天津市2019年中考数学试题研究平面直角坐标系下的图形变化.docx

平面直角坐标系下的图形变化1. 如图，在平面直角坐标系中，点A(3，0)，B(0，4)，C是x轴上一动点，过C作CDAB交y轴于点D.()求的值；()若以A，B，C，D为顶点的四边形的面积等于54，求点C的坐标；()将AOB绕点A按顺时针方向旋转90得到AOB，设D的坐标为(0，n)，当点D落在AOB内部(包括边界)时，求n的取值范围(直接写出答案即可)第1题图解：()点A的坐标是(3，0)，B的坐标是(0，4)，OA3，OB4.CDAB，AOBCOD，；()设OC3x，则OD4x，则AC33x，BD44x，当点C在x轴负半轴上时：四边形ABCD的面积是54，ACBD54，即(33x)(44x)54，解得：x2或4(舍去)则点C的坐标是(6，0)；当点C在x轴的正半轴上时，S四边形ABCD3x4x3454，解得：x或x(舍去)则点C的坐标是(3，0)；()O的坐标是(3，3)，则OB与y轴的交点坐标是(0，3)；则B的坐标是(1，3)设直线AB的解析式是ykxb，根据题意得：，解得：则直线AB的解析式是yx，当x0时，y.即直线AB与y轴的交点是(0，)则n的范围是n3.第1题解图2. 在平面直角坐标系中，点 A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，点 D，点E分别是 AC，BC的中点，将CDE绕点C逆时针旋转得到CDE，旋转角为，连接 AD，BE.()如图，若 090，当 ADCE时，求的大小；()如图，若 90180，当点 D落在线段 BE上时，求sinCBE的值；()若直线AD与直线BE相交于点P，求点P的横坐标m的取值范围第2题图解：()A(2，0)，B(2，0)，C(0，2)，OAOBOC，ACB90，CDE是CDE旋转得到的，DCE90，ADCE，ADCDCE90，D为AC的中点，CDAC，CDCD，CDAC，在RtACD中，cos，60；()设F为DE的中点，连接CF，如解图，CDCE，ECD90，CFBE，CFDE1，又BC2，在RtBCF中，sinCBE；()如解图，以C为圆心，CD为半径作C，当AD与C相切时AP最长，易得四边形CDPE是正方形，作PHAB于点H.CDCDAC，C的半径为，在RtACD中，AD，APADPD，cosPAB，AH2，点P横坐标的最大值为.如解图，当BE与C相切时AP最短，易得四边形CDPE是正方形，作PHAB于点H.根据对称性可知OH，点P横坐标的最小值为，点P横坐标的取值范围为m.图 图 图第2题解图3. 在平面直角坐标系中，一张矩形纸片OBCD按图所示放置，已知OB10，BC6，将这张纸片折叠，使点O落在边CD上，记作点A，折痕与边OD(含端点)交于点E，与边OB(含端点)或其延长线交于点F.()如图，若点E的坐标为(0，4)，求点A的坐标；()将矩形沿直线yxn折叠，求点A的坐标；()将矩形沿直线ykxn折叠，点F在边OB上(含端点)，直接写出k的取值范围第3题图解：()点E的坐标为(0，4)，OEAE4，四边形OBCD是矩形，ODBC6，DE2，AD2，点A的坐标为(2，6); ()由于直线EF解析式是yxn，OEn，点F的坐标为(2n，0)，连接OA，如解图，则EF垂直平分OA，易得AODEFO， 则ADOD3，点A的坐标为(3，6)；()1k.【解法提示】当点F与点B重合时，ABOB10，AC8，则AD2，易得ADEBCA，则，即，DE，OE，n，直线EF的解析式为ykx，令x10，则y0，即010k，k；当点E与点D重合时，如解图，点F(6，0)，易得直线EF的解析式为yx6，此时k1，综上所述，k的取值范围是1k.第3题解图4. 如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标原点，直线yx4与x轴交于点A，与y轴交于点B.()求点A，B的坐标；()在直线AB上是否存在点P，使OAP是以OA为底边的等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由()若将RtAOB折叠，使OB边落在AB上，点O与点D重合，折痕为BC，求折痕BC所在直线的解析式第4题图解：()在yx4中，令x0可得y4，令y0可求得x4，A(4，0)，B(0，4)；()如解图，作线段OA的垂直平分线，交x轴于点E，交AB于点P，则OPPA，即P点即为满足条件的点，OA4，OE2，在yx4中，当x2时，可得y2，P点坐标为(2，2)；()如解图，设C(t，0)，则ACOAOC4t，OAOB4，AB4，由折叠的性质可得BDOB4，CDOCt，ADCBOC90，ADABBD44，在RtACD中，由勾股定理可得AC2AD2CD2，即(4t)2t2(44)2，解得t44，C(44，0)，设直线BC解析式为ykxb，解得，折痕BC的解析式为y(1)x4.