概率论与数理统计(04).ppt

第四章数字特征 主讲 周仲礼 一 数学期望 在前面的课程中 我们讨论了随机变量及其分布 如果知道了随机变量X的概率分布 那么X的全部概率特征也就知道了 然而 在实际问题中 概率分布一般是较难确定的 而在一些实际应用中 人们并不需要知道随机变量的一切概率性质 只要知道它的某些数字特征就够了 因此 在对随机变量的研究中 确定某些数字特征是重要的 其中最常用的是 期望和方差 一 离散型随机变量的数学期望 概念的引入 某车间对工人的生产情况进行考察 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量 如何定义X的平均值呢 我们来看这个问题 若统计100天 例1某车间对工人的生产情况进行考察 车工小张每天生产的废品数X是一个随机变量 如何定义X的平均值呢 32天没有出废品 30天每天出一件废品 17天每天出两件废品 21天每天出三件废品 可以得到这100天中每天的平均废品数为 这个数能否作为X的平均值呢 可以想象 若另外统计100天 车工小张不出废品 出一件 二件 三件废品的天数与前面的100天一般不会完全相同 这另外100天每天的平均废品数也不一定是1 27 n0天没有出废品 n1天每天出一件废品 n2天每天出两件废品 n3天每天出三件废品 可以得到n天中每天的平均废品数为 假定小张每天至多出三件废品 一般来说 若统计n天 这是以频率为权的加权平均 由频率和概率的关系 不难想到 在求废品数X的平均值时 用概率代替频率 得平均值为 这是以概率为权的加权平均 这样得到一个确定的数 我们就用这个数作为随机变量X的平均值 定义1设X是离散型随机变量 它的概率分布是 P X Xk pk k 1 2 也就是说 离散型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和 两点分布X B 1 p 0 p 1P X 1 p P X 0 1 p E X 1 p 0 1 p p 常见离散型随机变量的数学期望 二项分布X B n p 其中0 p 1 推导见 板 书 另一简单证明见期望的性质后面例题 泊松分布X P 其中 0 则E X 二 连续型随机变量的数学期望 设X是连续型随机变量 其密度函数为f x 在数轴上取很密的分点x0 x1 x2 则X落在小区间 xi xi 1 的概率是 小区间 xi xi 1 阴影面积近似为 小区间 Xi Xi 1 由于xi与xi 1很接近 所以区间 xi xi 1 中的值可以用xi来近似代替 这正是 的渐近和式 阴影面积近似为 该离散型r v的数学期望是 由此启发我们引进如下定义 定义2设X是连续型随机变量 其密度函数为f x 如果 有限 定义X的数学期望为 也就是说 连续型随机变量的数学期望是一个绝对收敛的积分 若X U a b 即X服从 a b 上的均匀分布 则 若X服从 若X服从参数为 由随机变量数学期望的定义 不难计算得 这意味着 若从该地区抽查很多个成年男子 分别测量他们的身高 那么 这些身高的平均值近似是1 68 已知某地区成年男子身高X 三 随机变量函数的数学期望 1 问题的提出 设已知随机变量X的分布 我们需要计算的不是X的期望 而是X的某个函数的期望 比如说g X 的期望 那么应该如何计算呢 如何计算随机变量函数的数学期望 一种方法是 因为g X 也是随机变量 故应有概率分布 它的分布可以由已知的X的分布求出来 一旦我们知道了g X 的分布 就可以按照期望的定义把E g X 计算出来 使用这种方法必须先求出随机变量函数g X 的分布 一般是比较复杂的 那么是否可以不先求g X 的分布而只根据X的分布求得E g X 呢 下面的基本公式指出 答案是肯定的 类似引入上述E X 的推理 可得如下的基本公式 设X是一个随机变量 Y g X 则 当X为离散型时 P X xk pk 当X为连续型时 X的密度函数为f x 该公式的重要性在于 当我们求E g X 时 不必知道g X 的分布 而只需知道X的分布就可以了 这给求随机变量函数的期望带来很大方便 X N 0 1 求 E X2 解 例3 设 国际市场上对我国某种出口商品的每年需求量是随机变量X 单位 吨 X服从区间 2000 4000 上的均匀分布 每销售出一吨商品 可为国家赚取外汇3万元 若销售不出 则每吨商品需贮存费1万元 求 应组织多少货源 