二次函数中的数学思想 (2).doc

二次函数中的数学思想 湖北省武汉市新洲区实验中学 陶胜和【选题说明】二次函数中的数学思想不是教材的具体章节内容，而是学生在学习完了二次函数，即完成初中阶段最为重要的一个板块的学习后，对里面所涉及到的一些数学思想的一个整理、提炼的课程。本课旨在通过对二次函数中涉及到的各种典型数学思想的提炼教学，使数学课堂得到一种升华，从而使学生更加清晰自己所经历过的数学思想，在今后的数学学习中能更好的进行创造性学习。本课力图通过一种集教学与赏析的课堂呈现方式，使学生在感悟数学美的过程中提升对数学的喜爱。本课集中体现了类比、从特殊到一般、函数与方程、数形结合、转化、分类讨论等重要的数学思想，对图形变换、函数建模等思想因为时间关系只是提出，期望通过今后的学习进一步加强。【教学目标】1.提炼总结二次函数中涉及到的一些重要的数学思想。2.展示典型例题，感知题目中蕴含的各种数学思想。3.通过提炼归纳和综合题目的训练，使数学思想进一步渗透到学生的头脑中，为今后能更好的进行创造性学习打下基础。【教学重点】总结并提炼二次函数中涉及到的数学思想并通过典型例题呈现。【教学难点】学生感悟数学思想在综合题目中的渗透与应用。【教学过程】本节课的教学，大致按照“知识回顾，感知思想-例题呈现，提炼思想-归纳小结，反思思想-综合应用，感受思想-思维训练，强化思想”五个环节进行组织教学环节教 学 内 容设 计 意 图一、揭 示 课 题1导入：德国数学家克莱因告诉我们：数学是一种精神，一种理性的精神。 正是这种精神，激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活。 因此，数学的学习，更重要的是数学思想的学习,只有突破数学思想，才能进行创造性的学习.2揭示课题： 二次函数中的数学思想以数学家的名言导入，引发学生关注学习过程中的数学思想，同时指出在初中阶段二次函数板块中蕴含着较多的数学思想，自然地揭示本课课题。教学环节教 学 内 容设 计 意 图二、知识回顾，感知数学思想一：再学函数： -类比的数学思想一次函数反比例函数二次函数 定义 图像 性质 应用 根据学生原来学习函数的经验，指出二次函数的学习主线，让学生感知此类学习方法中蕴含的类比的数学思想。二：探究二次函数图像与性质 -从特殊到一般的数学思想 回顾二次函数图像和性质的研究过程，将学生曾亲自探究的过程再现，让学生从中感知从特殊到一般的数学思想。三、选择适当的方法求函数解析式：交点式顶点式一般式 已知某二次函数的图像过（-1，10）、（1，4）、（2，7）三点，求这个函数的解析式。已知某二次函数图像顶点（-2，1）且经过（1,0)，求二次函数解析式 。已知某二次函数图像与X轴交于(2,0) (-1,0)且过点(0,-2)求二次函数解析式 。归纳： 二次函数中的方程思想方程思想是通过列方程（组）求解函数问题的解题策略，体现了已知和未知的对立统一关系，除用待定系数法求二次函数解析式外，在二次函数的一些综合题目中也时有应用。且难度可深可浅，使函数的学习变得更加多样化。通过给定三个不同已知条件的例题，复习用待定系数法求二次函数解析式的过程中，让学生明显意识到，此类问题都需要建立方程或者方程组来解决，从而让学生感到方程思想在二次函数中的广泛应用，并体会到函数中的方程思想的重要性。教学环节教 学 内 容设 计 意 图设问提出问题：是否还有其他的数学思想也渗透在二次函数的学习中呢？设置悬念，激发好奇心。三、例题呈现、提炼数学思想四：数形结合的数学思想数缺形时少直觉，形少数时难入微-华罗庚典型例题呈现：xO-11-34y41-3O-1xy如图是抛物线y=ax2+bx+c(a0) 的图像,请尽可能多的说出一些结论。问题1： 方程-(x+1)2+4=0有几个实数解? 