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安全检查问题摘要本文在合理假设的基础上，主要采用排队论和线性规划理论，有效地解决了机场安检设备的合理配置优化问题 以及航班时刻表的制作的问题。针对问题一，在合理的假设条件基础上，根据飞机乘客的到达规律成泊松分布、乘客的服务时间成负指数分布，建立多服务台的排队模型。以排队论为基础，结合A、B机场的数据，得到ETD台数对队长的影响。由于随着ETD台数的增加，队长减小的速度越来越缓慢，利用lingo优化求解得到高峰期A、B机场的ETD台数分别为50和51台。针对问题二，同样对假设条件进行详述，我们首先从航空公司的经济利益和乘客的等待时间考虑，将A、B航班高峰期分为16个时间段。然后以各个时段起飞的航班总乘客数与到达的平均乘客数的差的绝对值最小为目标函数，建立线性规划模型。在相应约束条件的基础上，根据lingo所得的最优解对A、B机场高峰期时段的航班表进行合理安排。针对问题三，我们首先利用问题一的排队模型和方法，求得A、B机场分别需要14台和15台EDS进行安检。在求解过程中我们发现，EDS台数不仅对队长有影响，同时影响乘客的等待时间。考虑到乘客的等待时间和其他各方面的综合因素，我们根据两机场EDS的最优台数配置，结合问题二，在原始航班表的基础上，每个时段的航班分别加上对应的总等待时间，对航班表进行了改动和优化。问题三同样需要在合理的假设上进行求解。针对问题四，所谓性价比，就是“性能/价格”。根据前三题的模型和表1的数据，对于ETD和EDS两种安检设备的性能，我们主要考虑其检查速度、准确率、操作可靠性和使用年限；对于价格，主要考虑ETD和EDS的成本和对应操作员的工资。通过公式计算得到ETD的性价比为18.2431，EDS的性价比为202.7192.。EDS的性价比明显高于ETD，因此建议购买EDS进行安检。最后，我们对模型进行了合理的评价和改进，并对其进行了推广，在机场安检配置和航班表优化实际问题中有较大的参考价值。关键词：机场安检 排队论 线性规划 性价比 一、 问题的重述为保证航班安全, 在机场每位乘客在登机前必须对行李进行安全检查。目前,主要使用EDS( explosive detection systems)和ETD(explosive trace detection machine)这两种设备进行此类检查。使用EDS时,其检查速度是件行李/小时,准确率为98.50%,装配花费为$1000000/台,设备的使用率为92%。使用ETD时,其检查速度是件行李/小时,准确率为99.70%,装配花费为$45000/台,设备的使用率为98%。A机场八类航班的数量分别是10、4、3、3、19、5、1、1；B机场为8、6、7、5、9、10、2、1,各种航班乘客数分别为34、46、85、128、142、194、215、350。问题一:以上是关于某国两个较大的机场A、B的数据,如果他们采用ETD进行行李安检,请建立一个模型并计算出这两个机场所需要的ETD台数。问题二:执行安检措施必然会耗费一些时间,参考表二中的数据建立一个模型用来决策如何合理安排高峰时段的航班时刻表,此处同样需要对建立模型所需的假设进行详细说明,利用你的模型给出这两个机场高峰时段的航班时刻表。问题三：如果A、B机场采用EDS进行安检，需要多少台EDS？航班时刻表需要改动吗？适当修改你的模型回答这两个问题。问题四：根据你上面所建立的模型，请分析一下EDS和ETD这两种安检设备，哪个性价比更高？你认为应该购买EDS或者ETD进行安检吗？2、 问题分析2.1问题一分析问题一要求我们计算A、B机场所需的ETD的台数。ETD的数量取决于在一定时间内能否使一定数量的乘客通过安全检查顺利登机,目标要使ETD的数量最优。根据乘客的到达形成泊松流的条件：无后效性、平稳性和普通性2，发现单位时间内到达机场的人数是随机独立的,并服从泊松分布。因此采用多服务台排队模型来优化该问题：在乘客数量一定的情况下, ETD的数量越少则队长越长 ,且要求ETD的数量满足机场的需求。2.2问题二分析问题二要求合理安排高峰时段的航班时刻表。我们的目标是使机场的支出最小化以及乘客的等待时间最小。考虑到机场的经济效益，我们将航班高峰期分成16个时间段, 每个时间段起飞的航班数不超过3,这样可以减小乘坐不同航班的乘客在检查顺序上出现的混乱。考虑用线性规划的方法，使各个时间段起飞的航班的总乘客与高峰期的各个时间段到达的平均乘客数的差的绝对值最小，进而得出机场的航班时间安排表。2.3问题三分析问题三要求我们计算A、B机场所需的EDS的台数及其航班安排表。ETD、EDS的差别在于检查的包裹数不一样。利用问题一的排队模型即可求解得出EDS所需的数量。考虑EDS的数量对乘客等待时间的影响，对问题二中机场航班的时间安排表进行优化。