才能使国家收益最大 例4 设组织货源t吨 显然应要求2000 t 4000 国家收益Y 单位 万元 是X的函数Y g X 表达式为 解 由已知条件 X的概率密度函为 可算得当t 3500时 E Y 2t2 14000t 8000000达到最大 因此 应组织3500吨货源 说明 前面我们给出了求g X 的期望的方法 实际上定理的结论可以原封不动地推广到两个随机变量函数Z g X Y 的情形 设二维离散型随机向量 X Y 的分布律为piji 1 2 j 1 2 则 设二维连续型随机向量 X Y 的密度函数为f x y 则 设二维离散型随机向量 X Y 的概率分布如下表所示 求 Z X2 Y的期望 E Z g 1 1 0 125 g 1 2 0 25 g 2 1 0 5 g 2 2 0 125 解 例5 4 25 设随机变量X和Y相互独立 概率密度函数分别为 求 E XY 解 G X Y XY X和Y相互独立 例6 四 数学期望的性质 1 设C是常数 则E C C 4 设X Y独立 则E XY E X E Y 2 若k是常数 则E kX kE X 3 E X1 X2 E X1 E X2 诸Xi独立时 注意 由E XY E X E Y 不一定能推出X Y独立 五 数学期望性质的应用 例7求二项分布的数学期望 若X B n p 则X表示n重贝努里试验中的 成功 次数 现在我们来求X的数学期望 可见 服从参数为n和p的二项分布的随机变量X的数学期望是np X B n p 若设 则X X1 X2 Xn np i 1 2 n 因为P Xi 1 p P Xi 0 1 p 所以E X 则X表示n重贝努里试验中的 成功 次数 例8 将n个球放入M个盒子中 设每个球落入各个盒子是等可能的 求有球的盒子数X的期望 解 引入随机变量 则X X1 X2 XM 于是 E X E X1 E X2 E XM 每个随机变量Xi都服从两点分布 i 1 2 M 每个球落入每个盒子是等可能的均为1 M 对第i个盒子 一个球不落入这个盒子内的概率为 1 1 M 故N个球都不落入这个盒子内的概率为 1 1 M n 即 小结 这一讲 我们介绍了随机变量的数学期望 它反映了随机变量取值的平均水平 是随机变量的一个重要的数字特征 接下来的一讲中 我们将向大家介绍随机变量另一个重要的数字特征 方差 二 方差 上一讲我们介绍了随机变量的数学期望 它体现了随机变量取值的平均水平 是随机变量的一个重要的数字特征 但是在一些场合 仅仅知道平均值是不够的 例如 某零件的真实长度为a 现用甲 乙两台仪器各测量10次 将测量结果X用坐标上的点表示如图 若让你就上述结果评价一下两台仪器的优劣 你认为哪台仪器好一些呢 测量结果的均值都是a 因为乙仪器的测量结果集中在均值附近 又如 甲 乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹 其落点距目标的位置如图 你认为哪门炮射击效果好一些呢 甲炮射击结果 乙炮射击结果 因为乙炮的弹着点较集中在中心附近 为此需要引进另一个数字特征 用它来度量随机变量取值在其中心附近的离散程度 这个数字特征就是我们这一讲要介绍的 方差 一 方差的定义 采用平方是为了保证一切差值X E X 都起正面的作用 由于它与X具有相同的度量单位 在实际问题中经常使用 注 有的书上记作D X 若X的取值比较分散 则方差较大 若方差Var X 0 则r v X以概率1取常数值 方差刻划了随机变量的取值对于其数学期望的离散程度 若X的取值比较集中 则方差较小 Var X E X E X 2 X为离散型 P X xk pk 由定义知 方差是随机变量X的函数g X X E X 2的数学期望 X为连续型 X f x 二 计算方差的一个简化公式 Var X E X2 E X 2 展开 证 Var X E X E X 2 E X2 2XE X E X 2 E X2 2 E X 2 E X 2 E X2 E X 2 利用期望性质 请自己用此公式计算常见分布的方差 例1设r v X服从几何分布 概率函数为 P X k p 1 p k 1 k 1 2 n 其中0 p 1 求Var X 解 记q 1 p 求和与求导交换次序 无穷递缩等比级数求和公式 Var X E X2 E X 2 E X 求 Var X 解 例2 设连续型随机变量X的密度函数f x 为 例3 