（新高考）2020高考数学二轮复习大题考法专训（八）导数的综合问题.docx

大题考法专训（八） 导数的综合问题A级中档题保分练1已知函数f(x)ln x4ax，g(x)xf(x)(1)若a，求g(x)的单调区间；(2)若a0，求证：f(x)2.解：(1)由a，得g(x)xln xx2(x0)，所以g(x)ln xx1.令h(x)ln xx1，则h(x)，故h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减，h(x)maxh(1)0，从而当x0时，g(x)0恒成立，故g(x)的单调递减区间为(0，)，无单调递增区间(2)证明：f(x)4a，由a0，令f(x)0，得x，故f(x)在上单调递增，在上单调递减，所以f(x)maxfln 1，所以只需证明ln 12，即证明ln 4a10.令(a)ln 4a1，则(a)，令(a)0，得a，令(a)0，得0a，所以(a)在上单调递减，在上单调递增，所以(a)min0，所以ln 4a10，原不等式得证2(2019郑州第二次质量预测)已知函数f(x)axln xbx2ax.(1)若曲线yf(x)在点(1，f(1)处的切线方程为xy0，求a，b的值；(2)若a0，b时，x1，x2(1，e)，都有3，求a的取值范围解：(1)由题意知，f(x)a(1ln x)2bxaaln x2bx，则f(1)2b1，所以b，又f(1)ba，所以a1.即a1，b.(2)当a0，b时，f(x)aln xx0在(1，e)上恒成立，所以f(x)在(1，e)上单调递减不妨设x1x2，则f(x1)f(x2)，原不等式可化为3，即f(x1)f(x2)3x23x1，即f(x1)3x1f(x2)3x2.令g(x)f(x)3x，则g(x)在(1，e)上单调递增，所以g(x)f(x)3aln xx30在(1，e)上恒成立，即a在x(1，e)上恒成立令h(x)，x(1，e)，h(x)，令(x)ln x1，x(1，e)，则(x)0，所以(x)在(1，e)上单调递减，(x)(e)0，所以h(x)0，h(x)在(1，e)上单调递增，h(x)h(e)e3，所以ae3.综上，a的取值范围为e3,03已知函数f(x)(x1)2xln x(a0)(1)讨论f(x)的单调性；(2)若1ae，试判断f(x)的零点个数解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)a(x1)1，令f(x)0，则x11，x2，若a1，则f(x)0恒成立，所以f(x)在(0，)上单调递增若0a1，则1，当x(0,1)时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x时，f(x)0，f(x)单调递增若a1，则01，当x时，f(x)0，f(x)单调递增，当x时，f(x)0，f(x)单调递减，当x(1，)时，f(x)0，f(x)单调递增综上所述，当a1时，f(x)在(0，)上单调递增；当0a1时，f(x)在(0,1)，上单调递增，在上单调递减；当a1时，f(x)在，(1，)上单调递增，在上单调递减(2)当1ae时，f(x)在(1，)上单调递增，在上单调递减，所以f(x)的极小值为f(1)10，f(x)的极大值为f2ln ln a1.设g(a)ln a1，其中a(1，e)，则g(a)0，所以g(a)在(1，e)上单调递增，所以g(a)g(e)20.因为f(4)(41)24ln 494ln 4ln 40，所以存在x0(1,4)，使f(x0)0，所以当1ae时，f(x)有且只有一个零点B级拔高题满分练1已知函数f(x)ln xa，aR.(1)若f(x)0，求实数a的取值集合；(2)证明：ex2ln xx2(e2)x.解：(1)由已知，有f(x)(x0)当a0时，fln 2a0，与条件f(x)0矛盾，不合题意当a0时，若x(0，a)，则f(x)0，f(x)单调递减若x(a，)，则f(x)0，f(x)单调递增f(x)在(0，)上有最小值f(a)ln aaln a1a.由f(x)0，知ln a1a0.令g(x)ln xx1(x0)，则g(x)1.当x(0,1)时，g(x)0，g(x)单调递增；当x(1，)时，g(x)0，g(x)单调递减g(x)在(0，)上有最大值g(1)0，g(x)ln xx10.ln aa10.ln aa10，a1.综上，当f(x)0时，实数a的取值集合为1(2)证明：由(1)可知，当a1时，f(x)0，即ln x1在(0，)上恒成立，要证ex2ln xx2(e2)x，只需证当x0时，exx2(e2)x10.令h(x)exx2(e2)x1(x0)，则h(x)ex2x(e2)令u(x)ex2x(e2)，则u(x)ex2.令u(x)0，得xln 2.当x(0，ln 2)时，u(x)0，u(x)单调递减；当x(ln 2，)时，u(x)0，u(x)单调递增即h(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，)上单调递增而h(0)1(e2)3e0，h(ln 2)h(1)0，存在x0(0，ln 2)，使得h(x0)0.当x(0，x0)时，h(x)0，h(x)单调递增；当x(x0,1)时，h(x)0，h(x)单调递减；当x(1，)时，h(x)0，h(x)单调递增又h(0)110，h(1)e1(e2)10，对任意x0，h(x)0恒成立，即exx2(e2)x10.综上所述，ex2ln xx2(e2)x成立2已知函数f(x)ln x，g(x).(1)求函数f(x)在1，)上的最小值；(2)设ba0，证明：；(3)若存在实数m，使方程g(x)m有两个实数根x1，x2，且x2x1，证明：x1x25.解：(1)因为f(x)0，所以f(x)在1，)上单调递增又f(1)0，所以f(x)minf(1)0.(2)证明：由(1)知，当x1，)时，f(x)ln x0，即ln x，由ba0，得1，所以ln ，化简得ln bln a，所以.(3)证明：由m，可得ln ln ，即ln ex11ln(2x13)ln ex21ln(2x23)，所以ln(2x23)ln(2x13)x2x1.所以由(2)知，2，化简得2，即x1x25.3(2019洛阳统考)已知函数f(x)x2aln x.(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若a0，函数f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求a的取值范围解：(1)f(x)x(x0)a0时，f(x)0，所以f(x)在(0，)上单调递增；a0时，由f(x)0，得x；由f(x)0，得0x，所以f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增综上，当a0时，f(x)在(0，)上单调递增；当a0时，f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增(2)当a0时，由(1)知f(x)在(0，)上单调递减，在(，)上单调递增，若1，即0a1时，f(x)在(1，e)上单调递增，f(1)，f(x)在区间(1，e)上无零点若1e，即1ae2时，f(x)在(1，)上单调递减，在(，e)上