第4题解图5. 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(8，0)，直线BC经过点B(8，6)，C(0，6)，将四边形OABC绕点O，按顺时针方向旋转度得到四边形OABC，此时直线OA，直线BC分别与直线BC相交于点P、Q.()如图，当四边形OABC的顶点B落在y轴正半轴上时，求的值；()如图，当四边形OABC的顶点B落在直线BC上时，求OPB的面积：()在四边形OABC旋转过程中，当0a180时，是否存在这样的点P和点Q，使BPBQ？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由第5题图解：()POCBOA，PCOBAO90，POCBOA，即，CP，BPBCCP8，同理BCQBCO，即，CQ3，BQBCCQ11，；()在COP和ABP中，CPOAPB，OCPA90，OCBA，COPABP(AAS)，OPBP，设BPOPx，在RtCOP中，CP2CO2OP2，即(8x)262x2，解得x，SOPB6；()存在这样的点P和点Q，使BPBQ，点P的坐标是(9，6)，(，6)【解法提示】过点Q作QHOA于点H，连接OQ，则QHOCOC，SPOQPQOC，SPOQOPQH，PQOP.设BPx，BPBQ，BQ2x，如解图，当点P在点B左侧时，OPPQBPBQ3x，在RtCOP中，PC2CO2OP2，即(8x)262(3x)2，解得x11，x21(舍去)，PCBPBC9，P(9，6)；如解图，当点P在点B的右侧时，OPPQBQBPx，PC8x，在RtCOP中，PC2CO2PO2，即(8x)262x2，解得x，PCBCBP8，P(，6)，综上所述，存在点P(9，6)，P(，6)，使BPBQ.图图第5题解图6. 如图，在平面直角坐标系中，已知AOB是等边三角形，点A的坐标是(0，4)，点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连接AP，并把AOP绕着点A按逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到ABD.()求点B的坐标；()当点P运动到点(t，0)时，试用含t的式子表示点D的坐标；()是否存在点P，使OPD的面积等于，若存在，请求出符合条件的点P的坐标(直接写出结果即可)第6题图解：()如解图，过点B作BEy轴于点E，作BFx 轴于点F，由已知得BFOE2，OF2，点B的坐标是(2，2)；第6题解图()ABD由AOP旋转得到， ABDAOP, APAD，DABPAO，DAPBAO60， ADP是等边三角形， DPAP，如解图，过点D作DHx 轴于点H，延长EB交DH于点G，则BGDH，在RtBDG中，BGD90，DBG60，BGBDcos60t，DGBDsin60tt，OHEG2，DH2t，点D的坐标为(2，2t)；第6题解图()存在，点P的坐标为(，0)，(，0)，(，0)，(，0)【解法提示】假设存在点P，使OPD的面积等于，设点P为(t，0)，下面分三种情况讨论：当t0时， BDOPt，DGt，DH2t，OPD的面积等于， t(2t)，解得t1，t2(舍去)，点P1的坐标为(，0 )；当t0时，BDOPt，BGt， DH2(t)2t，OPD的面积等于， t(2t)，解得t1，t2，点P2的坐标为(，0)，点P3的坐标为(，0)；当t时，BDOPt，DGt， DHt2，OPD的面积等于，t(2t)，解得t1(舍去)，t2，点P4的坐标为(，0) 综上所述，点P的坐标分别为P1(，0)、P2(，0)、P3(，0)、P4(，0)7. 如图，等腰直角ABC的斜边AB长为4，矩形ODEF的边OD长为2，DE长为4，将等腰直角ABC沿x轴向右平移得到等腰直角ABC.()当线段AC所在直线经过点E时，求此时直线AC的解析式；()连接CF，CE，当线段CF和线段CE之和最短时，求矩形ODEF和等腰直角ABC重叠部分的面积；()当矩形ODEF和等腰直角ABC重叠部分的面积为2.5时，求直线AC与y轴交点的坐标(直接写出答案即可)第7题图解：()当AC所在直线经过点E，如解图.CAB45，CAB45，在RtEAD中，DE4，AD4，OD2，AO2，A(2，0)，设直线AC的解析式为ykxb，将两点A(2，0)，E(2，4)代入得，解得.AC此时的解析式为yx2；第7题解图()点C的运动轨迹为直线y2.