设随机变量X的期望和方差为E X 和Var X 且Var X 0 求 解 设 X为某加油站在一天开始时贮存的油量 Y为一天中卖出的油量 当然Y X 设 X Y 具有概率密度函数 这里1表明1个容积单位 求 每日卖出的油量Y的期望与方差 例4 解 当y1时 当0 y 1时 三 方差的性质 1 设C是常数 则Var C 0 2 若C是常数 则Var CX C2D X 3 若X1与X2独立 则Var X1 X2 Var X1 Var X2 可推广为 若X1 X2 Xn相互独立 则 X1与X2不一定独立时 Var X1 X2 请思考 4 Var X 0P X C 1 这里C E X 下面我们用一例说明方差性质的应用 两点分布X B 1 p Var X p 1 p 四 常见随机变量的方差 二项分布X B n p 其中0 p 1 Var X np 1 p 泊松分布X P 其中 0 Var X 泊松分布X P 其中 0 Var X E X2 E X 2 2 2 均匀分布X U a b 指数分布 正态分布X N 2 由第一节E X 小结 这一讲 我们介绍了随机变量的方差 它是刻划随机变量取值在其中心附近离散程度的一个数字特征 通过方差 可以判断均值相同的随机变量的取值情况 下面 我们将介绍刻划两r v 间线性相关程度的两个重要的数字特征 协方差与相关系数 三 协方差与相关系数 任意两个随机变量X和Y的协方差 记为Cov X Y 定义为 Cov X1 X2 Y Cov X1 Y Cov X2 Y Cov X Y Cov Y X 一 协方差 2 简单性质 Cov aX bY abCov X Y a b是常数 Cov X Y E X E X Y E Y 1 定义 Cov X Y E XY E X E Y 可见 若X与Y独立 Cov X Y 0 3 计算协方差的一个简单公式 由协方差的定义及期望的性质 可得 Cov X Y E X E X Y E Y E XY E X E Y E Y E X E X E Y E XY E X E Y 即 若X1 X2 Xn两两独立 上式化为 Var X Y Var X Var Y 2Cov X Y 4 随机变量和的方差与协方差的关系 协方差的大小在一定程度上反映了X和Y相互间的关系 但它还受X与Y本身度量单位的影响 例如 Cov kX kY k2Cov X Y 为了克服这一缺点 对协方差进行标准化 这就引入了相关系数 二 相关系数 为随机变量X和Y的相关系数 定义 设Var X 0 Var Y 0 称 在不致引起混淆时 记为 关于 XY的符号 当 XY 0时 称X与Y为正相关 当 XY 0时 称X与Y为负相关 相关系数和协方差具有相同的符号 因此 前面关于协方差的符号意义的讨论可以移到这里 即正相关表示两个随机变量有同时增加或同时减少的变化趋势 负相关表示两个随机变量有相反的变化趋势 相关系数的性质 证 由方差的性质和协方差的定义知 对任意实数b 有 0 Var Y bX b2Var X Var Y 2bCov X Y Var Y bX 2 X和Y独立时 0 但其逆不真 由于当X和Y独立时 Cov X Y 0 请看下例 证明 例1 设 X Y 服从单位圆域x2 y2 1上的均匀分布 证明 XY 0 Cov X Y E XY E X E Y 0 同样得E Y 0 可易得Var X 0 Var Y 0 XY 0 故X与Y不相关 但在前面计算过 X和Y不相互独立 存在常数a b b 0 使P Y a bX 1 即X和Y以概率1线性相关 但对下述情形 独立与不相关等价 前面 我们已经看到 若X与Y独立 则X与Y不相关 但由X与Y不相关 不一定能推出X与Y独立 参见书P121 122 小结 本节主要介绍了协方差与相关系数 它们都是用来刻画两个随机变量之间的相关程度的量 它们取值的正副 反映了两个随机变量变化方向的趋势 四 矩 协方差矩阵 在数学期望一讲中 我们已经介绍了矩和中心矩的概念 这里再给出混合矩 混合中心矩的概念 协方差Cov X Y 是X和Y的二阶混合中心矩 称它为X和Y的k L阶混合 原点 矩 称它为X和Y的k L阶混合中心矩 可见 协方差矩阵的定义 将二维随机变量 X1 X2 的四个二阶中心矩 排成矩阵的形式 称此矩阵为 X1 X2 的协方差矩阵 类似定义n维随机变量 X1 X2 Xn 的协方差矩阵 下面给出n元正态分布的概率密度的定义 为