2.4问题四分析问题四是分析EDS和ETD的性价比，根据性价比选择机场应该购买的安检设备的类型。性价比是产品性能与价格的比值，根据题目给出的数据及查阅相关资料计算出安检设备的性能和所需要支出的费用，再分别求得EDS和ETD的性价比，最后比较两者性价比的大小，选择应该购买的设备类型。3、 模型假设1. 假设任何时间段乘客的人数不超过飞机座位总数；2. 假设两架飞机不能同时起飞，最短间隔为3分钟；3. 假设飞机的客座率在80%左右1；4. 乘客与安检设备数量取整；5. 假设乘客登机时间全花在安全检查上，其他时间均不考虑，对所有乘客的安全检查完毕即认为所有乘客均已登机，飞机即可起飞。4、 符号说明安检设备的数量平均每人携带的包裹数检查包裹的速度（个/时）系统中的乘客数的期望值系统中排队等待服务的乘客数的期望值一个乘客在系统中的停留时间一个乘客在系统中排队等待的时间系统内0个乘客的概率系统内个乘客的概率5、 模型建立与求解5.1问题一模型建立与求解5.1.1问题一假设在模型假设的基础上，问题一还需要如下假设：（1） 根据题意,以假设2为基础,得到飞机起飞的高峰期时段长为。（2） 乘客要么带1个包裹,要么带2个包裹, 假设这两种可能各占50%,则一个乘客平均包裹数为个，并且每个包裹必须经过检验；（3） 所有乘客都比飞机真正起飞时间提前452到达机场；（4） 每台ETD每小时检查（40+50）/2=45个包裹。5.1.2多服务台排队模型2建立乘客的到来服从泊松分布，平均到达率为，各服务台的服务时间负指数分布，而各服务台的工作时相互独立的，单个服务台的平均服务率为，则整个服务机构的平均服务率为（当），或。令为系统的服务强度（服务机构的平均利用率），当时，系统出现排队现象，即有顾客在排队等待。1.系统状态概率的平衡方程为：其中，且2.系统状态概率：，3.系统运行指标：（1）队长（平均乘客数）：（2）队列长（等待的平均乘客数）：（3） 系统中乘客的逗留时间：（4） 系统中乘客的等待时间：5.1.3模型求解（一）关于A机场的多服务台排队模型求解在高峰时间乘客到达的密度是最高点，如果ETD的台数能在高峰时期保持工作,那么在其他时间也能保持工作。根据假设（3）知乘客在飞机起飞前登机，又A机场的航班数量为46，且每两航班起飞时间间隔为，则所有乘客必须在内到达机场，见“图1：A机场离港时间分布”图1：A机场离港时间分布由假设（3）可设高峰期将有总人数的乘客离港，则单位时间内到达A机场的乘客的平均数。根据所给的数据可知：ETD每小时检查的包裹数为个，因此ETD检查包裹的速度（个/时），则平均服务率。根据假设（2），按每个乘客携带1.5个包裹计算，并结合机场高峰时段需要起飞的航班的座位数数据，可得A机场检查的总包裹数 又根据检查的总包裹数以及每位乘客携带1.5个包裹可得，A机场的乘客总数人，则平均到达率。对于系统的服务强度当时，队长趋于无穷大，这种情况要尽量避免；当且越接近1时，为整数；则ETD数量上取整数为最优解。可以求得A机场的ETD数量最少需要42台。在包裹检查的时候，各服务台的队长应保持尽量短，这样既能节约乘客的等待时间又能维持机场的秩序。结合排队模型，利用lingo编程（见附录1.1）分析：在A机场至少拥有10台ETD的基础上，每增加一台ETD与队长之间的变化情况，得到“表1：A机场ETD数量与队长的关系表”。表1：A机场ETD数量与队长的关系表ETD数量/台队长/m4280.594356.244449.124545.884644.124743.074842.414941.995041.75141.51利用matlab，做出ETD数量与队长的关系图，见“图2：A机场ETD数量与队长的关系图”。图2：A机场ETD数量与队长的关系图结合实际情况，机场不能积累太多的人, 意味着队长应该尽量短, 由“表1”、“图2”可以看出：随着ETD数量的增加，队长在逐渐减小，但是观察折线的斜率可以发现，随着ETD数量的增加,队长虽在减小，但是台数在50台之后队长减小得很慢。因此取。（二）关于B机场的多服务台排队模型求解同理A机场的排队模型求解，对B机场的排队模型进行求解。根据假设（3），所有乘客均需要在内到达机场，见“图3：B机场离港时间分布”。图3：B机场离港时间分布单位时间内到达B机场的乘客的平均数,ETD检查包裹的速度（个/时），ETD平均服务率,B机场检查的总包裹数: B机场的乘客总数人，平均到达率,带入、的值，结合排队模型，可以求得B机场的ETD数量最少为43台。结合排队模型，利用lingo编程（见附录1.2）分析：在B机场至少拥有10台ETD的基础上，每增加一台ETD与队长之间的变化情况，得到“表2：B机场ETD数量与队长的关系表”。