点E关于点C的运动轨迹的对称点为点D.连接FD，如解图，当C运动到FD的中点时，FCCD最小，即FD的长，即FCEC最小此时AC与OF交于M，BC与DE交于N，OAOM1，BDDN1，即SBDNSAOM1.则S五边形ODNCMSABCSBDNSAOM421111413.第7题解图()直线AC与y轴交点的坐标为(0，)或(0，)【解法提示】当C在y轴上时，此时B与D重合，矩形ODEF与ABC重合部分为COB.SCOB2222.5，故当重叠部分面积为2.5时，C必在矩形ODEF内部，此时重合部分面积SSABCSBDNSAOM2.5，4SBDNSAOM2.5，即OM2DN21.5，OM2DN23，而OMOA，DNDB，OADBABOD2，OMDN2，DN2OM，OM2(2OM)23，OM2OM24OM430，2OM24OM10，解得OM或OM，故当重合部分面积为2.5时，直线AC与y轴交点的坐标为(0，)或(0，)8. 在平面直角坐标系中，O为原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，1)，点D是边BC上的动点(与端点B、C不重合)，过点D作直线yxb交边OA于点E.()如图，求点D和点E的坐标(用含b的式子表示)；()如图，若矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，试探究矩形O1A1B1C1与矩形OABC的重叠部分的面积是否发生变化？若不变，求出重叠部分的面积；若改变，请说明理由；()矩形OABC绕着它的对称中心旋转，如果重叠部分的形状是菱形，请直接写出这个菱形的面积的最小值和最大值第8题图解：()四边形OABC是矩形，CBx轴，由点A、C的坐标分别为(3，0)、(0，1)可得点D的纵坐标为1，当y1时，xb1，解得：x2b2，点D的坐标为(2b2，1)，当y0时，xb0，解得：x2b，点E的坐标为(2b，0)；()如解图，设CB与O1A1的交点为点M，C1B1与OA的交点为点N，四边形OABC，四边形O1A1B1C1是矩形，CBOA，C1B1O1A1，四边形DMEN是平行四边形，矩形OABC关于直线DE的对称图形为矩形O1A1B1C1，12，CBOA，23，13，DMME，平行四边形DMEN是菱形，过点D作DHOA于点H，由D(2b2，1)，E(2b，0)可知CD2b2，OE2b，OHCD2b2，DH1，EHOEOH2b(2b2)2，设菱形DMEN的边长为m，在RtDHN中，DH1，HNEHNE2m，DNm，由DH2HN2DN2，得：12(2m)2m2，解得m，S菱形DMENNEDH1，重叠部分菱形DMEN的面积不变，为；第8题解图()当NE1时，菱形面积的最小值是1；当NE时，菱形面积的最大值是.(D与C重合，A与E重合，设DNANx，在RtDNO中利用勾股定理列出方程计算)9. 如图，在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(0，2)，ABO为等边三角形，P是x轴上的一个动点(不与O点重合)，将线段AP绕A点按逆时针方向旋转60，P点的对应点为点Q.()求点B的坐标；()当点P在x轴负半轴运动时，求证：ABQ90；()连接OQ，在点P运动的过程中，当OQAB时，求点P的坐标第9题图解：()如解图，过点B作BCx轴于点C，AOB为等边三角形，且OA2，AOB60，OBOA2，BOC30，而OCB90，BCOB1，OC，点B的坐标为B(，1)；()由题意得APAQ, AOAB, PAQOAB，PAOQAB=60.在APO与AQB中，APOAQB，ABQAOP90；()当点P在x轴正半轴上时，OAB60，将AP绕点A逆时针旋转60时，点Q在点B上方，OQ和AB必相交，当点P在x轴负半轴上时，点Q在点B的下方，ABOQ，BQO90，BOQABO60.在RtBOQ中，OB2，OBQ90BOQ30，BQ，由()可知，APOAQB，OPBQ，此时点P的坐标为(，0)第9题解图10. 如图，平面直角坐标系中，矩形OABC，B(5，4)，将矩形沿过点C的直线翻折，使点B落在线段OA上的点D处，折痕交AB于点E，P(m，0)是射线OA上一动点过点P作x轴的垂线，分别交直线CE和直线CB于点Q和点R.()求点E的坐标；()在点P的运动过程中，求的值；()设直线CE交x轴于点F，直线PR交直线CD于点K，连接KE，当CKECFO时，求出m的值和线段CQ的