乙、甲两人轮流擦去其中的一个数(即乙先擦去其中的一个数,然后甲再擦去一个数,如此轮流下去),若最后剩下的两个数互质,则判甲胜;否则,判乙胜按照这种游戏规则,求甲获胜的概率(用具体的数字作答)解:由于甲、乙都非常聪明,他们获胜的关键是看裁判擦去哪个数。注意到2,3,4,2006中有1002个奇数,有1003个偶数;(1)若裁判擦去的是奇数,此时乙一定获胜乙不管甲取什么数,只要还有奇数,就擦去奇数,这样最后两个数一定都是偶数,从而所剩两数不互质,故乙胜; 10分(2)若裁判擦去的数是偶数,此时甲一定获胜。设裁判擦去的数是2m,则将所剩的数配成1002对:(2,3)
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