表2：B机场ETD数量与队长的关系表ETD数量/台队长/m43104.064474.594556.514650.394747.454845.814944.82续表2：B机场ETD数量与队长的关系表5044.185143.765243.495343.35443.17利用matlab，做出ETD数量与队长的关系图，见“图4：B机场ETD数量与队长的关系图”。图4：B机场ETD数量与队长的关系图由“表2”、“图4”可以看出：随着ETD数量的增加，队长在逐渐减小，但是观察折线的斜率可以发现，折线越来越平缓，特别地，台数在51台之后，多增加一台ETD，队长的变化不大，又考虑到机场的经济效益，因此选取台。5.1.4稳定性分析影响模型目标的参数有，而对于确定的机场和设备而言,它们的参数是一定的,即是常数。因此,仅讨论。由曲线图可以看到的数量达到一定时对的大小影响不大。所以，对是稳定的。5.2问题二模型建立与求解5.2.1问题二假设在模型假设的基础上，问题二还需要如下假设： （1）飞机安检在航班表时间前时段进行。假设乘客必须在飞机起飞之前45到达安检处, 乘客的行李必须检查安全乘客才能进入候机大厅。也就是说这45没有行李在检查,45时间是留给行上机、飞机加油、飞机系统检查的时间； （2）不考虑高峰期飞机航班离港次序； （3）乘客从0时刻开始陆续到达机场。5.2.2线性规划模型3建立A机场高峰期接待的乘客为4318人，从各航班的座位数量来看，选取最大的航班座位数350，按80%的客座率计算，本航班至少需要280名乘客才能保证机场的经济效益，在保证乘客的等候时间尽量短的情况下，、将机场航班起飞的时间段分为段。而A机场的航班数量为46，则每个时间段起飞的航班数不会超过。同理A机场的线性规划模型求解，结合B机场接待的乘客数量，将航班起飞的时间段分为16段，每段起飞的航班数不超过3。由于机场各航班数量与飞机座位数的差异性，为使各个时间段起飞的航班的总乘客与到达的平均乘客数的差的绝对值最小，又考虑到飞机的座客率，即 (2.1)而根据题目所给的机场高峰时起飞的航班数据表，可得(1)每种航班每个时段起飞数对应的数量要与每种航班的航班数量相符，即 (2.2)(2)每种航班每个时段起飞数总和要与航班数量的总和相对应，即 (2.3)(3) 每种航班每个时段起飞数是非负的，即 (2.4)基于上述的分析，我们以（2.1）为目标函数，以（2.2）-（2.4）约束条件，建立如下线性规划模型：具体的模型说明，见下表：表3：线性规划模型说明80%客座率第航班第时段起飞数第航班的座位数每段时间的平均乘客数第航班的航班数量机场的航班总数量5.2.3模型求解（1） 关于A机场的线性规划模型求解从所给的“A、B机场高峰时段起飞的航班表”可以得出关于A机场的数据：（1）航班座位数；（2）每段时间的平均乘客数；（3）每种航班数量；（4）航班总数量；将上述数据带入线性规划模型中，即可求出第航班第时段起飞数。利用lingo编程（见附录2.1）求解，得出8种航班每次起飞的航班数，具体的起飞时间安排见“表4：A机场航班安排表”。表4：A机场航班安排表航班序号航班序号航班序号512011745219112951775222113261808225513551834228113861865231114161895234514451924237114761954240115061985243515322012246115652043249515952075252续表4：A机场航班安排表7162221032551165221332581168521652615171（2） 关于B机场的线性规划模型求解从所给的“A、B机场高峰时段起飞的航班表”可以得出关于B机场的数据：（1）航班座位数；（2）每段时间的平均乘客数；（3）每种航班数量；（4）航班总数量；将上述数据带入线性规划模型中，即可求出第航班第时段起飞数。利用lingo编程（见附录2.2）求解，得出8种航班每次起飞的航班数，具体的起飞时间安排见“表5：B机场航班安排表”。表5：B机场航班安排表航班序号航班序号航班序号1120516822161123517162191126517462221129517762251132518022281135518342311138518642341141818942373144219242403147519542433150619822463153620172493156620472523159620762553162221062585165221362615.3问题三模型建立与求解5.3.1模型建立（1） 利用问题一的模型求解A、B机场所需要的EDS台数。（2） 利用问题二的模型，但是该模型并没有考虑某一段时间段的乘客突然间在飞机登机口关闭时刻才到达。基于问题二的模型，考虑乘客的等待时间，得出A、B机场的航班安排表。5.3.2模型求解关于A机场的排队模型求解（一）关于A机场的排队模型求解，可以求得A机场的EDS数量最少为10台。