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高等数学 A 第三章中值定理与导数的应用 中值定理 洛必达法则 泰勒公式 导数的应用 学习重点 理解罗尔定理 掌握拉格朗日中值定理及其推论 微分中值定理包括 罗尔 Rolle 定理 拉格朗日 Lagrange 中值定理和柯西 Cauchy 中值定理 微分中值定理的共同特点是 在一定的条件下 可以断定在所给区间内至少有一点 使所研究的函数在该点具有某种微分性质 微分中值定理是微分学的理论基础 是利用导数研究函数性质的理论依据 一 费尔马 Fermat 引理 1 极值 局部最值 的定义 则称函数 或极小值 并称为 2 费尔马 Fermat 引理 极值必要条件 证明 称使的点为函数的驻点 二 罗尔 Rolle 定理 怎样证明罗尔定理 想到利用闭区间上连续函数的最大最小值定理 证明 三 拉格朗日 Lagrange 定理 怎样证明拉格朗日定理 拉格朗日定理若添加条件 则为罗尔定理 罗尔定理若放弃条件 则推广为拉格朗日定理 知识扩张所遵循的规律之一就是将欲探索的新问题转化为已掌握的老问题 满足罗尔定理条件 弦线与f x 在端点处相等 设 所以函数 证明 构造辅助函数 拉格朗日公式各种形式 推论1 证 拉格朗日中值定理的推论 推论2 推论3 推论4 四 柯西 Cauchy 定理 证明 构造辅助函数 例1 设函数f x x 1 x 2 x 3 试判断方程f x 有几个实根 分别在何区间 解 因为f 1 f 2 f 3 且f x 在 1 2 上连续 在 1 2 内可导 由罗尔定理 1 1 2 使f 1 同理 2 使f 2 又因f x 是二次方程 至多两个实根 故f x 有两个实根 分别位于 1 2 和 2 3 内 例 设f x x2 x 在 1 1 上验证拉格朗日中值定理的正确性 解 1 f x x2 x在 1 1 上连续 在 1 1 内可导 2 看是否存在 1 1 使得f 1 f 1 f 2 即2 2 1 2 0 或4 0 0 1 1 故 0 1 1 使得f 1 f 1 f 2 例 证明当x 0时 证 改写原式 利用公式 证不等式时 往往要把待证式中的一部分写成的形式 以便构造函数f x 所以 记f t ln 1 t 知f t 在 0 x 上满足拉格朗日中值定理的条件 且 因 故 证 在内可导 且 设 显然在上连续 即 例5 设f x 在 内可导 f 0 0 证明 使得2f f 3 2 f2 1 证 这一类问题 往往可考虑用中值定理解决 变形 注意到 左端 从而 待证式为 故 记F x f2 x g x x
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