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2020 2 6 1 第九节随机变量函数的分布 一 一维随机变量函数的分布 求Y X2 1的分布律 例1设随机变量X的分布律如下 解 Y的所有可能取值为0 3 8 2020 2 6 2 例2 一提炼纯糖的生产过程 一天可生产纯糖1吨 但由于机器损坏和减速 一天实际产量X是一个随机变量 设X的概率密度为 解 分别记X Y的分布函数为 一天的利润Y 3X 1 Y也是随机变量 求Y的概率密度 2020 2 6 3 例3 设随机变量X在区间 1 2 上服从均匀分布 解 当X在区间 1 2 上取值时 Y在 0 1 或 1 4 取值 求随机变量Y X2的概率密度 由于y x2不是单调的 解 1 因为X在 0 1 上取值 所以Y eX在 1 e 上取值 2020 2 6 4 例3 设随机变量X在区间 0 1 上服从均匀分布 1 求随机变量Y eX的概率密度 上式对y求导数 得Y的概率密度为 例3 设随机变量X在区间 0 1 上服从均匀分布 2 求Y 2lnX的概率密度 解 1 因为X在 0 1 上取值 所以Y 2lnX在 0 上取值 2020 2 6 5 上式对y求导数 得Y的概率密度为 2020 2 6 6 在实际问题中 常常会遇到需要求随机变量函数的分布问题 例如 在下列系统中 每个元件的寿命分别为随机变量X Y 它们相互独立同分布 我们想知道系统寿命Z的分布 这就是求随机变量函数的分布问题 二 多维随机变量函数的分布 2020 2 6 7 解题步骤 1 一般情形问题 已知二维随机变量 X Y 的联合密度为f x y g x y 是二元连续函数 欲求随机变量Z g X Y 的概率密度 2020 2 6 8 2 连续型随机变量和的分布 2020 2 6 9 2020 2 6 10 由于X Y的对称性可得 2020 2 6 11 2020 2 6 12 解 利用卷积公式 求Z X Y的概率密度 例5 设随机变量X与Y相互独立 概率密度分别是 2020 2 6 13 3 极值分布 解 2020 2 6 14 解 2020 2 6 15 2020 2 6 16 解 1 串联的情况 例6 设系统L由两个独立的电子元件L1 L2连接而成 连接方式分别为 1 串联 2 并联 设L1 L2的寿命分别为X Y 已知X Y的概率密度分别是 其中 1 0 2 0 求上述两种连接方式中系统的寿命Z的概率密度 由题设X Y的分布函数分别为 2020 2 6 17 所以Z min X Y 的概率密度为 2020 2 6 18 解 2 并联的情况 所以
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