利用lingo编程（见附录3.1）分析：在A机场至少拥有10台EDS的基础上，每增加一台EDS与队长之间的变化情况，得到“表6：A机场EDS数量与队长的关系表”。表6：A机场EDS数量与队长的关系表EDS数量/台队长/m1044.881116.61212.181310.911410.411510.181610.07利用matlab做出EDS数量与队长的关系图，见“图5：A机场EDS数量与队长的关系图”。图5：A机场EDS数量与队长的关系图由“表6”、“图5”可以看出：随着EDS数量的增加，队长在逐渐减小，但是观察折线的斜率可以发现，随着EDS数量的增加，曲线越来越平缓，在台数超过14之后对队长的影响并不是很大。因此选取台。（2） 关于A机场的线性规划模型求解但在实际情况中可能会出现这种情况：在某一段时间段，乘客在飞机登机口关闭时刻才到达。因此我们需要考虑乘客在每个时间段内所需要等待的最大时间。根据排队论得出各时间段乘客在系统中排队等待的时间总和：而且EDS 的台数的配置对乘客等待时间有所影响，从而影响到航班表的安排，结合问题二，在原始航班表的基础上，每个时段的航班加上对应的总等待时间，得到优化后的航班表，见表7。表7：A机场航班安排表航班序号航班序号航班序号51261176522411315179822711346182423051375185523311406188523611436191423951465194424211496197524511526200224851552203325111585206525451615209325771642212326011672215526311705218517352关于B机场的模型求解（一）关于B机场的排队模型求解带入、的值，结合排队模型，可以求得B机场的EDS数量最少为11台。结合排队模型，利用lingo（见附录3.2）分析：在B机场至少拥有10台EDS的基础上，每增加一台EDS与队长之间的变化情况，得到“表5：B机场EDS数量与队长的关系表”。表8：B机场EDS数量与队长的关系表EDS数量/台队长/m1124.691213.971311.831411.061510.721610.561710.48利用matlab做出EDS数量与队长的关系图，见“图6：B机场EDS数量与队长的关系图”。图6：B机场EDS数量与队长的关系图由“表8”、“图6”可以看出：随着EDS数量的增加，队长在逐渐减小，但是观察折线的斜率可以发现，随着EDS数量的增加，B机场EDS数量与队长的折线的倾斜程度越来越小，特别是在台数超过15台之后。因此选取台。（2) 关于B机场的线性规划模型求解同理A机场的线性规划模型求解。根据排队论得出各时间段乘客在系统中排队等待的时间总和：基于问题二的航班安排，得出优化后的航班安排表，具体见表9。表9：B机场航班安排表航班序号航班序号航班序号1122517022181125517362211128517662241131517962271134518222301137518542331140518842361143819142393146219442423149519742453152620022483155620372513158620672543161620962573164221262605167221562635.4问题四模型建立与求解性价比是商品的性能值与价格值比，是反映物品的可买程度的一种量化的计量方式。所谓性价比，全称是性能价格比，是一个性能与价格之间的比例关系，具体公式：性价比=性能/价格。在购买某个商品过程中或多或少都需要了解，商品品质好、价格低，性价比高。根据题目所给数据这里只考虑安检设备的2个性能：（1）使用年限内能正确检查多少件行李；（2）使用年限内可靠时间是多少。根据这两个指标之积与设备在使用年限内的总耗费相除得出的结果，得出安检设备的性价比。查阅资料，结合题目所给的数据，得知关于安检设备的相关信息，如下表：表10：安检设备相关信息安检设备项目使用年限检查速度（个/时）操作员的工资准确率设备所需费用（每台/美元）操作可靠性EDS15年$350098.50%1,000,000 92%时间内可用ETD20年$3500099.70%45,000 98%时间内可用我们可以根据公式“”,求解安检设备的性价比，即ETD与EDS性价比，并根据求得的性价比的数值进行比较，性价比值越大，说明该安检设备的性价比越高。则根据上述的公式，分别计算EDS与ETDD性价比，则EDS的性价比为.ETD的性价比为.从ETD与EDS的性价比所包含的因素分析，EDS的使用年限虽只有ETD的使用年限的，但ETD操作员的工资却是EDS操作员的10倍，而且EDS的检查快捷，则乘客的等待时间将会相对减少，那么从乘客的角度以及机场的经济效益出发，EDS比ETD更适合作为安检设备。从EDS与ETD的性价比的计算结果来看，EDS的性价比值为203，而ETD的性价比只有18，只占EDS的，显然EDS的性价比比ETD的高。