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文档简介

一 二重积分的换元法 3 6重积分的换元法 这个公式称为二重积分的一般换元公式 其中记号 表示曲线坐标下的 面积微元 注 对极坐标变换 因为 所以 一般地 使得 积分简单 就可以利用上述一般换元公式来化简 积分的计算 例1 解 例2 求椭球体 的体积 解 由对称性知 所求体积为 其中积分区域 令 称其为 广义极坐标变换 例2 求椭球体 的体积 解 称其为 广义极坐标变换 于是 又 特别地 则得到球体的体积为 例3 计算 轴 所围成的闭区域 解 令 则 区域 且 和直线 例3 计算 轴 所围成的闭区域 解 令 则 和直线 所以 解 二 小结 基本要求 变换后定限简便 求积容易 3 三重积分换元法类似可得 P185 注 重积分计算的基本方法 1 选择合适的坐标系 使积分域多为坐标面 线 围成 被积函数用此坐标表示简洁或变量分离 2 选择易计算的积分序 积分域分块要少 累次积分易算为妙 图示法 列不等式法 从内到外 面 线 点 3 掌握确定积分限的方法 累次积分法 注 重积分计算的基本技巧 分块积分法 利用对称性 1 交换积分顺序的方法 2 利用对称性或重心公式简化计算 3 消去被积函数绝对值符号 4 利用重积分换元公式 例如 1 证明 提示 左端积分区域如图 交换积分顺序即可证得 2 计算二重积分 其中D是由曲 所围成的平面域 解 其形心坐标为 面积为 积分区域 线 形心坐标 3 计算二重积分 在第一象限部分 解 1 两部分 则 其中D为圆域 把与D分成 作辅助线 2 提示 两部分 说明 若不用对称性 需分块积分以去掉绝对值符号 作辅助线 将D分成 4 如图所示 交换下列二次积分的顺序 解 5 解 在球坐标系下 利用洛必达法则与导数定义 得 其中 6 证明 证 左端 右端 思考题 用换元法求曲线 所围平面图形的面积 思考题解答 如果在直角坐标下计算 需要求曲线的交点 区域来计算面积 很麻烦 作变换 则有 并画出平面图形 还需将积分区域分割成几
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