【数学】1.4 数学归纳法 课件(北师大版选修2-2).ppt

第一章推理与证明 4数学归纳法 举例说明 一个数列的通项公式是 an n2 5n 5 2请算出a1 a2 a3 a4 猜测an 由于a5 25 1 所以猜测是不正确的 所以由归纳法得到的结论不一定可靠 1 1 1 1 猜测是否正确呢 课题引入 不完全归纳法 如何通过有限个步骤的推理 证明n取所有正整数都成立 思考 这个游戏中 能使所有多米诺骨全部倒下的条件是什么 多米诺骨牌 domino 是一种用木制 骨制或塑料制成的长方形骨牌 玩时将骨牌按一定间距排列成行 轻轻碰倒第一枚骨牌 其余的骨牌就会产生连锁反应 依次倒下 多米诺是一项集动手 动脑于一体的运动 一幅图案由几百 几千甚至上万张骨牌组成 骨牌需要一张张摆下去 它不仅考验参与者的体力 耐力和意志力 而且还培养参与者的智力 想象力和创造力 先从多米诺骨牌游戏说起 只要满足以下两个条件 所有多米诺骨牌就能全部倒下 2 任意相邻的两块骨牌 前一块倒下一定导致后一块倒下 依据 条件 2 事实上给出了一个递推关系 当第k块倒下时 相邻的第k 1块也倒下 思考 你认为证明数列的通项公式是这个猜想与上述多米诺骨牌游戏有相似性 你能类比多米诺骨牌游戏解决这个问题吗 1 第一块骨牌倒下 基础 多米诺骨牌游戏的原理 这个猜想的证明方法 1 第一块骨牌倒下 2 若第k块倒下时 则相邻的第k 1块也倒下 根据 1 和 2 可知不论有多少块骨牌 都能全部倒下 1 当n 1时猜想成立 2 若当n k时猜想成立 即 则当n k 1时猜想也成立 即 根据 1 和 2 可知对任意的正整数n 猜想都成立 已知数列 数学归纳法的概念 定义 对于某些与正整数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0 n0 N 时命题成立 归纳奠基 2 然后假设当n k k N k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 归纳递推 这种证明方法就叫做 数学归纳法 验证n n0时命题成立 若n k k n0 时命题成立 证明n k 1时命题也成立 归纳奠基 归纳递推 命题对从n0开始所有的正整数n都成立 例1 用数学归纳法证明 1 3 5 2n 1 n2 2 假设n k时 等式成立 即 1 n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 1 3 5 2k 1 k2 那么当n k 1时 由 可知对任何n N 时 等式都成立 需要证明的式子是 1 3 5 2k 1 2k 1 k2 2k 1 k 1 2 这就是说 当n k 1时 等式也成立 同样的方法 我们可以用数学归纳法证明首项为a1 公差为d的等差数列的前n项和公式 具体详解请同学们看本节教材例1 数学建构 类比多米诺骨牌游戏证明情境1中的猜想的步骤为 1 证明当n 1时猜想成立 2 证明若当n k时命题成立 则n k 1时命题也成立 完成了这两个步骤以后就可以证明上述猜想对于所有的正整数n都是成立的 相当于第一张牌能倒下 相当于使所有骨牌倒下的第2个条件 证明 当n 1时 左边 1 右边 等式显然成立 例2证明 递推基础 递推依据 假设当n k时等式成立 即 那么 当n k 1时 有 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 和 可知对任何n N 等式都成立 证明 1 当n 1时 等式是成立的 2 假设当n k时等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可知等式对任何都成立 试用数学归纳法证明 点评 利用数学归纳法证明和正整数相关的命题时 要注意三句话 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 证明 当n 1时 左边 1 右边 等式显然成立 练习2 1 用数学归纳法证明 假设当n k时等式成立 即 那么 当n k 1时 有 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 和 可知对任何n N 等式都成立 证明 当n 1时 左边 1 右边 等式显然成立 练习2 2 用数学归纳法证明 假设当n k时等式成立 即 那么 当n k 1时 有 这就是说 当n k 1时 等式也成立 根据 和 可知对任何n N 等式都成立 2 数学归纳法证明一个与正整数有关的数学命题的步骤是 1 证明当取第一个值 如或2等 时命题成立 递推基础 在完成了这两步骤以后 就可以断定命题对于从n0开始的所有正整数n都成立 1 数学归纳法适用范围 仅限于与正整数有关的数学命题 3 数学归纳法优点 克服了完全归纳法的繁杂 不可行的缺点 又克服了不完全归纳法结论不可靠的不足 是一种科学方法 使我们认识到事情由简到繁 由特殊