可以说，EDS的性价比较ETD的越高，且性能越好，越值得购买。综上所述，购买EDS安检仪更能满足机场的需求。6、 模型评价与推广6.1模型的评价6.1.1模型的优点问题1：建立多服务台的排队论模型，准确有效地解决了机场的安检配置问题。过程简洁严谨，充分利用了乘客的到达规律和服务的时间规律，得到的最优解也较符合实际情况。问题2：对于航班表的安排和制定问题，最优化的线性规划模型具有很强的实际意义，并且通用性强，结果体现科学性可靠性。问题3：将排队论模型和线性规划有机结合，对安检设配进行优化配置，对航班表进行科学优化。过程体现严谨性，结果体现可信性。6.1.2模型的缺点1、 机场的安全问题建立是在一定的假设基础进行的，具有一定的局限性。但是科学的模型和严谨的计算处理有效地弥补了这一缺点。2、 航班表的制定是一件相当细致的工作，在应用线性规划考虑问题的过程中可能缺乏一定的实际基础和客观因素。需要结合各方面资料和综合因素进行改进。6.2模型的推广 本文的排队论模型和线性规划模型，科学严谨，准确有效地解决了机场的安全问题。此外，对于银行服务、公交车座位安排、优化加油站的油桶等问题具有很大的借鉴和参考意义。177、 参考文献1作者不详.中国民航客座率高于世界平均数10%./news/1355,20130219273503872.html.访问时间（2014.8.23）.2韩中庚.数学建模方法及其应用（第二版）.北京：高等教育出版社，2009.3姜启源.数学模型（第四版）.北京：高等教育出版社，2011.8、 附录附录1.1问题一：A机场ETD安检设备的数量：以S=50为例程序： model:S=50;R=20.56; T=1/0.5; load=R*T;Pwait=peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); L_q=R*W_q; W_s=W_q+T; L_s=W_s*R;End Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Variable Value S 50.00000 R 20.56000 T 2.000000 LOAD 41.12000 PWAIT 0.1255055 W_Q 0.2826700E-01 L_Q 0.5811695 W_S 2.028267 L_S 41.70117 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000 8 0.000000 9 0.000000附录1.2B机场ETD安检设备的数量：以S=51为例程序： model:S=51;R=22.07; T=1/0.5; load=R*T;Pwait=peb(load,S); W_q=Pwait*T/(S-load); L_q=R*W_q; W_s=W_q+T; L_s=W_s*R;End结果： Feasible solution found. Total solver iterations: 0 Variable Value S 51.00000 R 22.07000 T 2.000000 LOAD 44.14000 PWAIT 0.2308929 W_Q 0.6731571E-01 L_Q 1.485658 W_S 2.067316 L_S 45.62566 Row Slack or Surplus 1 0.000000 2 0.000000 3 0.000000 4 0.000000 5 0.000000 6 0.000000 7 0.000000 8 0.000000 9 0.000000附录2.1问题二：A机场各时间段航班数量安排情况：程序：model:sets:hangban/1.8/:R,S;shiduan/1.16/;links(hangban,shiduan):x;endsetsdata:s=10 4 3 3 19 5 1 1;R=34 46 85 128 142 194 215 350;enddatamin=(sum(shiduan(j):abs(sum(hangban(i):x(i,j)*R(i)-270);sum(links:x)=46;for(hangban(p):sum(shiduan(d):x(p,d)=S(p);for(shiduan(k):sum(hangban(i):x(i,k)=3);for(links:gin(x);for(links:bnd(0,x,3);End附录2.2B机场各时间段航班数量安排情况：model:sets:hangban/1.8/:R,S;shiduan/1.16/;links(hangban,shiduan):x;endsetsdata:s=8 6 7 5 9 10 2 1;R=34 46