方程-(x+1)2+4=1有几个实数解?设问：你是怎么想的？如果结合图像去思考呢？问题2：结合图像思考： 当m为何值时, 方程-(x+1)2+4=m 有两个不相等的实数根; 有两个相等的实数根; 没有实数根?问题3：若直线y1=kx+m与抛物线y2=ax2+bx+c交于A(1,0),B(-1,4)两点. 观察图像填空：(1) 方程ax2+bx+c=kx+m的解为 . (2)不等式ax2+bx+ckx+m 的解为 . (3)不等式ax2+bx+ckx+m的解为 . 数形结合思想在学生的整个学习中是应用最多的思想，所以此处层层递进，连续设置三个问题让学生强烈感受数形结合思想给解题带来的便捷，从而认识到此思想的重要性。 用数表达,用形释义， 数形结合，相得益彰。五：转化的数学思想例：已知实数x、y满足，则 的最大值为 。 思路：将二元方程解的问题转化为二次函数的问题来求解。将较为复杂的问题转化为已经学过的函数问题来解决，使学生感受转化思想的灵活性。教学环节教 学 内 容设 计 意 图三、例题呈现、提炼数学思想六：分类讨论的数学思想例：若函数 的图象与x轴总有交点，求a的取值范围。分析：当被研究的问题包含多种可能情况，不能一概而论时，必须按可能出现的所有情况来分别求解。由于题设中并未说明函数的次数也未说明图象与x轴交点的个数，因此，所给函数既可以是二次函数，又可以是一次函数。分类讨论思想是数学学习中又一个非常重要的数学思想，它不仅仅是在二次函数中才涉及，学生早在初一学习绝对值时就已接触。它的应用领域非常广泛，此处提出是为学生在综合题型特别是压轴题的解答中能全面考虑而再次做准备。四、归纳小结，反思数学思想归纳小结：1.类比的数学思想；2.从特殊到一般的数学思想；3.函数中的方程思想；4.函数思想；5.数形结合的数学思想；6.转化的数学思想；7.分类讨论的数学思想二次函数中的其他数学思想：图形变换思想；函数建模思想通过课堂小结，回顾曾经学习过的数学思想，完善认识结构，强化情感体验，提高认识能力。使得在今后的学习中更加关注各类数学思想。五、综合应用，感受数学思想例：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的横坐标分别为-1,3，与y轴负半轴交于点C，则下列说法正确的是 。 （1）2a+b=0；（2）a+b+c0；（3）只有当a= 时，ABD是等腰直角三角形；（4）使ABC为等腰三角形的a的值可以有3个。CADBE二次函数中的数学思想都不会是单一呈现的，在一道综合题目中往往汇聚着各种数学思想。所以在分别提炼了各类数学思想后，此处设置了一道宜宾市的中考题，让学生去感受题目中蕴含的数形结合思想、方程思想、转化思想、分类讨论思想等，从而加深对各类数学思想的感悟。教学环节教 学 内 容设 计 意 图 六、思维训练，强化思想课外作业：思维训练1：如图为二次函数的图象，给出下列说法： ；方程的 的根为 当 时，y随x值的增大而增大；当 时， 其中，正确的说法有 （请写出所有正确说法的序号）思维训练2：如图,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于B、C两点,与y轴交于A点.(1)根据图象确定a、b、c的符号,并说明理由;(2)如果点A的坐标为(0,-3),ABC=45,ACB=60,求这个二次函数的解析式.思维训练3：例：如图,二次函数y=x2 +（2k-1)x+k+1的图象与x轴交于O、A两点.(1)求这个二次函数的解析式;(2)在这条抛物线对称轴右边的图像上有一点B，使锐角AOB的面积等于3，求点B的坐标。.这是在结束本课的学习后为学生设计的三道比较典型的中考题目，难度不大，但题目中都包含了很多数学思想。