刚体第二次课1.ppt

角加速度不变时 刚体转动的运动学方程 刚体的运动的描述 角量 对刚体上每一质点都相同 小结 转动惯量 刚体绕某一固定轴的合外力矩 等于刚体对此轴的转动惯量与刚体的角加速度的乘积 M 0L 常量 即 角动量守恒定律 刚体的角动量 刚体的定轴转动定律 进动 高速旋转的物体 其自转轴绕另一个轴转动的现象 为什么重心已经偏出支撑点但是不倒 例 陀螺的进动 旋进 能否从力学规律上解释 如玩具陀螺的运动 仅方向改变 圆周运动 而且 即动量改变的方向总是平行于向心力 物体在外力矩的作用下 沿外力矩方向改变其角动量矢量 质点系对固定点的角动量定理 在陀螺的自转轴有一倾角时 陀螺所受重力对O点的力矩为 重力矩M只改变陀螺自转角动量L方向而不改变大小 方向向里 可以看出角动量矢量的端点 绕竖直轴作圆周运动 这就表现出进动现象 计算进动的角速度 1 刚体的转动动能 刚体在转动时的动能就是刚体中所有质点的动能之和 四 刚体定轴转动的动能定理 刚体的转动动能 第i个质点的速度 刚体定轴转动的动能与刚体的转动惯量和角速度平方成正比 2 力矩的功 不做功 刚体由 0转到 3 刚体的动能定理 力矩对刚体的功等于刚体转动动能的增量 刚体转动的动能定理 刚体内所有质点间的相互作用力的功的和恒等于零 一对作用力做功的和 刚体内各质点间的相对位置不变 注意 刚体内力不做功 5 刚体的重力势能 刚体的重力势能等于组成刚体的各个质点的重力势能之和 根据质心定义 此刚体质心的高度为 刚体机械能 刚体的重力势能 刚体的重力势能和它的质量全部集中在质心时所具有的重力势能一样 外力与非保守内力功之和为零时 系统机械能守恒 6 刚体的机械能守恒 刚体系仍是个质点系 质点系的功能原理仍然成立 若A外 A内非 o 则Ek Ep 常量 机械能守恒定律 A外 A内非 Ek2 Ep2 Ek1 Ep1 即 例1 均匀细棒OA质量为m 长L 可绕光滑轴在竖直平面内转动 现使棒从水平位置开始自由下落 求摆到竖直位置时棒中心点C和端点A的速度 分析 用定轴转动的动能定理求解 在棒下摆过程中只有重力矩作功 移动d 过程中的功 重力矩总功 由转动动能定理得 用机械能守恒定律求解 在棒下摆过程中只有重力矩作功棒与地球组成的系统机械能守恒 设棒摆到竖直位置时中心点C位置的势能为零 例2 已知 均质圆盘半径为R 质量为M 2m 它可绕水平光滑轴o轴转动 泥球质量为m 它与正下方的圆盘上的P点距离为h 60 泥球从静止开始下落 求 1 与盘碰撞后的瞬间m M共同角速度 2 P点转到x轴时 角速度 角加速度 m下落过程 解 1 对 泥球 地球 系统 只有保守力作功 故机械能守恒 碰撞过程 对 m M 系统 碰撞时间极小 冲力远大于小球重力 重力 外力 对0的力矩可忽略 故角动量守恒 把J和v代入 2 得 转动过程 对 m M 地球 系统 只有小球重力作功 保守内力做功 故E机守恒 2 令P点与x轴重合时 EP重 0 把J和 0代入得 例3 在自由转动的水平圆盘上 站一质量为m的人 圆盘的半径为R 转动惯量为J 角速度为 若此人由盘边缘走到盘心 求角速度的变化及系统动能的变化 分析 人和盘为定轴转动系统 人与盘的相互作用力为内力 重力是外力 对轴的力矩为零 系统角动量守恒 走之前系统角动量 走至盘心时 系统角速度为 系统动能变化 例5 细杆长l 质量m 从水平位置释放后与物体碰撞 物体质量m 与地面摩擦系数u 撞后滑行S停止 求碰后杆的质心C离地面的最大高度 解 分三阶段考虑 第一段 杆下落过程中机械能守恒 第二段 碰撞过程 角动量守恒 第三段 碰后滑行过程 对杆有 求 杆下摆到角时 角速度 轴对杆的作用力 1 2 由 1 2 解得 已知 均匀直杆质量为m 长为l 轴o光滑 初始静止在水平位置 然后下落 例6 应用质心运动定理求轴对杆的作用力 设轴对杆的力如图 由质心运动定理有 代入 3 4 得 或 负号代表什么 例7 内壁光滑 半径为R的空心圆环可绕竖直光滑固定轴OO 自由转动 转动惯量为J0 初始的角速度为 0 一质量为m的小球在环内A点处由静止开始向下滑动 求 1 当小球分别到达图中B点 C点时环的角速度及相对于环的速度大小 解 取环和小球为系统 系统的角动量守恒 取环 小球与地球为系统 以圆心位置为势能零点 系统的机械能守恒 到达C点时 总的转动惯量不变 取环 小球与地球为系统 以C点位置为势能零点 系统的机械能守恒 取环和小球为系统 系统的角动量守恒 思考 小球的动量是否守恒 若以环和小球为系统 机械能是否守恒 质心的速度 质心的位矢 质心的动量等于系统内所有质点的动量和 质心的运动定理 质心的动量 3 3刚体的复合运动 复合运动 平动 转动 质心平动 绕通过质心轴转动 一 质心系的动量 0 在质心系中质心的位置矢量始终为零 质心系中质心的速度始终为零 质心系的动量为零 称为零动量参考系 可见质点系的角动量定理在质心参考系中仍然成立 二 质心系的角动量定理 对O点力矩 对O点角动量 质心系的角动量定理 复合运动 平动 转动 质心平动 绕通过质心轴转动 三 柯尼希定理 刚体的总动能 质心的平动动能 绕质心的转动动能 考虑刚体的重力势能 例一 一圆柱体长L 半径R 质量m 用两条轻软的绳子对称地绕在柱体的两端 绳的上端固定 现将柱体水平托住 且使两绳垂直拉紧 然后释放 求 1 柱体向下运动的线加速度 2 该柱体